Влияние случайных погрешностей формирования полей на точность измерения коэффициентов прохождения и отражения материалов и покрытий

Одной из характерных особенностей современного этапа развития военной техники является широкое применение специальных конструкционных материалов и покрытий, обладающих заданными свойствами взаимодействия с электромагнитными полями (ЭМП), которые подлежат измерению в процессе производства и эксплуатации.

При этом наиболее актуальными являются вопросы создания средств измерения и экспериментального исследования коэффициентов прохождения (КП) и отражения (КО) материалов и покрытий, рассмотрению которых посвящена обширная литература [1–6].

Вопросы точности измерения КП и КО применительно к наиболее перспективному методу радиоволнового контроля в свободном пространстве наиболее полно рассмотрены в [6].

Для оценки информационных возможностей средств измерения КП и КО в [6] разработана система математических моделей, позволяющих оценивать влияние на точность измерения техни-

ческих характеристик составных элементов и измерительных устройств.

Вместе с тем общие закономерности влияния случайных погрешностей формирования плоских полей на точность измерения КП и КО изучены недостаточно.

Целью настоящей статьи является установление количественных закономерностей влияния случайных фазовых погрешностей формирования плоских полей на ошибки измерения КП и КО.

1.    Постановка задачи

Расчет КП и КО осуществляется на основе результатов прямых измерений амплитуды и фазы, рассеянных ЭМП по формулам [6]:

I ^Knp\ А _л, ^{ф K} pp ^{ф np ф пад} , пад

A omp

| KomP = Д , фKomp “фOmP  фПа0 , пад

где K ^pp , , K omp и ,^ф K_np >  ^ф K_omp " модУли и фазы амплитудных коэффициентов прохождения и от-

ражения материала; А_пр , А_отр , А_пад и ф _пр , ф _отр , Ф _па д - амплитуды и фазы прошедшего отраженного и падающего ЭМП.

В действительности, в соответствии с принципами построения измерительных устройств, формирование и регистрация полей ЭМП предполагает использование в системах радиоволнового контроля (РВК) протяженных (реальных или синтезированных) антенн, размеры которых значительно превосходят длину волны. Поэтому наиболее реалистические модели для определения КП и КО можно представить в виде интегралов, описывающих интегрирование соответствующих ЭМП по области измерения S_U3M (т. е. по области облучения или по области приема ЭМП. Ввиду однообразия формул, описывающих прошедшее, отраженное и падающее поля, ограничимся записью формул для одного из них. Например, комплексная амплитуда падающего поля может быть записана в виде

^Eпад 0 = j ^Апад ⁽ Р ) e ^ ^{( Р} ) ^d Р , Р = { ^x , У } • ⁽³⁾ S U3M

Подобным образом могут быть представлены прошедшее и отраженное ЭМП.

Далее, если ограничиться рассмотрением влияния случайных фазовых погрешностей, выражение (3) можно записать как

E = J А ( Р ) e j ^{( р )} e jk ^{ф ( р )} d р , (4)

SU3M где А(р) и ф(р) - амплитудное и фазовое распределение поля в отсутствие ошибок формирования ЭМП; ф(р) - случайная функция распределения фазы; к = 2п / X - волновое число; X - длина волны.

При наличии случайных погрешностей формирования КП и КО являются случайными функциями и для их анализа необходимо применение их статистических характеристик. Поэтому далее рассмотрим их подробно.

2.    Вычисление среднего значения

Оценим среднее значение КП по мощности

можно представить в од- нообразном виде. Например,

(|Enp l²} = JJ А пр (Р . ) А пр (Р 2 ) e ^j ^^х

^S U3M

>^{к [ф} .р ^(р, > ^-ф пр ^{( p} 2 l ] V р . d р 2 •

Выражение в скобках является характери- стической функцией [7]:

e

^{jk [}ф пр ⁽ р . ^{) -}Ф пр ⁽р? ) ]

_e ^{- к 2} ^ ² пр ^{[ 1 - Г} пр ^{( А р )} ]

где г_п р ( р ) - коэффициент корреляции случайных флюктуаций фазы принимаемого прошедшего поля, а ^ р - дисперсия флюктуаций, А р = р 1 - р •

Количественные оценки средних значений КП и КО можно получить лишь в крайних случаях.

