Волновое уравнение с кубической нелинейностью и возбуждение колебаний в системе "среда-источник"
Бесплатный доступ
Получено новое точное решение волнового уравнения с источником, зависящим от искомой функции и времени. Функция источника имеет полиномиальную (третьей степени) нелинейность, а также два дополнительных аддитивных члена, в которые входят вторая и третья степени искомой функции и явная синусная зависимость от времени. Построенные соотношения описывают именно процесс возбуждения колебаний в системе «среда - нелинейный реономный источник» и поэтому не содержат в себе как частный случай решение волнового уравнения с обычной кубической нелинейностью. Физическая интерпретация результатов работы обусловлена свойствами внешнего периодического воздействия на среду. Решение получено на плоскости «искомая функция - время» и дает аналитические выражения частных производных искомой функции по пространственной координате и времени. Это позволяет изучать нестационарные свойства изолиний искомой функции: их скорость и условия, при которых эта скорость является знакопеременной. Важное влияние на поведение изолиний оказывает наклон функции источника в малой окрестности нулевого значения искомой функции. А именно: его знак определяет режим движения (дозвуковой либо сверхзвуковой) изолинии, а его модуль служит масштабом при вычислении безразмерной частоты возбуждающих колебаний. В работе рассмотрены интервалы высоких и низких частот. В каждый момент времени градиентные свойства искомой функции характеризует монотонный профиль, располагающийся в полубесконечной области на плоскости «координата - искомая функция». Указаны условия, при которых происходят периодические по времени кинк-пульсации: в отдельные мгновения исходный монотонный профиль трансформируется в кинк, соответствующий двум состояниям равновесия системы. Изучены нестационарные свойства кривизны монотонных профилей: появление точек перегиба и точек спрямления. Рассмотрены два монотонных профиля: левая и правая ветви, расположенные в полубесконечных областях, соответственно, слева и справа от начала координат. Эти ветви совершают колебательные движения, периодически сближаясь и удаляясь друг от друга. В моменты времени, когда ветви примыкают к началу координат, они образуют неподвижный разрыв, который является слабым или сильным, если наклоны ветвей соответственно разных знаков либо одного знака. Обнаружено, что в ходе такого колебательного процесса в интервале высоких частот возможен трансзвуковой переход: скорость изолинии меняется от дозвукового значения к сверхзвуковому. Построена конфигурация волнового типа: левая и правая ветви, образующие слабый либо сильный разрыв, совершают периодическое по времени движение вдоль оси координат.
Волновое уравнение, кубическая нелинейность источника, трансзвуковой переход, подвижная граница, слабый и сильный разрыв
Короткий адрес: https://sciup.org/147235828
IDR: 147235828 | DOI: 10.14529/mmph210406
Текст научной статьи Волновое уравнение с кубической нелинейностью и возбуждение колебаний в системе "среда-источник"
Введение. Волновые уравнения с линейными и нелинейными источниками (уравнения Клейна-Гордона) являются фундаментальными уравнениями математической физики и позволяют изучать динамические свойства неравновесных состояний теплофизических, физикохимических и биологических систем [1-3]. Область практического применения уравнений Клейна–Гордона в значительной степени расширяется при учете явной зависимости функции источника от времени. Такой нелинейный реономный источник позволяет моделировать влияние внешней силы и рассматривать физически содержательные режимы воздействия на скорость и направление движения волны. Современное состояние названной проблемы и подробная библиография представлены в работах [4-8]. Отметим, что в этих исследованиях основное внимание было обращено на уравнение синус-Гордона с модификациями, относящимися к различным способам внешнего нестационарного воздействия на среду.
Цель данной статьи - построить и проанализировать точное решение волнового уравнения, для которого функция источника содержит кубическую нелинейность и явную синусную зависи- мость от времени.
Построение решения. Одномерное волновое уравнение с источником имеет вид д 2 т д 2 т
"^ д(х')2 ~ ’ где т - функция, описывающая некоторое физическое свойство среды; t - время; х' = х^; x - де картова координата; w - скорость распространения малых возмущений; kи = ки (т, t) - функция источника. Для размерных и безразмерных уравнений пользуемся одинаковой формой записи, применяя масштабы тb и tb:
( тК ) ^ т , ( Фь ) ^ t , [ х / ( wtb ) ]^ х ', ( k , / h ть ) ^ k u •
Изолиния т(х',t) = Ti = const перемещается со скоростью N = dx/dt, которая является дозвуковой/сверхзвуковой, если число Маха M = dxУdt = N/ w меньше/больше единицы. Обозначим u = дт/дх', v = дт/дt, dт = udx' + vdt и вместо (1) запишем систему уравнений
( д v /д t ) - ( д u /д х ') = k o , д u/д t = д ф дх’ .
