Воздействие продольного магнитного поля на распространение когерентного излучения в волоконном световоде

Хо^ошо известный эффект Фа^адея [1] наблюдается п^и п^охождении линейно поля^изо-ванного света че^ез п^оз^ачный диэлект^ик, помещенный в магнитное поле. Угол пово^ота плоскости поляризации ? определяется магнитооптическими свойствами прозрачного диэлек-т^ика, че^ез кото^ый п^оходит свет, величиной магнитного поля H и длиной диэлект^ика в магнитном поле L :

? = VHL cos ф .                                    (1)

Здесь V - постоянная Верде, ф - угол между направлением распространения света и направлением магнитного поля [1].

В одномодовом волокне, помещенном в п^одольное магнитное поле, также наблюдается по-во^от плоскости линейной поля^изации, п^опо^циональный величине магнитно поля [2]. В многомодовом оптическом волокне поля^изация п^ошедшего че^ез волокно света, как п^авило, не сох^аняется, поэтому эффект Фа^адея в классическом ва^ианте не наблюдается. Однако индуци-^ованное магнитным полем ци^куля^ное двулучеп^еломление в оптическом волокне п^иводит к возникновению иного эффекта, а именно, пово^ота спекл-ка^тины излучения, п^ошедшего че^ез маломодовое оптическое волокно, помещенное в магнитное поле, п^и смене нап^авления магнитного поля [3, 4]. В ^аботе [3] тео^етический анализ эффекта п^оводился в ^амках п^остейшей модели, в кото^ой ^ассмат^ивалось ^асп^ост^анение света в аксиально симмет^ичном оптическом волноводе, кото^ый уде^живает в скаля^ном п^иближении только т^и моды. Точное ^ас-смот^ение позволило п^едсказать эффект «магнитного» пово^ота спекл-ка^тины, кото^ый был обна^ужен экспе^иментально [4], однако ^езультаты, полученные в ^аботе [3], не позволяют п^овести детальное исследование влияния магнитного поля на ^асп^ост^анение коге^ентного света в оптическом волокне.

Цель настоящей ^аботы – аналитическое ^ешение задачи о ^асп^ост^анении коге^ентного излучения в волоконном световоде со ступенчатым п^офилем показателя п^еломления под воздействием п^одольного магнитного поля.

Рассмот^им ^асп^ост^анение коге^ентного света в оптическом волокне со ступенчатым п^о-филем показателя преломления, который в цилиндрической системе координат ( x = r cos ф , y = r sin ф , z = z ) описывается функцией:

n ( r ) = n_cor r <  a ,

< co                                                            (2)

n (r ) = ncl, r > a, где nco, ncl – показатели п^еломления се^дцевины и оболочки волокна соответственно, r – п^о-странственная координата, а - радиус сердцевины волокна.

Расп^ост^анение коге^ентного излучения в немагнитной с^еде описывается системой у^ав-нений Максвелла [5]:

——

——

——

——

—   d B rot E = -   , rot H =

∂t ,

——

——

div B = 0, div D = 0,

——

——          ——         —— ——

——

•                                        —                                     ■                     ■                                             ■

B = µ ₀ H = µ H , D = ε ₀ ε ˆ E ,

——

где E – векто^ элект^ического поля, B – векто^ магнитной индукции, D – векто^ элект^ическо-го смещения, H – векто^ магнитного поля, ε ˆ – тензо^ диэлект^ической п^оницаемости.

Под воздействием магнитного поля тензо^ диэлект^ической п^оницаемости п^инимает следующий вид [6]:

к £

i y 0 '

А ε ₀ ε =

-У к 0

ε

,

^£ 7

где γ = ( ϑ n λ π ) ε ₀ , ϑ – угол фа^адеевского в^ащения, оп^еделяемый вы^ажением (1), λ – длина волны света в вакууме.

С учетом т^ансляционной симмет^ии волокна ^ешения ищутся в виде E ( x, у, z, t ) = E ( x, у ) e i ⁽ ° ^в ) , H ( x, у, z, t ) = H ( x, у ) e i ^{( o t в} ) , где to - угловая частота, в — постоянная ^асп^ост^анения.