Так, в случае коррелированных флюктуаций, когда интервал корреляции значительно превышает размеры области измерений

^А 2 пр >>  5 изм ,                                            ⁽⁸⁾

r ( А р ) в (7) можно положить равным единице:

r ( А р ) = 1 .                                                       (9)

В этом случае из (5), (7), (9) следует, что при наличии коррелированных случайных фазовых погрешностей формирования прошедшего, отраженного и падающего ЭМП средние значения КП и КО по мощности совпадают со своими значениями КП и КО, измеренными при отсутствии случайных погрешностей:

^KКпр м = ^Кпр М , ^ ^КО м

/ = K KOM •                  ⁽¹⁰⁾

В случае когда интервал корреляции мал:

^А2пр <<  ^SU3M ,                                        ⁽¹¹⁾

оценки средних значений КП и КО можно получить при небольших фазовых погрешностях:

к ² 52_р <<  1 .                                            (12)

пр

Это позволяет характеристическую функцию (7) разложить в ряд, ограничиться двумя первыми членами ряда.

При принятых ограничениях интеграл (6) можно приближенно представить в виде hE |2\«(l-fc2G2 ) Е +                    (13)

\ | пр | v пр ’ пр О                                       v ’

^{+ k 2} ° пр JJ ^Апр ⁽ р 1 ) ^Апр ⁽ р 2 ) ^х

SU3M j М р)-У(р2 ) 1

х e ^{L           J} г_пр ( А р ) d р 1 d р 2 .

Далее, если предположить, что в интеграле (13) r(Ар) является «быстрой» функцией с максиму- мом в точке Ар = 0, то (13) с учетом (7) можно приближенно преобразовать как

- о - k н

) ^Епр. Г⁺

С учетом вышепроведенных вычислений, наиболее просто можно оценить дисперсии ошибок измерения КП и КО по амплитуде (1), (2).

Заметим, что первый сомножитель в (18) являет-

да

^{+ к} 2 ^ пр J ^АПр ⁽ р ) ^d р J ^гпр ⁽ р ) ^d р -

S              -да изм

Например, при гауссовом коэффициенте корре-

ляции

- (W

. . 2 А² r ( А р ) = e ^пр пр

ся вычисленным выше при вычислении соответствующих коэффициентов прохождения и отражения по мощности. Дисперсии D [ X i ] и D [ x 2 ] в (18) могут быть определены в результате вычислений, подобных вышепроведенным при выводе формул (14)–(17).

Так, выражения для оценки дисперсии измеренных прошедшего и отраженного полей

интеграл

да

I

—it

2 А2         _ о e пр dр = 2п АПр.

-да

Таким образом, при принятых допущениях (11), (12) квадрат модуля полей облучения и приема измеряемого объекта приближенно можно предста-

вить в виде

/                о f

IE <|2 - \Е ю\2 ]1 — к2 а 2. + 2п к 2.2v^- [,

'      '            [

i = 1,2,3, где индексы i = 1,2,3 относятся к характеристикам прошедшего, отраженного и падающего ЭМП.

Из полученных соотношений следует, что при симметричных характеристиках измерительной 22 22

установки а i =а j и А i =А j , i , j = 1 , 2 , 3 средние значения КП и КО по мощности при наличии небольших случайных фазовых погрешностей формирования измерительных полей (11), (12) совпадают со своими значениями КП и КО, измеренными при отсутствии случайных погрешностей.

3.    Оценка ошибок измерения КП и КО

Измеряемые коэффициенты прохождения и отражения у при влиянии случайных погрешностей формирования полей по существу являются отношением двух случайных величин x 1 и x 2 :

• - Ч

• У = — -

• x 2

Полагая, что случайные величины Х 1 и x 2 являются независимыми, погрешность оценки их отношения, в соответствии с теорией переноса ошибок [8], равна

D [ У ] = x 2

D [ Х1 ] + D x2       x2

D

D

е

^{— Е}про

^{П  а} пр ф

^А пр

S,

-

е

Еотро

, изм отр

2 71 к d _ отр ф

S U3M

.