После преобразования независимых переменных ( х ', t ) ^ ( т , t ) получаем [9]: д v д v д u ,
--+ v--u— = k,,, д t дт дт д u д u дv
--+ v— = u— • д t дт дт
Здесь D(т,t)]D(х',t) = дт/дх' ^ 0. Изолиния т = Ti движется со скоростью M = -v(тi,t)/u (тi,t) • Решение представим в виде u = т [ a0 + т (a1 sin kt + a2 cos kt)], v = т [bo + т(b1 sin kt + b2 cos kt)], к = const > 0 •
Шесть постоянных коэффициентов a а, b а, а = 0,1,2 связаны, согласно (3), следующими двумя соотношениями:
a0b1 = b0a1 - ka2, a0b2 = b0a2 + ka1 •(6)
Остальные формулы, необходимые для замыкания задачи, получаем на основе (2) при построении функции источника, вид которой определяется выражением ky = Q1т ± Q2т2 sin (kt + в) + Q3т3 (1 + a3sin2 kt).(7)
В этом случае b0 = a0 + Q1 , b2 -a12 = b22 -a2 = S3/2 ,
Q 3 a 3 = 2 ( b i b 2 - a i a 2 ) , tg в = C 2/ Q , Q 22 = C 2 + C 2 ,
C 1 = 3 ( b 0 b 1 - a0 a 1 ) - kb2 , C 2 = 3 ( b 0 b 2 - a 0 a 2 ) + kb 1 •
Физическое содержание данного решения зависит от выбора коэффициентов Q 1 , Q 2, Q 3. Подробные формулы для Q 2 , a 2 будут указаны в ходе дальнейших вычислений. Величина в , а также выбор знаков «+» и «-» перед Q 2 в (7) относятся к допустимым вариантам начального ( t = 0) состояния источника. После подстановки b 1 , b 2 из (6) в (8) получаем
( a 2 ) 1,2
1 k
b0 a1 ±



причем знак перед корнем такой же, как знак произведения b0a1. Здесь и в дальнейшем нижние индексы 1, 2 соответствуют знакам «+»/«–» перед корнем. При проведении расчетов учитываем, что a2 - a1 = 4b0ka1a2/(k2 - Q1) , a1 + a2 = a0 6з/(k2 + Q1) ,
В результате находим
2 a 23 = a 2 Q 3 1+ 4 k 2 b 2 2Z >0
( 1 2 ( k 2 + Q i ) [" ^4 a 2 k 2 + ( k 2 + Q i ) 2
Обращаем внимание на то, что здесь подкоренное выражение положительное и меньше единицы. Выбор знака перед корнем в (11) выполняется при физическом истолковании решения. Из последующих аналитических преобразований будет ясно, что выражения (10) не содержат особенность типа «деление на ноль». Связь a 2 ^ Q 2 имеет вид:
16 k 2 a 2 Q 3 = ( k 2 + Q i ) Q 2 2 - Q 3 ( k 4 + 10 k 2 Q i + 9Q 2 ) . (12)
Таким образом, аналитическая структура решения (4), (5) основана на формулах (12), (11), (9), (8) и (6). Следует отметить, что полученное решение не содержит в себе как частный случай варианты, когда Q 2 = 0 и/или a 3 = 0.
Свойства решения. Возьмем для определенности конечный интервал т е(0,тm ], τm ≡ const > 0, для которого и>0, x'е(-да,xm]. Для т < 0 рассуждения аналогичные. Принимаем естественное ограничение a2 >(a2 + a2 )Tm, (13)
которое говорит о том, что sgn u = sgn( τa 0 ).
ZX/- 9 9 9 /1 AX 7 9 7 9 .7 9 TT /АХ 7 9 9 "I—Г
Обозначим a12 = a1 + a2 , см.(10); b12 = b1 + b2 . Из (8) следует, что b12 = a12 + Q3. Представим скорость изолинии т = тi и ее закон движения следующими выражениями:
dx /dt = -[ b 0 + b 12 r Z sin ( kt + p 2 ) ]/[ a 0 + a10 r Z sin ( kt + p 1 ) ] , a 0 > 0, b 0 < 0, a 12 > 0, b 12 > 0,
x ; ( t ) . x ‘ ( r = r i , t ) = - b i t. - lln a 0 + a 12 r z sin ( kt + P 1 ) + const. a 0 a 0 a 0 + a 12 т Z ■ sin P 1
Здесь tg в1 = a 2 !a\ , tg в2 = b2 P\ , cos (в1 - в2 ) = b0 a12/(a0 ^2), в1 ^ в2 • Итоговая запись функции (15) не содержит b12. Пусть x’(т = Ti,t = 0) = 0; тогда изолиния (ri + Ar)< Tm, расположенная выше (Ат>0), имеет начальную координату x’(ri + Ат,t = 0) = c0 > 0, где exp (-a0 С0 ) = T,-[a0 +(TZ- +Ат ) a12 sin Р1 ]/[(т,- +Ат)( a0 + T,-a12 sin P1 )]<1.
