Воздействие нестационарного давления на тонкую сферическую оболочку с упругим заполнителем
Автор: Вестяк Анатолий Васильевич, Игумнов Леонид Александрович, Тарлаковский Дмитрий Валентинович, Федотенков Григорий Валерьевич
Журнал: Вычислительная механика сплошных сред @journal-icmm
Статья в выпуске: 4 т.9, 2016 года.
Бесплатный доступ
Решена нестационарная задача для тонкой упругой сферической оболочки, заполненной упругой средой, при воздействии на нее внешнего давления. Для описания движения оболочки использованы уравнения модели С.П. Тимошенко, а для заполнителя - уравнения теории упругости, записанные в потенциалах упругих смещений согласно представлению Кельвина. Предполагается, что контакт между оболочкой и заполнителем происходит в условиях свободного проскальзывания. На основании принципа суперпозиции получено разрешающее задачу интегральное соотношение, связывающее нормальные перемещения заполненной оболочки с внешним давлением. Ядром этого соотношения служит функция влияния, которая представляет собой нормальные перемещения оболочки с заполнителем, являющиеся решением задачи при воздействии на оболочку мгновенного сосредоточенного внешнего давления и математически выражаемого посредством дельта-функций Дирака. Для построения функции влияния используется аппарат разложений в ряды Фурье по собственным функциям задач для оболочки и заполнителя. Выполнение неполного разделения переменных приводит к системе уравнений, которая содержит подсистему обыкновенных дифференциальных уравнений для коэффициентов рядов разложений перемещений оболочки, а также подсистему уравнений в частных производных для коэффициентов рядов, в которые раскладываются потенциалы упругих смещений в заполнителе. Связь этих подсистем осуществляется через условия контакта между оболочкой и заполнителем. Для определения коэффициентов рядов разложений применяется интегральное преобразование Лапласа по времени. В итоге задачи сводятся к решению системы алгебраических уравнений для оболочки и системы обыкновенных дифференциальных уравнений для заполнителя. Решения последних с учетом условий на границе контакта и записи модифицированной функции Бесселя первого рода через элементарные функции приводит к выражениям для изображений коэффициентов разложения искомой функции влияния в ряд. Получение оригиналов коэффициентов осуществляется аналитически путем разложения в ряды по экспонентам. Найденная функция влияния и построенное разрешающее интегральное соотношение используются далее для решения некоторых тестовых задач. При этом соответствующие интегралы вычисляются аналитически. Представлены графические результаты расчетов с оценкой сходимости в зависимости от количества удерживаемых членов ряда в разложении функции влияния.
Нестационарные задачи, сферическая оболочка, упругий заполнитель, функция влияния, принцип суперпозиции, нестационарное давление
Короткий адрес: https://sciup.org/14320824
IDR: 14320824 | УДК: 539.3 | DOI: 10.7242/1999-6691/2016.9.4.37
The influence of non-stationary pressure on a thin spherical shell with an elastic filler
This article considers the non-stationary problem of a thin elastic spherical shell filled with an elastic medium under external pressure. The equations of Timoshenko's model serve as the basis for describing the motion of the spherical shell. The reaction of the elastic filler is described by the equations of the theory of elasticity. The contact between the shell and the filler is assumed frictionless. Based on the principle of superposition, we have obtained an integral relationship between the normal displacements of the shell with filler and the external pressure to solve the problem. The kernel of this integral relationship is an influence function. This function is, in fact, the normal displacements of the shell with filler taken as a solution to the problem of the concentrated instantaneous external pressure effect. It is modeled by the use of Dirac delta functions. To get the influence function, the authors have applied a Fourier series expansion in terms of eigenfunctions of shell and filler sub-problems. A partial separation of variables leads to a system of differential equations for expansion series coefficients. Due to the substitution of the corresponding expansions into the equations of motion of shells, the system contains ordinary differential equations and partial differential equations with respect to the expansions coefficients of elastic displacement potentials in the filler. The relationship between these systems is governed by the contact conditions between the shell and the filler. To determine the series expansion coefficients, we have produced the Laplace transform in the time domain. As a result, the problem is reduced to solving the systems of algebraic and ordinary differential equations. The solution to these equations, taking into account contact conditions, leads to the expressions describing the coefficients for series expansion of the desired influence function. This is achieved through the relation between the modified Bessel functions of the first kind and the elementary functions. We have found the coefficients in the time domain analytically using exponent series expansions. The influence function and the integral relationship are used to solve a set of test problems. Analytical calculations of the corresponding integrals are carried out. The results of calculations are represented graphically with an assessment of their convergence based on the number of coefficients of series expansions of the influence functions.
Список литературы Воздействие нестационарного давления на тонкую сферическую оболочку с упругим заполнителем
- Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Нестационарная аэрогидроупругость тел сферической формы. -М.: Наука, 1990. -264 c.
- Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Динамические контактные задачи с подвижными границами. -М.: Наука. Физматлит, 1995. -352 с.
- Вольмир А.С. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи аэроупругости. -М.: Наука, 1976. -416 c.
- Вольмир А.С. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи гидроупругости. -М.: Наука, 1979. -320 c.
- Гузь А.Н., Кубенко В.Д. Методы расчета оболочек: в 5 т. -Киев: Наукова думка, 1982. -Т. 5. Теория нестационарной аэрогидроупругости оболочек.-399 с.
- Поручиков В.Б. Методы динамической теории упругости. -М.: Наука, 1986. -328 c.
- Слепян Л.И. Нестационарные упругие волны. -Л.: Судостроение, 1972. -374 c.
- Слепян Л.И., Яковлев Ю.С. Интегральные преобразования в нестационарных задачах механики. -Л.: Судостроение, 1980. -344 c.
- Mikhailova E.Yu., Fedotenkov G.V. Nonstationary axisymmetric problem of the impact of a spherical shell on an elastic half-space (initial stage of interaction) // Mech. Solids. 2011. V. 46. № 2. P. 239.
- Tarlakovskii D.V., Fedotenkov G.V. Two-dimensional nonstationary contact of elastic cylindrical or spherical shells // J. Mach. Manuf. Reliab. 2014. V. 43. № 2. P. 145.
- Шушкевич Г.Ч., Шушкевич С.В., Киселева Н.Н. Проникновение звукового поля сферического излучателя через сферическую упругую оболочку//Проблемы физики, математики и техники. -2014. -№ 2 (19). -С. 25-32.
- Россихин Ю.А., Шамарин В.В., Шитикова М.В. Волновая теория удара упругих тел ограниченных размеров по упругой сферической оболочке//Вестник ННГУ. -2011. -№ 4-5. -С. 2463-2464.
- Григорьева Н.С., Фридман Г.М. Дифракция звуковых импульсов на упругой сферической оболочке, помещенной в океанический волновод//Акустический журнал. -2014. -Т. 60, № 3. -С. 230-239.
- Хабахпашева Т.И. Удар упругой сферической оболочкой по тонкому слою жидкости//МЖГ. -2015. -№ 2. -С. 81-94.
- Ильменков С.Л., Клещёв А.А., Клименков А.С. Метод функций Грина в задаче дифракции звука на упругой оболочке неканонической формы//Акустический журнал. -2014. -Т. 60, № 6. -С. 579-586.
- Жаворонок С.И., Рабинский Л.Н. Осесимметричная задача нестационарного взаимодействия акустической волны давления с упругой оболочкой вращения // Механика композиционных материалов и конструкций. 2006. Т. 12. № 4. С. 541.
- Богомолов В.Г., Федотов А.А. Задача взаимодействия упругой сферической оболочки с жидкостью//Инженерный журнал: наука и инновации. -2013. -№ 2 (14). -С. 41.
- Тарлаковский Д.В., Федотенков Г.В. Пространственное нестационарное движение упругой сферической оболочки // MTT. 2015. № 2. P. 118.
- Михайлова Е.Ю., Старовойтов Э.И., Федотенков Г.В. Параметрическое исследование процесса нестационарного контактного взаимодействия тонкой сферической оболочки и упругого полупространства//Материалы XX Междунар. симп. «Динамич. и технологич. проблемы мех. констр. и сплошн. сред», Москва, 17-21 февраля 2014. -Т. 2. -С. 31-32.
- Михайлова Е.Ю., Тарлаковский Д.В., Федотенков Г.В. Нестационарный контакт сферической оболочки и упругого полупространства // Труды МАИ. 2014. № 78.
- Сейфуллаев А.И., Агаларов Г.Д. Свободные колебания сферической оболочки с упругим заполнителем//Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. -2015. -№ 3. -С. 74-80.
- Игумнов Л.А., Литвинчук С.Ю., Белов А.А., Марков И.П. Введение в гранично-элементное моделирование динамики анизотропных тел. -Н. Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2014. -74 с.
- Игумнов Л.А., Марков И.П., Пазин В.П., Ипатов А.А. Гранично-элементное построение решений для трехмерной матрицы Грина//Проблемы прочности и пластичности. -2013. -Т. 75, № 2. -С. 123-129.
- Levi G.Yu., Igumnov L.A. Some properties of the thermoelastic prestressed medium Green function//Materials Physics and Mechanics. -2015. -Vol. 23, no. 1. -P. 42-46.
- Нетребко А.В., Пшеничнов С.Г. Некоторые задачи динамики линейно-вязкоупругих цилиндрических оболочек конечной длины//Проблемы прочности и пластичности. -2015. -Т. 77, № 1. -С. 14-22.
- Сеницкий Ю.Э. Биортогональные преобразования в нестационарных задачах теории оболочек//Вестник НИЦ «Строительство». -2010. -№ 2. -С. 95-105.
