Восстановление поверхности по ее нормалям в системе точек
Автор: Величко Елена Вадимовна
Журнал: Математическая физика и компьютерное моделирование @mpcm-jvolsu
Рубрика: Прикладная математика
Статья в выпуске: 1 (26), 2015 года.
Бесплатный доступ
Рассматривается задача об аппроксимации функции, заданной в некоторой области из R2. Считаются известными нормали к ее графику в системе точек, лежащих в этой области. Искомая функция ищется в виде многочлена от двух переменных, коэффициенты которого минимизируют невязку. Невязка представляет собой сумму квадратов разностей нормалей к заданной и восстанавливающей поверхностям, нормированным таким образом, чтобы их аппликаты равнялись единице. Приводятся численные примеры для алгебраической и трансцендентной функции, которые иллюстрируют эффективность предложенного алгоритма.
Регулярная поверхность, нормали к поверхности, аппроксимация, метод наименьших квадратов (мнк), функция невязки
Короткий адрес: https://sciup.org/14968778
IDR: 14968778 | УДК: 517.518.823 | DOI: 10.15688/jvolsu1.2015.1.3
Recovery of surface from its normals in the system of points
The author studies the problem of approximation of functions defined in a domain of R2. In the system of points which lies in this domain, the normals to the surface are known. The normals are selected by such a way, so that they form an acute angle with the positive direction of Z-axis. The searched function is looked for in the form of a polynomial in two variables, the coefficients that minimize the discrepancy. The discrepancy is the sum of squares of the differences of the normals to the set and restoring surfaces. The normals are normalized so that their applicate is equal to 1. In this case normals, which have a greater angle with the vertical axis, will have a greater length, hence be better approximated. There is the system of linear algebraic equations for the unknown parameters, determined that, completely restores the searched surface. For the uniqueness of recovery is set in one of the points of the domain. The article is also considering a polynomial in the second degree. In this case, the system is aimed for finding the unknown parameters is greatly simplified. There are numerical examples for algebraic and transcendental functions. According to the obtained normals, the surface is restored, that approximates the original. In the second case the surface is taken, which comprises a sine equation. Just consider the case of the five normals. Element that does not contain the degrees have been chosen from the test match conditions and restored function at the origin. Drawings, which show the test surface and the surface, their approximate. Within the accuracy of the drawings, they are practically the same. In both of the above examples of numerical calculation formulas give a qualitative approach for a given function. Note that if the function is given by a polynomial of the second degree, and the amount is no less than five normals, the resulting estimated function will coincide with it.
Список литературы Восстановление поверхности по ее нормалям в системе точек
- Бердышев, В. И. Аппроксимация функций, сжатие численной информации, приложения/В. И. Бердышев, Л. В. Петрак. -Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 1999. -296 с.
- Вежневец, В. Задача восстановления формы объекта по закраске (shape from shading)/В. Вежневец//Компьютерная графика и мультимедиа. -2004. -Вып. № 2 (1). -Электрон. текстовые дан. -Режим доступа: http://cgm.computergraphics.ru/content/view/59. -Загл. с экрана.
- Величко, О. В. Вiдновлення кривої за її нормалями в системi точок/О. В. Величко, В. М. Малкiна//Працi Таврiйського державного агротехнологiчного унiверситету. -Мелiтополь: ТДАТУ, 2014. -Т. 2, вип. 14. -С. 134-138.
- Костюк, Ю. Л. Визуально гладкая аппроксимация однозначной поверхности, заданной нерегулярным набором точек/Ю. Л. Костюк, А. Л. Фукс//Геоинформатика-2000. - С. 41-45.
- Лоусон, Ч. Численное решение задач метода наименьших квадратов. (Solving Least Squares Problems)/Ч. Лоусон, Р. Хенсон. -М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. -232 с.
- Найдиш, В. М. Основи прикладної геометрiї (навчальний посiбник)//В. М. Найдиш, А. В. Найдиш, В. М. Верещага, В. М. Малкiна. -Мелiтополь, 2007. -194 с.
- Писарев, А. В. Веб-ориентированная система подготовки цифровой модели рельефа местности/А. В. Писарев, М. В. Елисеева//Вестник Волгоградского государственного университета. Серия 1, Математика. Физика. -2014. -№ 1 (20). -С. 46-52.
- Чопик, П. Вiдновлення 3D форми поверхнi за даними про напiвтони/П. Чопик, Б. Русин//Проблеми та перспективи наук в умовах глобалiзацiї: Матерiали IХ Всеукраїнської наукової конференцiї. -Тернополь: ТНПУ iм. В. Гнатюка, 2013. -С. 245-250.
- Doi, M. Three-dimensional mesh generation of an object from an image by shape-from-shading and ellipsoidal bubble mesh method/M. Doi, Y. Takabe//Proc. SPIE 6499. Vision Geometry XV. 649908. -January 29, 2007. -Doi: DOI: 10.1117/12.703903