Анализ показал, что при всех t >0 выполнено неравенство x '( r i + А т , t ) > x ’ ( r i , t ) , которое означает, что в каждый момент времени верхняя изолиния расположена справа от нижней вдоль оси x ‘ . Следовательно, данное решение не разрушается во все время движения профиля u = u ( x ', t ) .
Если a 2 = r m a ^ , т. е. ^ r m Q 3J ( k 2 + Q 1 ) ^ = 1, то, согласно (14), в те моменты времени t = t p , когда sin ( kt + в 1 ) = - 1, тт - изолиния удаляется на бесконечность ( x'm ^да ) с неограниченно большой скоростью, и исходный профиль принимает вид кинк-перехода между состояниями равновесия ( τ = 0, t ≥ 0) и ( τ = τm , t = tp ). Такой режим движения можно назвать кинк-пульсациями монотонного профиля u = u ( x ', t ) > 0, рис. 1.

Рис. 1. Кинк-пульсации монотонного профиля. Стрелка указывает направление движения
Обсудим поведение решения в малой окрестности т = 0. При т = + 0 получаем из (4), (5) с точностью до членов первого порядка по т: т = т 0 exp £ , Ь = a 0 x ' + b 0 1 < 0, a 0 > 0, b 0 < 0, x ' < 0, t > 0, т 0 = const. Ясно, что эта экспонента (ангармоническое автомодельное решение) удовлетворяет уравнению d 2 т/ d с 2 = т, которое есть результат линеаризации (1), (7) в окрестности решения т=0. Данный вывод относится к положительным и отрицательным значениям Q1 = b 0 - a 2 , где Q 1 - наклон функции источника к и = Q1 T (см. (7)). Рассмотрим изолинию т = T i = £ = + 0, где г - малое положительное число; далее для краткости называем ее е -изолинией. Для нее квадрат числа Маха равен м £ = 1 + ( Q 1 / a 2 ) > 0, поэтому Q 1 характеризует отклонение скорости г-изолинии от скорости звука. При Q 1 < 0 эта скорость дозвуковая, при Q 1 > 0 - сверхзвуковая. Проанализируем поведение решения (4), (5), (7) при различных вариантах выбора знаков коэффициентов Q 1 и Q 3.
Колебания высокой частоты. Допустим, что Q 1 < 0, Q 3 > 0, k 2 + Q 1 > 0. Условие (13) приводит к неравенству
0 <[ Q 3 T 2! ( к 2 + Q i ) ]< 1. (16) Для удобства аналитических преобразований введем в рассмотрение вместо Q 2 вспомогательный параметр m 1 :
Q2 =-16Q1Q3/(1 - m 12), 0 < m1 < 1. (17) Требование выполнения неравенства b0 = a0 + Q1 > 0 дает оценку интервала, в котором меняется частота колебаний источника (7). Обозначаем р2 = к2/(-Q1) и получаем интервал высоких час- тот
1 < Ц 2 < Ц< Ц 1 ,
Ц 2 = ( 3 тх + 5 )/( 1 - тх ) , Ц 2 = ( 5 - 3 тх )/( 1 + тх ) .
В этом случае имеем a 2 = - Q1 a 2 1,
a
2 ti
01 16 ц 2
1 - т 2
- Ц + 9
> 1,
и поэтому a 2 + a 2 в (10) не содержит к 2 + Q 1 = - Q 1 ( Ц - 1 ) .
Порядок расчетов состоит в следующем. Указываем интервал (0, тт ], внутри которого расположена область изменения функции т (x', t). Задаем произвольно параметр источника Q1 < 0 ; выбираем значение тх е(0,1) и подсчитываем Ц, Ц2 в (19); частоту колебаний источника можем варьировать в интервале (18). Для выбранного значения р2 подсчитываем к2 + Q1 > 0, а на основе оценки (16) задаем параметр источника Q3: 0 < Q3 <[(-Q1)(4 -1)^Tm j . Определяем Q2
из (17). Коэффициент а 3 в (7) характеризует амплитуду внешнего периодического воздействия на среду и коррелирует с частотой колебаний следующим образом:
a 32
= 1 +
A/u l - 4 2 4 ( — 1 ) '
При фиксированном m 1 , (см. (19)), зависимость a 3 от р 2 - монотонно убывающая. Вместе с тем верхняя граница значений Q 3 монотонно растет по мере роста р2 > 1. Далее вычисляем последовательно a 2 , a 12 и ( a 2 )12 по формулам (12), (11) и (9), а также находим b 2 ; здесь в (11) был взят «-» перед корнем. Для подсчета b 1 , b 2 и tg в применяем (6) и (8). Выбор знаков коэффициентов a 0, a 1 , ( a 2 ^ 2, b о выполняем при физическом истолковании данного решения.
Итак, константа m 1 влияет опосредованным образом на ширину интервала частоты колебаний (см. (18), (19)) и на параметры Q 2, Q 3, а 3 источника (см. (16), (17), (21)). Случай m 1 =1-0 оставляем в стороне, потому что он приводит к неограниченно большим значениям Q 2 и a 3 .
