Вложения в B-циклические банаховы пространства

Вложение классических банаховых пространств играет важную роль в изометрический и изоморфной классификации общих банаховых пространств. В настоящей заметке предпринимается попытка наметить аналогичный подход для B-циклических банаховых пространств. Напомним необходимые для дальнейшего изложения определения. Более подробное изложение можно найти в монографиях [1, 2, 3].

Определение 1. Пусть X и Y — банаховы пространства. Говорят, что Y вложимо в X, если существует линейный оператор T : Y ^ X и константы K,M > 0, удовлетворяющие условию K ||у П ^ l|Ty Н ^ M П у П Для всех У € Y • При этом оператор T называется вложением .

Определение 2. Пусть X и Y — банаховы решетки и T : Y ^ X — вложение. Говорят, что Y решеточно вложимо в X , если вложение T является решеточным гомоморфизмом. При этом T называют решеточным вложением .

Пусть X — нормированное пространство, U x := { x € X : ||х Н ^ 1 } . Под булевой алгеброй проекторов в векторном пространстве X понимается множество B коммутирующих линейных идемпотентных операторов, действующих в X , в котором роль нуля и

• ^# Работа выполнена при поддержке Минобрнауки России, соглашение № 075-02-2022-896.

С С 2022 Тасоев Б. Б.

единицы играют соответственно нулевое и тождественное отображения, а булевы операции имеют вид:

п Л р := п о р = р о п, п V р : = п + р — п о р, п ^± := I x — п (п,р Е B).

Предположим, что в L ( X ) имеется полная булева алгебра проекторов единичной нормы B. Нормированное пространство X называется B -циклическим , если для произвольного разбиения единицы (п ^ ) С B и любого семейства (х ^ ) С U x существует и при том единственный х Е U x , для которого выполняется п ^ х = п ^ х при всех £, см. [2, § 7.3.3].

Пусть Q — экстремальный компакт, Y — банахово пространство. Обозначим символом C ^ ( Q,Y ) множество классов эквивалентности непрерывных вектор-функций, действующих из котощих множеств dom(u) С Q в Y . Напомним, что множество в топологическом пространстве называют котощим , если его дополнение является тощим. Множество C ^ (Q, Y) можно естественным образом снабдить структурой модуля над кольцом C ^ (Q). Более того, непрерывное продолжение поточечной нормы t н- \\ f (t) \ (t Е dom(f), f Е C ^ (Q,Y)) определяет разложимую норму |J на C ^ ( Q,Y ) со значениями в C ^ ( Q ) (подробности см. [2, §2.3.3]). Введем пространство C # ( Q,Y ) := { f Е C ^ (Q, Y) : |f| Е C (Q)} и ному в нем \\ f \| := \||f 11|^. Обозначим через B булеву алгебру всех характеристических функций открыто-замкнутых подмножеств множества Q. Тогда C # ( Q,Y ) будет B-циклическим банаховым пространством.

Введем определение вложимости банахова пространства в B-циклическое банахово пространство.

Определение 3. Пусть Y — банахово пространство, X — B-циклическое банахово пространство, B _π — главный идеал в B, порожденный некоторым ненулевым элементом п Е B. Будем говорить, что Y В _п -вложимо в X , если:

• 1)    T : Y ^ X — вложение;

• 2)    существует е >  0 такое, что \ рТу \ х ^ е \ Ту \ х для всех у Е Y и 0 = р Е В _п .

В данном случае будем говорить, что T — B _π -вложение.

Пусть G — стоуновский компакт некоторой булевой алгебры B q . Как известно, булеву алгебру B q можно отождествить с пространством характеристических функций открытозамкнутых подмножеств множества G. При таком отождествлении для произвольных п 1 ,...,п _п Е B q и y i ,... ,y n Е Y символом 52П =1 п 0 y i будем обозначать непрерывную функцию из G в Y , действующую по правилу 52П =х п 0 y i (q) := 52П =х п ( q)y i для всех q Е G .

Теорема 1. Пусть X — B -циклическое банахово пространство, Q — стоуновский компакт B , В _п — главный идеал в B , порожденный ненулевым элементом п Е B и Y — банахово пространство. Следующие утверждения эквивалентны:

• (1)    Y — В _п -вложимо в X;

• (2)    для стоуновского компакта G Е Clop(Q) булевой алгебры В _п существует вложение T : C ^ ( G, Y ) ^ X такое, что Т ( р 0 у) = рТ ( п 0 у ) для всех у Е Y, р Е В _п .

