Внутрипредметные связи как основа успешного использования свойств элементарных функций при решении уравнений и неравенств

Для успешного применения изученных свойств математических объектов при решении задач учащийся должен представлять себе логическую структуру сведений, изученных им в курсе математики, уметь вычленить характеристические свойства этих объектов, представлять себе их классификацию и сопоставлять ее с набором изученных алгоритмов и приемов решения.

Решение уравнений и неравенств как ключевая составляющая школьного обучения математике является показательной иллюстрацией данного тезиса.

В школьном курсе математики учащиеся изучают различные виды уравнений и неравенств и соответственно достаточно большое количество методов и приемов их решения как чисто алгоритмических, так и эвристических. Следует подчеркнуть этапность изучения методов, при которой происходит переход от более простых, алгоритмизированных методов, к более сложным, требующим «математической зоркости» и интуиции. Так, на начальных стадиях освоения математического аппарата решения уравнений и неравенств того или иного вида действия по их решению являются строго алгоритмизированными и требуют от учащегося исключительно выполнения алгоритма, заученного на последнем либо нескольких уроках. Однако уже на следующих стадиях, при переходе от элементарных уравнений к более сложным, от учащихся требуется не просто применить конкретный изученный алгоритм, а оценить данное уравнение или неравенство на его принадлежность к тому или иному виду (либо же возможность приведения к некоторому виду с помощью преобразований), а, следовательно, выбрать из множества изученных алгоритмов решений и методов преобразований один или несколько последовательных, применение которых именно к данному уравнению (неравенству) даст эффективный результат. Для конструктивного выбора учащийся должен, во-первых, владеть всеми нужными алгоритмами и методами, а, во-вторых, достаточно легко осуществлять классификацию уравнений и неравенств. При этом надо отметить, что в старших классах, а особенно в профильных с углубленным изучением математики, предлагаемые к решению уравнения и неравенства достаточно сложны даже для того, чтобы их классифицировать.

Поэтому одним из необходимых условий для успешного овладения учащимися вышеуказанными навыками является формирование у них структурного и системного подходов к изучаемому курсу.

В.А. Онищук в пособии [1], посвященном дидактическим проблемам современного урока, в качестве приоритетного направления научных поисков выделяет осуществление межпредметных и внутрипредметных связей. При этом преследуются такие цели и задачи, как «воспроизведение и последующая коррекция опорных для усвоения нового материала знаний и практических навыков и умений», а также «достижение обобщения и систематизации широкого круга знания» [2]. С этих позиций рассмотрим вопрос о структурировании внутрипредметных связей с учетом важнейших дидактических принципов.

Проблема реализации межпредметных и внутрипредметных связей была исследована В.М. Монаховым и В.Ю. Гуревичем. Они в своей статье [3], посвященной проблеме оптимизации объема и структуры учебного материала, выдвигают ряд положений, принципиально важных для нашего исследования и требующих подробной развертки. Речь идет о теоретической модели внутрипредметных связей, последовательно реализуемой авторами и предназначенной для планирования учебной работы по различным дисциплинам школьного цикла. «В любом учебном материале элементы знаний расположены в определенной последовательности. <...> Если элемент знаний А используется в качестве необходимого для изучения элемента знаний В, то будем говорить, что между этими элементами существует связь, которую обозначим так: А →В. Если А и В изучаются в рамках одного учебного предмета, то А→В – внутрипредметная связь, если А и В изучаются в рамках разных учебных предметов, то А→В – межпредметная связь – так формулируется исходное условие для построения системной модели, о которой говорилось выше» [4].

Рассмотрим более детально теоретический подход к формированию внутрипредметных связей и реализацию этого подхода в применении к школьному курсу математики.

Внутрипредметные связи математики – это взаимосвязь и взаимообусловленность математических понятий, разделенных временем их изучения. Их учет означает целесообразную организацию изучения взаимосвязанных понятий на определенных этапах образования.