Пример расчета. Задаем тт = 1, Q 1 = -1, m 1 = 1/2. Тогда 4 = 13, р 2 = 7/3 ; берем р = 2. Значит, Q 3 е ( 0,3 ) . Берем Q 3= 1 и получаем Q 2 = 8043 , a 2 = 115/36. Далее находим a 2 = 79/64, b 2 = 1564. Числовые значения остальных констант, входящих в решение, здесь не приводятся:
эти вычисления нетрудно воспроизвести.
Обсудим возможность перемены знака скорости изолинии. Основное неравенство (16) запишем в виде 4 = 50 (-Q1)(4 -1)Jq3 , 50 «=(0,1), и тогда т2 = 50 т0, 50 е(0,1]. Скоростьт изолинии сохраняет постоянный знак, если b2 > т2b22. Это условие выполняется для изолиний с номерами Si, удовлетворяющими неравенству
50 <(a021 -1)/[50 (a21 -1 + 4 )].(22)
Здесь знак равенства относится к изолинии, скорость которой обращается в ноль в отдельные моменты времени. Скорость т i - изолинии знакопеременная, если
(a01 -1)/[50 (a01 -1 + 4 )] <52 < 1.(23)
Такие 5 2 существуют, если 5 0 не является слишком малым:
( a 021 - 1 )/( a 21 - 1 + 4 ) < 5 0 < 1.
Поведение кривизны линии т = т (x', t) ясно из рассмотрения формулы д2т,д(x')2 = u[a0 + laaX2 sin(kt + 01)].(24)
Это выражение имеет постоянный знак, если a2 > 4/a122, т.е. (4 - 1)>^4т0Q3/(-Q1 )j. Кривизна обращается в ноль в отдельные моменты времени на изолиниях τ=τif, для которых a2 < 4T0ja02. Знак неравенства соответствует точкам перегиба, знак равенства - точка спрямле- ния, поэтому с учетом оценки (16) получаем
1 / 0 Q 3 /( - Q 1 ) ] < ( 4 - 1 ) < [ 44 Q 3 / ( - Q 1 ) ] .
Эти неравенства совместны, если (/ 2 /4 ) < Т 2 < / .
Колебания низкой частоты. Рассмотрим случай Q 1 < 0, Q 3< 0, когда k 2+ Q 1 < 0. Должны быть выполнены условия b 2 = a 2 + Q 1 > 0 и ^ a 12 + ( Q 3/ 2 ) j> 0, (см. (9)). В формуле (11) для a 12
нужно взять «+» перед корнем. Итоговые оценки выглядят так: ( к 2 + Q 1 ) < Q 3 T m < 0.
Q 2 = m 2 Q 1 Q 3 . 9 < m 2 < 24. a o = — Q1 ao i . ao i = ( 1 — Д )( m 2 — 9 + Д )/( 16 Д ) •
Низкие частоты располагаются в интервале
■2 < Д 2 < ( V2 ) . Д = ( — m 2
—
m 4 + 16 m 2 I /2.
В отличие от колебаний высокой частоты здесь a 2 - возрастающая функция аргумента ц2: a = 1 + 9 д .
4 ('—д)
Верхняя граница значений | Q 3| равна ( — Q 1 ) ( 1 — д 2) ^T m и убывает по мере роста частоты колебаний. Порядок расчетов аналогичен предыдущему.
Пример расчета: тт = 1. Q 1 = -1. m 2 = 10. д 3 =— 8 + V65. ( — 19/20 ) < Q 3 < 0; берем
-
ц 2 = 1/20. Q 3 = -1/10 и получаем Q 2 = 1. a 2 = 97/76 .
Условия, при которых скорость изолинии имеет постоянный либо переменный знак, записываются, соответственно, в виде (22) либо (23). Содержание этих соотношений такое: T m = 5 m Q 1 ( 1 — Д ) ]q3 . Т = 5^ . S 2 e ( 0,1 ] . 5 mm e ( 0,1 ) . Точки перегиба и точки спрямления изолиний т if появляются в отдельные моменты времени (см. обсуждение формулы (25)), если
( T m Q 3 / Q 1 ) < ( 1 — Д 2 ) ^ ( 4 T fQ3 /Q 1 ) . ( T m /4 ) < Т 2 < T m .
Знак кривизны изолинии сохраняется при условии, что ( 1 — Д ) > ( 4^Q3 /Q 1 ) .