• <1    (1) ^ (2). По условию существуют вложение T : Y ^ X, ненулевой элемент п Е B и е > 0 такие, что \ рТу \ ^ е \ Ту \ для всех у Е Y и 0 = р Е В _п . Так как T — вложение, найдутся константы K,M >  0 такие, что K \ у \ С ||Ту \ С M \ у \ для всех у Е Y .

Пусть St(G, Y ) обозначает множество классов эквивалентности функций из C # ( G, Y ) вида ^2"=! П i 0 y i , действующих по правилу

^2 ^п i ⁰ y i ⁽q) ^:= 52^п i ⁽q⁾ y i ⁽ q^{Е G )} , i =1                 i =1

где y i ,..., y n E Y , n i ,..., n n — разбиение единицы в B _n , n E N. Определим оператор T : St(G, Y ) ^ X по формуле

T

^ E n i 0 y^

n

^: = E ⁿ i T ( у )

i =1

для всех 52П =1 n i 0 y i E St(G, Y). Покажем корректность определения T . Отметим, что

если р 0 у = 0 для некоторых р E В _п и у E Y , то либо р = 0, либо у = 0. Поэтому pTy = 0

для всех р E В _п и у E Y таких, что р 0 у = 0. Пусть 0 = ^1^=1 p i 0 y i E St(G, Y ). Тогда P i 0 y i = 0 для всех i = 1,... n ив силу выше сказанного T( ^^=1 p _i 0 yi} = ^2П =1 p _i T (y i ) = 0. Следовательно,

T

^ E P i ⁰ yi^

=0

для всех 0 = ^2П=1 pi 0 yi E St(G, Y). Пусть z E St(G, Y) имеет два представления z = 52П=1 ni 0 Xi = 52mi рз 0 yj. Тогда выполняется равенство 0 = 52П=1 52j=i(ni Л рз) 0 (xi — yj). Следовательно, в силу (2) справедливы равенства nm          nm

E E(ni Л рз) 0 (xi - yj) ) = E E(ni Л рз) T(xi - yj) i=i j=i                           i=i j=i nm       nm nm

2^ n i 0 X i I — T 7 у р з ⁰ У з .

= Е E(n i Л р з ) T (X i ) — Е E(n i Л р з ) T ( У з ) = T i =i j =i                    i =i j =i

Тем самым показана корректность определения T . Ясно, что оператор T линеен и T ( р 0 у ) = pT (п 0 у) для всех y E Y , р E В _п .

Так как G E Clop(Q), то будем отождествлять C (G) с идеалом в C (Q), состоящим из всех функций из C (Q), обращающихся в нуль на дополнении множества G. Для произвольного ^2П =1 n i 0 y i E St(G, Y) выполняются соотношения

T

^ E n i 0 yi^

n

= £ nil T ( y i ) lx

X  i =i

n

< Eni(T(yi)lx i=i

n

< M E n i ( y i ( y i =i

= M

n ni 0 yi i=i

C # ( G,Y )

где I^- lx : X ^ C (Q) — векторная норма такая, что ( x ( x = ( |xlx ( c(q) для всех x E X (см. [2, § 7.3.3]). Следовательно,

T

^ E n i 0 yi^

< M

X

n ni 0 yi i=i

C # ( g,y )

для всех 52П =1 n i 0 y i E St(G, Y ). Для установления обратного неравенства отметим, что | Ty |x ^ en ( Ty ( для всех у E Y , где неравенство понимается в C (Q). Действительно, если | Ty |x (q) < en(q) ( Ty ( для некоторого q E Q и у E Y , то найдется р ^ n такой, что р| Tylx < ^£n ( Ty ( . Тогда ( pTy ( < e ( Ty ( , что противоречит условию (1) данной теоремы.

В силу выше сказанного выполняются соотношения

T(

n

52 П 0 yi I i=1        /

n

= £ nil T ( y i ) lx

X i =1

n

> «2>||Г (У< )lx i=1

n

> EK 5 ^п i hi II Y i =1

= EK '^n i 0 y i i =1

C # ( GY )

для всех ^2П =1 n i 0 y i G St(G, Y ). Таким образом, в виду (3) справедливы оценки

εK

n

52 n i 0 y i       C

T

^ 52 n i 0 y^

n

C M 5 n i 0 y i

X      i =1

C # ( GY )

для всех 52П =1 n i 0 y i G St(G, Y ). Так как X и C # ( G, Y ) являются пространствами Банаха — Канторовича, а пространство St(G, Y) bo-плотно в C # ( G,Y ) (см. [2, 2.3.4 (3)]), то в виду полученных оценок распространим T на все пространство C # ( G,Y ). Получим

^EK\^f Ic# (G,Y ) ^C Tf )lx ^C Mf Ic# (G,Y )

для всех f G C # ( G,Y ). Следовательно, eK I f | c # ( g,y ) C | T ( f ) | x C M I f | c # (g,y ) для всех f G C # ( G, Y ). Таким образом, T — искомое вложение.

