Восстановление операторов разделенной разности неточно заданной последовательности по ее преобразованию Фурье
Автор: Унучек Светлана Александровна
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 3 т.20, 2018 года.
Бесплатный доступ
В различных прикладных задачах часто нужно восстановить какую-либо характеристику объекта по некоторой информации (как правило, неполной или неточной) о других его характеристиках. Существуют различные подходы к решению аналогичных задач. В данной работе использовался подход, основанный на идеях Андрея Николаевича Колмогорова (в работах о n-поперечниках) о наилучших средствах приближения конечномерными подпространствами. Суть метода заключается в том, что ищется наилучшее средство аппроксимации на целом классе. Рассматривается задача одновременного восстановления операторов разделенных разностей всех порядков от 1 до (n-1)-го включительно на классе последовательностей с ограниченной n-ой разделенной разностью. При этом преобразование Фурье данной последовательности известно приближенно на некотором отрезке в среднеквадратичной норме. Построено семейство оптимальных методов восстановления. Среди найденных методов есть те, которые используют минимальную информацию о последовательности, предварительно "сглаживая" ее. Найдено точное значение оптимальной погрешности восстановления операторов разделенных разностей. Предельным переходом из полученных результатов вытекает непрерывный случай.
Оптимальное восстановление, оператор разделенной разности, преобразование фурье
Короткий адрес: https://sciup.org/143168777
IDR: 143168777 | УДК: 517.97 | DOI: 10.23671/VNC.2018.3.18033
Optimal recovery of the operators of the divided difference of the inaccurately given sequence by the Fourier transform
In various applications, it is often necessary to reconstruct some characteristic of an object from some information (usually incomplete or inaccurate) about its other characteristics. There are various approaches to solving similar problems. In this paper, we used an approach based on the ideas of Andrei Nikolaevich Kolmogorov concerning the best means of approximation by finite-dimensional subspaces. The essence of the method lies in the fact that the best means of approximation on the whole class is sought. We consider the problem of simultaneous recovery of operators of divided differences of a sequence of all orders from 1 to (n-1)th inclusive, in a class of sequences with bounded nth divided difference. The Fourier transform of this sequence is known inaccurately at a certain interval sequence in the mean square norm. A family of optimal recovery methods is constructed. Among the methods found are those that use minimal sequence information, pre-smoothing it. The exact value of the optimal error of recovering divided-difference operators is found. The passage to the limit from the obtained results implies a continuous case.
Список литературы Восстановление операторов разделенной разности неточно заданной последовательности по ее преобразованию Фурье
- Смоляк С. А. Об оптимальном восстановлении функций и функционалов от них: Дисс....к.ф.-м.н. М.: МГУ, 1965.
- Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление функций и их производных по приближенной информации о спектре и неравенства для производных//Функцион. анализ и его прил. 2003. Т. 37. С. 51-64 DOI: 10.4213/faa157
- Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление линейных операторов по неточной информации//Мат. форум. Т. 2. Исследования по выпуклому анализу/отв. ред. В. М. Тихомиров. Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН, 2009. С. 158-192. (Итоги науки. ЮФО).
- Унучек С. А. Оптимальное восстановление разделенных разностей по неточно заданной последовательности//Диф. уравнения. 2015. Т. 51, № 7. С. 951-957 DOI: 10.1134/S0374064115070122
- Унучек С. А. О восстановлении оператора разделенной разности по неточно заданному преобразованию Фурье//Владикавк. мат. журн. 2015. Т. 17, № 3. С. 84-92 DOI: 10.23671/VNC.2017.3.7268
- Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Как наилучшим образом восстановить функцию по неточно заданному спектру?//Мат. заметки. 2012. Т. 92, № 1. С. 59-67 DOI: 10.4213/mzm9042