При очень малой частоте ц2 = + 0 наблюдается неустойчивость данного решения: a2 ~ (VД2) ^1. Ситуация меняется, если принять следующую зависимость коэффициента Q2 от частоты колебаний: m2 — 9 = m21o2. 0 < m21 Д < 15. Тогда имеем устойчивое решение:
Q 2 = (9 + m 2 д 2) qq . a 2, = (1 — д 2)(1 + m 2AI 16 . a 3 2 = 1 + ° ,( 1 + m 21 ) . (27)
-
2 21Л1 у ^1^3’ 01 \ д 21Л 3 к _ д ) v 7
Здесь, как и в случае (26), a2 - возрастающая функция аргумента ц2. Далее нам понадобится интересный вариант b 1 = 0, для которого m2 — 9 = О (21д4 + 92д2 + 15)Д(5д2 +1)(1 — д2 )].
m 2 е ( 9,24 ) . Q 22 = m 2 Q 1 Q 3 . д 2 е ( 0,14 ] . 6 2 = 6 0a^ К « 0 a 2 ) .
a 21 = ( Д 4 + 6 д 2 + 1 )/( 5 д 2 + 1 ) . a ^ = a 0 Q 3/ ( к 2 + Q ) . (28)
4 ( д 4 + 6 д 2 + 1 ) a g = 1 +-- т .
( 5 Д 2 + 1 )( 1 — О 2 ) 2
Отметим еще, что для рассмотренных режимов колебаний высокой и низкой частоты ( b 0 + 0) отсутствует трансзвуковой переход вида ( М ^ 2 < 1 ) ^ ( M 2 > 1 ) .
Широкий интервал частот. Перейдем к изучению варианта Q 1 > 0. Q 3 > 0, который отличается от двух предшествующих положительностью параметра Q 1 источника: е -изолиния движется со сверхзвуковой скоростью. В этом случае Q 2 = m 2 Q 1 Q 3 . к 2 = О Q 1 . ^ m Q 3 < ( к 2 + Q 1 ) .
a
m 2 — 9 — о2
4 ( Д 2 + 1 )
. m 2 > 9.
и процесс возбуждения колебаний происходит на конечном интервале частот
0 < д2 < (m2 — 9) < да . Здесь а2 - монотонно убывающая функция аргумента ц2 при фиксирован- ном m3 . Далее имеем: а0 = Q1a01, а01 = ( д +111 m3
—
9 — д 2)/(16 д 2) > 0; в формуле (11) для а 2
нужно взять «+» перед корнем; а2 определяется выражением (9). В частности, при д 2= 1 получаем а 2 = ( m 32 — 10 )/8 > 0, а 2 = а^О зД ,
( а 2 ) 1,2 = ( 1 ± 1 ) а 01 [ О з ( 1 + а 2 ) /2 ] 1 / 2 / д .
На основе соотношений Tm = 5mQi (д2 +1)/Оз, T = SiTm, 52 е( 0,1), 52 е(0,1] находим, что скорость тi - изолинии сохраняет постоянный знак при 5^ < (1 + а^
1 + а 01 + д 2 ) j . Перемена
знака происходит при ( 1 + а 2
1 + а 21 + д 2 ) |< 5 2< 1. Такое 5 2 существует, если
[ ( 1 + а 21 )Д 1 + а 21 + д 2 ) j < 5 m < 1. Трансзвуковой переход отсутствует. Условие появления точек перегиба и точек спрямления имеет вид
(д Q 3 / Q 1 ) < ( д 2 + 1 ) < ( 4 т 2 ° з Q >\ ) .
Комментарий к этим оценкам такой же, как при обсуждении формул (24), (25). В случае малой частоты [ д 2=+0] данное решение неустойчивое: а 2 ~ (V д 2 )»1.
Физические свойства источника (7) меняются, если считать, что коэффициент Q 2 зависит от частоты возбуждающих колебаний. Возьмем m 2 — 9 = m 32 1^L , где m 21 > 1 - фиксированный конечный параметр; тогда Q 2 = ( 9 + m 32 1^L ) Q 1 Q 3 , а 2 = ( д 2 + 1 )( m 2 — 1 ) /16,
a
= 1 +
д 2 ( m 21 — 1 ) 4 ( д 2 + 1 ) ’
и решение устойчивое для любого конечного д 2. Теперь, в отличие от (29), а 2 - монотонно возрастающая функция д 2.
При Q3 > 0 допускается случай Q 1 = 0, когда г-изолиния имеет звуковую скорость: качествен- но новых результатов здесь нет.
Задача с подвижной границей. В качестве физической модели решения (4), (5) рассмотрим процесс в полубесконечной области с неизвестной подвижной границей x ' = x W ( t ) : ( д т /d x ') > 0, x 'H —да xW ] , т Д °t w ] c ( ° т т ] ;
x '^—да , dTd x '^ 0, т ^ 0; x ' = x W ( t ) , ( д т/ d x ') w = g T ) , (31)
где Tw = t(xw,t). Функция g(tw) = g1Tw + gT характеризует зависимость градиента искомой функции от самой этой неизвестной функции; здесь g 1, g2 - положительные постоянные. Такая физическая интерпретация пригодна для всех трех рассмотренных выше вариантов: колебания высокой и низкой частоты, широкий интервал частот. Скорость движения границы равна dxw dtt = [(TwdTw/dt) — Vw]К ,
Uw = а0 + тwal 2 sin (kt + в), Vw = b0 + TAi sin (kt + A), а0 > 0, b0 < 0, а12 > 0 , b12 > 0 .