Таким образом, объединяя результаты проведенных вычислений, получим:

выше-

D

е

Епро

е

Епадо

+77

D

X

¹ — ^к2 а ² _пр ф

^А 2 пр

+ 2 п к ² а 2

р ф п S U3M

^{1 к а} пад ф

^{+ 2 n} k ^а пад ф

S

22 лк2 с2   -пр

^{П а} пр ф л

S U3M

^{1 - к 2 а2}пр ф ^{+ 2 П к}

' ^а пр ф

^А пр

S изм

■= +

^{2 п k а} пад ф

^А пад

S U3M

^{1 к а} па д ф

^{+ 2} Л ^{к а} пад ф „ S

^А пад

изм

-

е

Еотро

^{1 - к а} отр ф

<

е

Епад

^{1 к а} пад ф

^А пад

изм

,

2 2 отр

^{+ 2 п к а}о тр ф^---

S U3M

^{+ 2 n} k ^а пад ф „ S

27° 2G2   -т

^{П а} отр ф Л

S U3M

2_2           2_2       отр

^{1 - к а} отр ф ^{+ 2 П к а} отр ф

S U3M

^А пад

изм

+

Рис. Зависимости относительных ошибок измерения коэффи циентов пропускания Kn^ и отражения Котр

Fig. Dependences of relative measurement errors of transmission

К_пр and reflection coefficients К_отр

D ^{[ К}отр ] ~ ^{4 п К}отр М

, 2 2 _^ Ф_ k ° ф с

U3M

2 2       2 2 Ф

¹ - ^k ° ф + ^{2 п k} ° ф

S U3M

.

Графики зависимости относительных ошибок измерения коэффициентов пропускания К_п р и отражения К_от р приведены на рисунке. Из приведенных графиков следует, что для обеспечения измерений КП и КО с точностью 15÷20 % и при

малом интервале пространственной корреляции случайных флюктуаций измеренных полей

^{( А} 2 Ф I s_t

'_U3 m - 0 , 1 ) фазовая погрешность формирова-

ния полей не должна превышать

( п п

8     ) рад.

Заключение

+

^{2 п k} ^ пад ф

^А пад

s

U3M

22      22

¹ - ^k ° па д ф + ^{2 п k} ° па д ф

^А пад

S

U3M

1. При наличии случайных погрешностей формирования полей облучения и приема электромагнитных полей возникают ошибки измерения средних значений коэффициентов прохождения (КП) и отражения (КО) объектов. Однако если случайные фазовые флюктуации полей описываются гауссовским законом распределения, являются центрированными и имеют равные дисперсии ( ° _пр = <з _отр = а _пад ) и интервалы пространственной корреляции ⁽ А пр ф = А отр ф = А пад ф ), ^{то изме} ряемые средние значения коэффициентов КП и КО при наличии случайных погрешностей совпадают со значениями КП и КО, измеренными при

Упрощение громоздких выражений (21), (22) воз-

можно при равных статистических характеристиках случайных флюктуаций прошедшего, отраженного и падающего ЭМП:

22  2  22  2

° пр ° отр ° пад , ^А пр ^А отр ^А пад

После простых преобразований (21), (22) том (23) получим:

их отсутствии.

2. Вычисленные (при небольших погрешностях k ² а ² ^ 1 и малом интервале пространственной корреляции А ф <  S_U3M ) ошибки измеряемых средних значений КП и КО пропорциональны погрешностям формирования полей облучения и приема

с уче-

D [ ^Кпр ]* 4 П ^Кпр М

, 2 2 _^ф_ k ° ф с

U3M

² ’

2 2       2 2 ф

¹ - ^k ° ф + ^{2 п k} ° ф ~ S U3M

и относительной величине интервала пространственной корреляции (24), (25).

Для обеспечения измерений КП и КО с точностью 15÷20 % при малом интервале пространственной корреляции фазовая погрешность формиро-п п вания полей не должна превышать r^^j I рад.