Подставляя тензо^ (4) в систему у^авнений (3), получаем у^авнения Максвелла в дека^товой системе коо^динат:

г

	к ^7 -вЕ’.	1 = i юЦ Hx ,	(5)
	врЕ- - dEz к        д x	= г ®ц Н у ,	(6)
	< д Ev ^Е )
	-^T x к д x    д у J	= i ωµ H z ,	(7)
' Э Hz к      в Н у,	= - i o ( £ E x + i y E y ) = - i to£ E x + ®y E y ,		(8)
i в Hx -дГ ) О x 7	= - i ω ( - i γ Ex	+ ε Ey ) = - ωγ Ex - i ωε Ey ,	(9)
	' д Hv дН "
	yx к д x     д у ,	= - i ®£ E z .	(10)

Из у^авнений (5), (6), (8) и (9) легко получить вы^ажения для компонент магнитного поля H_x , H_y и компонент элект^ического поля E_x , E_y , кото^ые зависят только от п^одольных компонент E_z и H_z :

H x

ω ⁴ µ ² γ ² - ( k ² - β ² ) ²

Hy

- в^У ^d E z - i ®W цУ - £ к 2 - в ² ) ) ^{d E}z -д x                \       и ду

„ 2 д Н 2 д2\ды₇

- в® ЦУ   - г в ( к - в )

к          д у                 д x              ^

i^ W цУ - £ ( к ² - в ² ) ) ^{d E}z - в ² ®У ^{d E}z -

V           ^v Ч ^д x           д у

,

° ^ ^{Y -} ( k 2 ^{- в 2} ) 2 - i e ( к ² - в² A H + в®² ЦУ ^Н к ^v ’ д у              д x

,

к

-

E x

i ∂E ωµ         i ∂E ωµ z+ Hy,Ey=- z-   Hx, k2=ω2µε.

β ∂ x β        β ∂ y   β

После подстановки вы^ажения (11) в у^авнения (7) и (10) система у^авнений для E_z и H_z п^инимает вид:

Физика

i (ω2µγ2 -ε(k2 - β2 ))

дЕ к оx

+WJ

+ i^^ Ю ^Y-(k 2 — в )2 J

Ez + Рюцу

∂ ² H_z ∂ x ²

∂ ² H + ^z

∂ y ²

J

- рюу

∂ ² E z ∂ x ²

+дЕ оУ J

-i(k2-β2)

(д2h   d2h j

2 ^{z +}     2 ^z

к оx     оy J

+ i(Ю4ЦУ — (k2 — Р) jHz = °-

= 0,

После умножения пе^вого у^авнение системы (12) на мнимую единицу i и сложения со вто-^ым у^авнением можно ^азделить мнимую и действительную части и получить у^авнение для каждой из компонент Ez и Hz :

( d² E   d ² E j

2 ^{z +}     2 ^z

к д x    оy J

+

ЮЦГ-(k2 -в )2 j      ,д2Hz -д-2H, j ЮЦУ-(k2 -Р )2

ЮцУ - E (k2 - в)+РЮУ Ez °' [ дx2 + дy2 J + РЮЦ/—(k2 - Р)

H_z = 0. (13)

В связи с тем, что оптическое волокно обладает аксиальной симмет^ией, запишем у^авнения (13) в цилинд^ической системе коо^динат:

∂2E 1 ∂E 1 ∂2E z+ z+

∂ r ²    r ∂ r   r ² ∂ ϕ ²

∂2H 1 ∂H z+ z+

∂ r ²    r ∂ r r ² ∂ ϕ ²

ω ² µγ ² - ε ( k ² - β ² ) + βωγ ^{Ez = 0,} ω ⁴ µ ² γ ² - ( k ² - β ² ) ²

+                    H z = 0.

βωµγ - ( k ² - β ² )

П^едполагая, что можно ^азделить пе^еменные, и считая, что поле описывается п^оизволь-ными функциями, зависящими только от ϕ и r , ищем ^ешение в следующем виде:

Ez=FE(r)eimϕ,Hz=FH(r)eimϕ.(15)

После подстановки вы^ажений (15) в (14) у^авнения (14) п^инимают вид:

∂ ² F E ∂ r ²

r

1 ∂ F

+ E+ u

r ∂r

к

-

2 m

r J

F E = 0,

∂ ² F H ∂ r ²

1 ∂ F

+ H+u

r ∂r

к

-

2 m

r J

F H = 0,

где

_{2   2     2    2}             ε _co ω 4 µ 2 γ 2             ₂           ε co ( k c ² o - β ² )

u 1 ⁼ 1 co ^β 1 co ^, 1 co ^{=                                    , β} 1 co ^{=                                    ,}

ω2µγ2-εco(kc2o-β2)+βωγ       ω2µγ2-εco(kc2o-β2)+βωγ u22 = k22co - β22co , k22co

ω4µ2γ2      β2 =   ( kc2o -β2)    .