Функцию tw (t) находим из граничного условия (31) с учетом структуры решения (4): Tw =(а0 — g1)/[g2 — a12sin (kt + в1)]. Здесь следует принять 0 < g 1 < a0, g2 > a 12, и тогда Tw (t) < Tm, где Tm = (а0 — g1)/(g2 — а12) есть верхняя граница значений функции тw (t). Исходное допущение тm < тm будет выполнено, если (a0 + тma12) < (g1 + тmg2). Этому неравенству всегда можно удовлетворить подходящим выбором g2 > 0.
Колебания двух монотонных ветвей. Изучим отдельный вариант b0 = 0 (см. (8)). Формулы расчета такие: a0 =— Q1 > 0, a2 = a2, a122 =— Q1Q3J(k2 + Q1), b1 = — b2 =(—ka2 /a0), tg в = 1, a2 =(Д2 +1)2/(Д2 —1)2 . Здесь k2 =— Q^, < = ^2Q(1 - Д2)/03, ^2 <0,1) •
Колебания высокой частоты: Q 3 > 0, Q i < 0, k 2+ Q i >0, ц 2 > 1, Q 2 = — m 2 QQ 3. Этот случай наблюдается при т 2 > 16 для двух частот
μ 2
m 2 — 6 ±
Колебания низкой частоты: Q 3< 0, Q 1< 0, k 2 + Q 1< 0, Q 2 = m 2 QQ 3 , т 2 > 9, ц 2<1,
Д 2
— 6 — т 2 +
На интервале т е ( 0, т m ] проанализируем режим колебаний двух монотонных ветвей, имеющих разные знаки наклона.
Левая ветвь: д т/ д x '> 0, a 0 > 0, a 1 > 0, a 2 > 0, a 12 > 0 ; x ’ е ( —ж , x / ] ; x ' ^—ж , т ^ ( + 0 ) . Правая ветвь: дт/ д x '< 0, a 0 < 0, a 1 < 0, a 2 < 0, a 12 < 0; x 'e[ xr , ж ) ; x ^+ж , т ^ ( + 0 ) . Для обеих ветвей b 1 < 0, b2 > 0, b 1 2 < 0 . Модули одноименных коэффициентов слева и справа одинаковые; tg в 2 = — ctg в 1 ; например, далее в 2 = в 1 + ( п/2 ) . Скорости тт - изолиний на левой ( l ) и правой ( r ) ветвях такие:
dx ‘ dx ‘ dx; , _ /Г , _ • л о
—- = — — = — = — b12 т m cos ф / [ a 0 + a12 т m sin ф ] , Ф = kt + P 1 .
dt dt dt l
Тогда закон движения тт - изолинии дается формулой xm(^ )= "^ln L a12 k
a 0 + a12 т m a 0 + a12 т m sin ф
, J I
Мф ) = - x ‘M = x m ( ф ) .
Качественная схема расположения монотонных профилей на плоскости ( x ', т ) представлена на рис. 2. Проанализируем поведение точек ( x ', тт ); далее для краткости называем их тт - точками. В моменты времени, когда ф = 2п n 0 ( n 0 - целое положительное число) тт - точки на ветвях смещены влево и вправо на одинаковые расстояния от x' = 0, и их скорости направлены навстречу друг другу. При Ф = ( п /2) + 2 nn 0, x' = 0 ветви смыкаются с нулевой скоростью и образуют слабый разрыв: при т = тт терпит разрыв первого рода первая производная по координате. При ф = п + 2п n 0 ветви расходятся и в последующем тт - точки достигают наибольшего удаления от x ' = 0: ф = (3 п /2) + 2 nn 0, см. (34). Итак, нулевую скорость тт - изолиний на левой и правой ветвях имеем дважды в течение одного периода колебаний: в момент смыкания ветвей и в момент наибольшего их удаления друг от друга.
Обсудим пример трансзвукового перехода на т т - изолинии при ф = 2п n 0. В этом случае ( dx'm (dt ) 2 = д 2 § m , ^ m е ( 0,1 ) . Для низких частот ( ц 2<1) трансзвуковой переход отсутствует, а при р2>1 он существует, если д 2 > ( 1/ § m ) . Например, для § m = 1/2 это неравенство будет выполнено, если, согласно (32), т 2> 25 (знак «+» перед корнем) либо 16 < т 2< 25 (знак «-» перед корнем).
