Восстановление потенциала в обратной спектральной задаче для оператора Лапласа с кратным спектром

Обратные спектральные задачи в различных постановках играют фундаментальную роль в различных разделах математики и имеют множество приложений в естествознании. Большинство работ в этом направлении связаны с обыкновенными дифференциальными операторами. Что касается операторов в частных производных, то здесь, в основном, рассматривается степень оператора Лапласа с простым спектром.

В настоящей работе исследуется обратная задача для степени оператора Лапласа порожденного краевой задачей Дирихле в случае непростого спектра. Основным методом исследования является так называемый резольвентный метод, теоретически обоснованный в работах [1, 2]. Получены теоремы существования решения поставленной обратной задачи, позволившие разработать вычислительный алгоритм восстановления потенциала по спектру и создать программу, определяющую возмущение по заданной последовательности собственных чисел.

Постановка обратной задачи

Пусть

П = {ж = (ж1,Ж2, • ■. ,ждг) : 0 <  Xj < o^.j = 1,... ,N^, aj > 0.

В пространстве L2 (П) рассмотрим дискретный самосопряженный оператор То, определенный краевой задачей Дирихле

—Ду = Xv, у|дп = 0,                              (1)

где Д — оператор Лапласа, дП граница П.

роо

Рассмотрим оператор Т = X^dE^X), являющийся степенью оператора То, где Р(А)

— спектральное разложение единицы оператора То, /3 > 1, А^3 > О при А > 0.

Очевидно, спектр <т(Т) оператора Т неоднократный. Иногда, для удобства будем нумеровать упорядоченные по возрастанию собственные числа A_m = A(_mijm2;__;m7V) оператора Т и связанные с ними спектральные объекты одним нижним натуральным индексом и одним верхним, при этом верхний индекс будет отвечать за кратность v_t собственного числа At, т.е. А_# = А^ = Х^ к = 1, Vj.

Пусть Р — оператор умножения на вещественную функцию р Е р2(П), называемую потенциалом.

Обозначим через p_t собственные числа оператора Т + Р, занумерованные в порядке возрастания действительных частей с учетом алгебраической кратности, а через щ — соответствующие им ортонормированные в ^(П) собственные функции.

Рассмотрим следующую обратную задачу спектрального анализа.

Пусть дана последовательностью комплексных чисел {£Д£щ, близкая к спектру оператора Т. При различных степенях 0 > 1 требуется доказать существование оператора Р, такого что спектр ст(Т + Р) совпадает с последовательностью {^tj^i-

Степень оператора Лапласа с потенциалом в N-мерном параллелепипеде

Сформулируем вспомогательные утверждения, на которых базируется доказательства основных результатов данной статьи. Доказательства самих вспомогательных утверждений приведены в работе [3].

Обозначим:

Яо(А) = (Т- АР)-1, Р(А) = (Т + Р — АР)-1;

tit = {А : Не А = —-^----}, Ft = {А Е С : ReA Е at}, 7t = {А Е С : |At — А| = tq},

П = | min{At₊i - At; X_t - At-J, r₀ = inf r_t;

oo              "

Qt = {A : |At - A| > r₀}, fi = A ^, V = П «r

Лемма 1.

Если ||Pj| < r/2, где 0 < r <  tq, то оператор T + P — дискретен, причем

• (i)    если Но(Х) E 6_q, mo R(X) E ©_q, 1 <  q < oo,

• (ii)    если At E C \ fit, m-o p® E C\ fit, s = 1, гд, nt—кратность собственного числа Xt-

• Лемма 2.

3N J³⁰'

Если 0 > ——, то ряд   r^ max Ц-Но(А) Ц2 сходится.

4               аел

Обозначим сумму ряда через s2.

Теорема 1. Пусть 0 > ^-, г Е (O,min{ro, ^_}) ности {^} выполняется неравенство:

Если для комплексной последователь-

Т

( оо Vt eei^-^a*i²

t=l /с=1

Г.А. Закирова где ш = V^st < 1, то существует потенциал р Е ^(П) такой, что для любого t Е N

Vt           V

Е8 = Еб,

fc=l k=l где а(Т + Р) = {//(}.

Замечание 1. Оператор Т + Р, обладающий свойством (2), неединственен.

Объединим в один класс Р все операторы, спектр которых обладает свойством (2). Если мы не будем различать представителей этого класса, то можем говорить о единственности решения обратной задачи.

Приближенное восстановление потенциала. Численный эксперимент

Введем в рассмотрение следующую систему функций:

/2^+9 Л / 2ттт^хА

VmW = \ Ц COS ----,

X 3   / где т = (mi,... ^т^, m-j Е {0} U N, q—-число ненулевых индексов в мультииндексе т. При mj Е N эту систему будем нумеровать нижним и верхним индексами так же, как и систему {■Гт}, т.е. в соответствии с нумерацией собственных чисел А^. Можно показать, что уравнение р = ад ~ а(р),

______ ОО Vt                                          ______ ОО Vt / \ где ад = (-1)^^    - Xt>t t=i k=i                                   t=i k=i Vt

«t(p) =    / AS№)(F770(A))2]dA = — / S[VF0(A)(FF0(A))fc]dA, имеет единственное решение p. Пусть

Po = 0, тогда pi = од - «(Po) = од,

P2 = «о - a/pi) = ад - «(«о), Рз = ад - «(P2), ■ • ■, lim pt = p. vt->oo

Методом последовательных приближений найдено решение р уравнения р = а0-й(а0),(3)

где 001

“(р) ⁼ 5?««(р)Рь “t(p) = AS [So(A)(P7?o(A))²]dA.

t j^tk=l

В пакете Maple 6.0 разработана программа, которая по заданной последовательности собственных чисел определяет в явном виде приближенный потенциал, такой, что спектр возмущенного оператора будет совпадать в заданном смысле с введенной последовательностью.

Далее приведем пример, иллюстрирующий работу программы.

Пусть Т — степень оператора То (/3 = 2), определенного краевой задачей Дирихле (1) на прямоугольнике П со сторонами а = 1, b = 4. Пусть далее, ^_ттг = A_mn + 0.0001, m,n < 3.

По теореме (1) существует потенциал р € ^(П) такой, что для любого t G N

Vt           Vt

fc=l       fe=l

Приближенное решение исследуемой обратной спектральной задачи, найденной в предложенной программе по первым трем членам последовательности {£топ}, имеет вид

Приближенный потенциал, восстановленный программой