• (2) ^ (1). Пусть имеем вложение T : C # ( G, Y ) ^ X такое, что T ( р 0 y) = pT (п 0 y ) для всех y G Y , р G В _п . Напомним, что п мы отождествляем с функцией 1 g равной единице на G. Так как T — вложение, то существуют константы K,M > 0 такие, что ^{K | f} IIc#( G,Y ) ^C W T ^{( f} ) ^| X ^{C M | f} IIc#( G,Y ) для ^{всех f G C} # ^{( G,Y} )• ^{Положим по} определению

T ( y ):= T (п 0 y )                                 (4)

для всех y G Y . Тогда, так как | p 0 y l c # ( g,y ) = | y | Y для всех y G Y и 0 = p G B _n , то выполняются соотношения K | y | Y C | Ty | x ^ M | y | Y . Более того, | pT(y) | x = | pT(п 0 y) | x = | T ( p 0 y) | x >  K | p 0 y | c # ( G,Y ) = K | y | Y >  ( K/M ) l Ty I x , т. е. | pT(y) | x >  ( K/M ) | Ty | x для всех y G Y и 0 = p G B _n . Таким образом, T : Y ^ X — искомое B _n -вложение. >

Введем определение решеточной вложимости банаховых решеток в B-циклические банаховы решетки.

Определение 4. Пусть Y — банахова решетка, X — B-циклическая банахова решетка, где B — полная булева подалгебра алгебры порядковых проекторов в X , B _π — главный идеал в B, порожденный некоторым ненулевым элементом п G B. Будем говорить, что Y решеточно B _π -вложимо в X , если:

• 1)    T : Y ^ X — решеточное вложение;

• 2)    существует E >  0 такое, что | pTy | x ^ E | Ty | x для всех y G Y и 0 = р G В _п .

В данном определении будем говорить, что T — решеточное B _π -вложение .

Теорема 2. Пусть X — B -циклическая банахова решетка, Q — стоуновский компакт B , В _п — главный идеал в B , порожденный ненулевым элементом п G B , и Y — банахова решетка. Следующие утверждения эквивалентны:

• (1)    Y решеточно В _п -вложимо в X;

• (2)    для стоуновского компакта G Е Clop(Q) булевой алгебры В _п существует решеточное вложение Т : C # (G, Y ) ^ X такое, что Т ( р 0 у) = рТ (п 0 у ) для всех у Е Y, р Е В п.

• <1    (1) ^ (2). Пусть Т : Y ^ X — решеточное В _п -вложение. Из определения Т : St(G, Y) ^ X по формуле (1) следует, что Т будет сохранять модуль при условии, что Т : Y ^ X — решеточный гомоморфизм. Далее, повторяя рассуждения доказательства (1) ^ (2) теоремы 1, получим решеточное вложение Т : C # ( G, Y ) ^ X с требуемым свойством.

• (2) ^ (1) Пусть имеем решеточное вложение Т : C # ( G, Y ) ^ X такое, что Т ( р 0 у ) = рТ (п 0 у) для всех у Е Y , р Е В _п . Учитывая равенство | п 0 у | = п 0 | у | для всех у Е Y , получим, что оператор Т : Y ^ X, определяемый по формуле (4), является решеточным гомоморфизмом. Далее, повторяя рассуждения доказательства (2) ^ (1) теоремы 1, получим требуемое решеточное B _π -вложение. ⊲

Пользуясь теоремами 1 и 2, можно получить следующий результат.

Теорема 3. Для B -циклической банаховой решетки X равносильны утверждения:

• (1)    X порядково В -пепрерывпа. т. е. если x _a ^ 0 в X , то для любого е >  0 существует разбиение единицы (п _а ) в В такое, что ||п _а х _а || < е для всех а;

• (2)    не существует ненулевого проектора п Е В такого, чтобы банахова решетка l ^ была решеточно B _π -вложима в X.