Теперь рассмотрим колебания двух монотонных ветвей, имеющих одинаковый знак наклона. Левая ветвь: т е (0, тm ], дт/дx'> 0, a0 > 0, a1 > 0, a2 > 0, a12 > 0, b1 < 0, b2 > 0, b12 < 0 ; x'е(—ж,x/]; x'^—ж, т ^(+0). Правая ветвь: т е[—тm,0), дт]дx'> 0, a0 < 0, a1 > 0, a2 > 0, a12 > 0, b1 > 0, b2 < 0, b12 > 0; x' e [x',ro); x’ ^ да, т ^ (-0). Скорости (±Tm)-точек противопо- ложны друг другу и вычисляются по формуле f dx' ^ _ -(b12 ) 1,r (±Tm )C0SФ
I dt J 1 , r ( a0 ) l , r + ( a 12 ) 1 , r (±T m ) sin Ф "




Рис. 2. Колебания двух монотонных ветвей, имеющих разные знаки наклона. Стрелка указывает направление движения
Закон движения (± T m )- изолиний дается выражением
( x') l, r
1 f b 12 " k I a12 J l , r
ln
( a 0 ) i , r + ( a 12 ) i , r (±T m )
( a 0 ) l , r + ( a 12 ) l , r (±T m ) sin Ф ’
Процесс колебаний ветвей аналогичен тому, что наблюдался для профилей с наклонами разных знаков, но теперь при ф = ( п /2) + 2 пп 0 имеем в точке x ’ = 0 неподвижный сильный разрыв: функция т( x ’ , t ) меняется скачком от - T m до T m , рис. 3.
Для вариантов (33) и (35) корреляция «наклон ветви - скорость T m - изолинии» представляется в форме
M = ±[ ц 2 F ( Z ) ] 12 , (36)
M = dx' m /dt , Z = U m h m , F ( Z) = [ a 2, т 2m - ( Z - a 0 ) 2 ]> 0• (37)
Две линии (36) образуют на плоскости (ζ, М ) эллипсовидную петлю динамического гистерезиса. Для левой и правой ветвей петли расположены симметрично по отношению к оси Z = 0. На рис. 4 показан качественный вид такой петли для левой ветви: Z e [ Z 1 ,Z2 ] , Z i 2 = a 0 + т m a 12 •
Представляют интерес колебания на интервале (0, тj J с нестационарной границей тj = тj (t), для которой принято условие (д т/dx^. = g2 т^2, g2 = const. Возьмем ветви, имеющие наклоны разных знаков. Левая ветвь: d т/ dx1
;’j! J , т е ( 0,т j J , a 0 > 0, a 1 > 0, a 2 > 0 ,
a12 > 0 , b1 < 0, b2 >0, b12 < 0 , g2 > 0 . Правая ветвь: дт/dx'<0 , x'e^x’jr,да), т e(0,тj J , a0 <0, a1 < 0, a2 < 0, a12 < 0, b1 < 0, b2 > 0, b12 < 0 , g2 < 0. В данном случае

Рис. 3. Колебания двух монотонных ветвей, имеющих одинаковые знаки наклона. Стрелка указывает направление движения

Рис. 4. Петля динамического гистерезиса на плоскости «наклон ветви – скорость τ m - изолинии»
Здесь следует принять g 2 = 2 a 12 A j , A j >1. Условие а 2 > а 2 т 2 означает, что
( т 2 ) = S j ( - Q i ) ( д 2 - 1)/ Q 3 , ф 1 =(п/2)+2п n о , S j e ( 0,1 )
и приводит к связи 5j2 = 1/ (2Ау -1) . В качественном отношении процесс колебаний этих ветвей похож на случай (33), (34) (рис. 2), но теперь на границах ветвей имеем периодическую зависимость τj от времени, см. (38). При φ = φ1 две смыкающиеся ветви образуют слабый разрыв. Для
Ф = 2 пп 0 трансзвуковой переход существует при высоких частотах, если р 2 > A j > 1.
При рассмотрении ветвей, имеющих одинаковый знак наклона, поступаем следующим обра зом. Левая ветвь: дт/дx'> 0, т е(0,тjl^, x'е(—да,xj^, a0 >0, a12 >0, b12 < 0, g2 > 0. Правая ветвь: дт/дx' > 0, т е _тjr ,0), x'е [xjr, да), a0 < 0, a12 > 0, b12 > 0, g2 > 0 . Здесь справедливы формулы (38), (39), в которых выбор знаков коэффициентов соответствует наименованию ветви:
—
т j = т jl =
тjr, (dxj/dt) = (dxj/dt) = —(dxj/dt) , xj = xj = — xjr. При ф = (п/2) + 2nn0 эти ветви lr образуют неподвижный сильный разрыв. Рассуждения, относящиеся к выбору параметров g2, Aj, 52 и условию появления трансзвукового перехода, остаются такими же, как и в предыдущем случае для ветвей с наклонами разных знаков. Качественная картина колебаний аналогична той, что показана на рис. 3, но теперь граничная функция тj содержит синусную зависимость от времени, см. (38).