За 2 года обучения в старших классах общеобразовательной школы ученики изучают большое количество различных тем и разделов. Отдельное изучение материала (вне связи друг с другом и изученным ранее) создает проблему разобщенности освоения математики. Использование внутрипредметных связей, по мнению автора, поможет решить эту проблему.

При реализации внутрипредметных связей в процессе обучения следует учитывать тот факт, что они могут быть логико-математического и методического характера. Логико-математические связи есть необходимые, глубокие, органичные связи, вытекающие из логики и содержания учебного предмета; на их основе в дальнейшем строится изучение материала. Примером может служить связь между функциями, которые получаются одна из другой как обратная. Методические связи выполняют чисто дидактические функции, они приводятся с целью иллюстрации, сравнения, сопоставления, противопоставления и т.д. и реализуются учителем в процессе адаптации учебного материала к возрастным и индивидуальным особенностям учащихся [5, с. 4].

Обратимся к работе А.А. Аксенова «Теоретические основы реализации внутрипредметных связей посредством решения задач в классах с углубленным изучением математики» [6]. Автор понимает под внутрипредметными связями наличие общих логических закономерностей в конструировании и решении задач. Вот как он описывает реализацию этих связей: «При полноценной реализации внутрипредметных связей посредством решения задач автоматически создается возможность для обучения учащихся использованию в решении задач не только тех средств, которыми она сформулирована, но и средств других математических теорий». Это как раз и есть реализация внутрипредметных связей посредством решения задач. Он справедливо пишет: «Нужно большее внимание уделять внутрипредметным связям. При этом они должны носить не эпизодический характер и применяться не только на уроках обобщающего повторения, а использоваться практически постоянно в текущей работе». В частности, для подтверждения указанной теоретической концепции автор упоминает, что в школе изучается всего пять видов уравнений, неравенств и их систем (педагог должен представлять, какие именно), а также обобщает методы решения выбранного им класса задач (уравнений, неравенств и их систем), сводя их к пяти основным.

Следует отметить, что в трудах А.А. Аксенова речь идет о теоретических основах реализации внутрипредметных связей посредством решения задач, причем об их использовании в классах с углубленным изучением математики. Его исследования возможно конкретизировать для общеобразовательных классов. В соответствии с федеральным государственным образовательным стандартом среднего общего образования в старших классах речь идет об организации профильного обучения и, соответственно, об изучении математики на базовом и углубленном уровнях. Если речь идет об углубленном уровне, то исследования А.А. Аксенова дают возможность построения методики изучения предмета с глубоким использованием внутрипредметных связей, а если о базовом, то эту методику необходимо адаптировать не только на уровне построения систем задач и моделей, но и с учетом логико-математического и методического характера внут-рипредметных связей, что, как следствие, затронет особенности расположения учебного материала для достижения большей эффективности их реализации.

В настоящее время существует достаточное, если не избыточное, количество учебников по математике, однако они не в состоянии обеспечить должный уровень эффективности обучения. Причин тому, по крайней мере, две. Первая состоит в том, что курс математики старшей школы очень объемен, теоретическая часть его содержит большое количество информации, которую учащиеся не успевают эффективно усваивать. Кроме того, оставляет желать лучшего и последовательность изложения материала.

Вторая причина состоит в подборе задач в учебниках. Они зачастую бывают то слишком легкими, то слишком трудными, могут быть не связаны друг с другом и иметь различный теоретический материал. Это не предоставляет школьникам возможности систематизировать и обобщить материал, а также связать его с ранее изученным. По мнению автора, эта проблема может быть решена путем реализации внутрипредметных связей. Возможность этого будет нами продемонстрирована на примере связанного изучения функционально-графической линии и линии уравнений и неравенств. Взаимосвязь и взаимообусловленность разделов «Функции» и «Уравнения, неравенства» демонстрируют необходимость установления тесных внутрипредметных связей для них. Рассмотрим ключевые факторы, определяющие эту взаимосвязь.