Колебания слабого и сильного разрывов. Вернемся к интервалу низких частот и обсудим физическую модель решения при Ь1 = 0: см. соотношения, сопутствующие формуле (28). На интервале т е(0,Tm ] две монотонные ветви смыкаются друг с другом при т = Tm=const и образуют слабый разрыв. Левая ветвь: дт/дx* > 0, x е(—да,x^], a0 > 0, a1 > 0, a2 >0, a12 >0, b0 < 0, b2 < 0 . Правая ветвь: дт/дx*< 0, x' е[x'm,да), a0 < 0, a1 < 0, a2 < 0, a12 < 0, b0 > 0, b2 > 0. Расположение ветвей похоже на то, что изображено на рис. 2, б. Обе ветви примыкают друг к другу при всех t> 0. Скорость слабого разрыва равна dxm/dt = —(b0 + b2тт cos kt)/[a0 + a12Tm sin(kt + P1)] • (40) В этой формуле выбор знаков коэффициентов соответствует наименованию ветви: ( dx’mldt)l =(dx'mldt)r •
Другой вариант построения ветвей выполняется следующим образом. Левая ветвь: т e (0, T m ] , дт/ д x' > 0, x ' е ( —да , x’m ] , a 0 > 0, a 1 > 0, a 2 > 0, b 0 < 0, b 2 < 0 . Правая ветвь: т е [ — т m ,0 ) , д т/ дx' > 0, x е [ xm , да ) , a 0 < 0, a 1 > 0, a 2 > 0, b 0 > 0, b 2 < 0 . Схема расположения ветвей аналогична той, что показана на рис. 3, б . Эти ветви примыкают слева и справа к линии x’ m = x m ( t ) , t > 0. Такая конфигурация ассоциируется с сильным разрывом, на котором функция
т(x', t) меняется скачком от -тт до тт. Скорость разрыва равна dx m =__( b0 )l,r + ( b2 ) 1,r (±Tm ) cos kt____________
dt ( a 0 ) l , r + ( a 1 ) l , r ( ± T m ) sin kt + ( a 2 ) l , r ( ± T m ) cos kt ’
( dx'mldt ) l = ( dx'mldt ) r •
Для вариантов (40) и (41) линии динамического гистерезиса на плоскости (Z, Z) имеют вид, аналогичный (36):
Z = ± a\ F ( Z ) _ a 2
। ; Z = 1 + a 0 M .
Функция F (Z) определяется формулой (37).
Заключение. Волновое уравнение (1) с источником (7) имеет точное частное решение (4), (5). Основные свойства решения детерминированы выбором знаков коэффициентов Q i , Q 3 и характером зависимости коэффициента а 3 от частоты возбуждающих колебаний источника (см. (21), (26)-(30)). Рассмотрены колебания высокой и низкой частоты. Изучены свойства т, -изолиний: кинк-пульсации; знакопеременность скорости изолиний; дозвуковой и сверхзвуковой режимы движения; трансзвуковой переход. Представлены три группы задач, связанных с физической интерпретацией решения: задача с неизвестной подвижной границей (31); колебания двух монотонных ветвей, периодически сближающихся и удаляющихся друг от друга; конфигурация волнового типа - слабый либо сильный разрыв, движущийся вдоль координатной оси.
Список литературы Волновое уравнение с кубической нелинейностью и возбуждение колебаний в системе "среда-источник"
- Додд, Р. Солитоны и нелинейные волновые уравнения / Р. Додд, Дж. Эйлбек, Дж. Гиббон, Х. Моррис. - М.: Мир, 1988. - 694 с.
- Табор, М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике / М. Табор. - М.: Эдиториал УРСС, 2001. - 318 с.
- Жоу, Д. Расширенная необратимая термодинамика / Д. Жоу, Х. Касас-Баскес, Дж. Лебон. - Москва-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований, 2006. - 528 с.
- Аэро, Э.Л. Динамические задачи для уравнения синус-Гордона с переменными коэффициентами. Точные решения / Э.Л. Аэро // Прикладная математика и механика. - 2002. - Т. 66, Вып. 1. - С. 102-108.
- Nonautonomus mixed nKdV-sinh-Gordon hierarchy / J.F. Gomes, G.R. de Melo, L.H. Ymai, A.H. Zimerman // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. - 2010. - Vol. 43, no. 39. - P. 395203-395212.
- Аэро, Э.Л. Решения уравнений синус-Гордон с переменной амплитудой / Э.Л. Аэро, А.Н. Булыгин, Ю.В. Павлов // Теоретическая и математическая физика. - 2015. - Т. 184, № 1. - С. 79-91.
- Якушевич, Л.В. О движении кинка ДНК под действием постоянного торсионного момента / Л.В. Якушевич, В.Н. Балашова, Ф.К. Закирьянов // Матем. биология и биоинформ. - 2016. - Т. 11, Вып. 1. - С. 81-90.
- Попов, С.П. Неавтономные солитонные решения модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза-синус-Гордона / С.П. Попов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2016. - Т. 56, № 11. - С. 1960-1969.
- Шабловский, О.Н. Динамика неустойчивых решений волнового уравнения с источниками / О.Н. Шабловский // Вестник ЮУрГУ. Серия "Математика. Механика. Физика". - 2020. - Т. 12, № 4. - С. 51-61.