Очевидным примером такой взаимосвязи является решение уравнения вида f(x ) = 0, для которого достаточно найти нули функции f(x ). В простейшем случае функция f ( x ) является одной из изученных ранее в школьном курсе математики. Знание ее свойств предоставляет учащемуся информацию о количестве нулей указанной функции и методах их поиска. В более сложном случае учащийся должен предварительно провести некоторые преобразования данного уравнения для того, чтобы привести его к виду f(x ) = 0, где f ( x) - функция, для которой он владеет аппаратом поиска нулей.

Наглядным для учащихся является графический метод решения уравнений, неравенств и их систем. Необходимой его составляющей является построение графиков соответствующих уравнений, для чего, в свою очередь, значимыми являются навыки построения и преобразования графиков функций, с помощью которых сконструированы указанные уравнения, неравенства и их системы, что основано на свойствах этих функций.

На основании отдельных свойств функций построен ряд методов решения уравнений (неравенств), например:

• -    свойство возрастающей (убывающей) функции «принимать каждое свое значение только один раз» лежит в основе математического аппарата решения уравнений вида f ( x) = g(x ), где одна из функций является возрастающей, а другая - убывающей;

• -    если одна из функций f(x ) и g(x ) принимает только неотрицательные значения, а другая -только неположительные, то уравнение f(x) = g(x ) равносильно каждому из уравнений f ( x) = 0 и g ( x ) = 0;

• -    если уравнение (неравенство) содержит корни четной степени с переменной в подкоренном выражении, то это накладывает определенные ограничения на область определения уравнения, вплоть до того, что она может свестись к единственному числу (например, если уравнение сводится к уравнению вида | х = о ).

Удобным инструментарием для решения задач с параметрами, в которых требуется определить количество корней уравнения f ( x) = а в зависимости от значения параметра а , является построение графика функции y = f(x ) и определение количества точек пересечения построенного графика с горизонтальной прямой у = а .

Все вышеприведенные примеры свидетельствуют о том, что для эффективного решения уравнений, неравенств и их систем учащиеся должны активно владеть информацией о свойствах функций, изученных в школьном курсе математики, и математическим аппаратом преобразования выражений с тем, чтобы представить данное уравнение (неравенство) в виде, позволяющем свести его решение к использованию свойств указанных функций.

Содержание и глубина внутрипредметных связей зависят от конкретной ситуации - в той или иной мере от индивидуальных особенностей школьников, от их уровня овладения обязательными результатами обучения. С другой стороны, характеристики связей зависят от видов учебной деятельности, которые они выполняют на каждом этапе овладения учебным материалом.

Большинство современных исследований и методик установления внутрипредметных связей направлено на их применение на этапе обобщающего повторения. Мы предлагаем использовать внутрипредметные связи на протяжении всего периода обучения математике в старших классах общеобразовательной школы. В частности, в применении к связи между свойствами функций и математическим аппаратом решения уравнений (неравенств), что говорит о необходимости подбора дидактического материала для их решения таким образом, чтобы учащиеся вынуждены были обращаться к как можно более широкому диапазону ранее изученных функций и их свойств, актуализируя и закрепляя ранее полученные знания.

Ссылки:

• 1.    Онищук В.А. Урок в современной школе: пособие для учителей. М., 1981. 191 с.

• 2.    Там же. С. 67.

• 3.    Монахов В.М., Гуревич Ю.В. Оптимизация объема и структуры учебного материала // Советская педагогика. 1980. № 12.

• 4.    Там же. С. 15.

• 5.    Далингер В.А. Методика реализации внутрипредметных связей при обучении математике. М., 1991. 80 с.

• 6.    Аксенов А.А. Теоретические основы реализации внутрипредметных связей посредством решения задач в классах с углубленным изучением математики: дис. … канд. пед. наук. Орел, 2000. 160 c.