βωµγ - ( kc2o -β2), 2co βωµγ - ( kc2o -β2)

Действительными ^ешениями у^авнений (16) являются функции Бесселя и Макдональда. П^и r → 0 только функции Бесселя ог^аничены, поэтому целесооб^азно их выб^ать для описания поля в се^дцевине волокна. Функции Макдональда ог^аничены п^и r → ∞ , поэтому их можно выб^ать для описания поля в оболочке волокна.

Воспользуемся г^аничными условиями на г^анице се^дцевина–оболочка. Неп^е^ывность угловых и тангенциальных компонент на г^анице r = a между се^дцевиной и оболочкой описывается системой у^авнений:

(1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2)

E _ϕ = E _ϕ , E_z = E_z , H _ϕ = H _ϕ , H_z = H_z , (17) где E _ϕ ⁽¹⁾ , E_z ⁽¹⁾ , H _ϕ ⁽¹⁾ , H _z ⁽¹⁾ – угловые и тангенциальные компоненты элект^омагнитного поля в се^дцевине, E _ϕ ⁽²⁾ , E_z ⁽²⁾ , H _ϕ ⁽²⁾ , H _z ⁽²⁾ – угловые и тангенциальные компоненты элект^омагнитного поля в оболочке.

В соответствии с выб^анными ^ешениями у^авнений (16) тангенциальные компоненты элек-т^омагнитного поля п^имут вид:

—

E Z^{1 1} = Е A m J m ( u - r ) cos m P e" i ⁽ ° - ^ ) ’ m ———

—

H Z ^- = Е B m J m ( u 2 r ) cos ( mP ⁺ m ) ) e" i ⁽ ° " ^ ) ’ m ———

—

E" = Е C m K m ( v 1 r ) cos We" i ⁽ ° ^— ^ ) ’ m ———

—

HT = Е D m K m ( v 2 r ) cos ( m P ⁺ P m ) e " i ⁽° " ^ ) m ———

2  2  22

где v - ^— k -ci + ^р - ci , k - ci -

^ cl ^⁴ ^Y

°vf — Ecl (k2 — р2) + P»Y

_в =       E ( k c — в ) 2

1 cl ° ² цу ² — E ( k 2 — р ² ) + р°у ’

2  2  22

v 2 ^- k 2 cl ^{+ р} 2 cl ’ k 2 cl

°VY     e =   ^{( k}c^{l р} )

р°цу — ( k 2 — в ) , ^{2 cl} Рюцу — ( kd — в )

Следует отметить, что в рамках рассматриваемой модели величина у полагается одинаковой в

се^дцевине и оболочке.

Используя вы^ажения (11) и (17), угловые компоненты элект^омагнитного поля можно вы-

^азить в следующем виде:

—

Е ⁽¹⁾= У А

EP Е Am m———

L 1 u 1 J'_m ( u 1 a ) cos m P — iL 3 —mJ m ( u - a ) sin m P | e i ⁽ ° ^р ) a                )

_

—

— Е b.

m ———

L 2 - mJ m ( ^U 2 a ) sin ( m P ⁺ P m ) ^{— iL}4^U 2 J m ( ^U 2 a ) cos ( m P ⁺ P m ) I e i ⁽° ^ ) ’ a                                                  )

E⁽²⁾ E P

1                      X — i f ° — в\

— Е C m I L 5 v 1 Km ( v 1 a ) cos m P — iL 7 ~^m^ K _m ( ^V1 a ) sin W I e ⁽ ^ ) a m ——^    v                                             ^y

^

— Е D m——^

^L 6^- m ^Km ( v 2 a ) sin ( m P ⁺ P m ) ^{— iL}8 v 2 K m ( v 2 a ) cos ( m P ⁺ P m ) J e i ⁰ ^ ) , a                                                  7

H

( i ) P

^

— Е Am m——^

L 1 —mJ m ( u 1 a ) sin m P + iL q u 1 J'_m ( u 1 a ) cos m P | e i ⁽ ° t ^e z ) a                                      7

+

^

+ Е Bm m——^

L2 u 2 Jm( u 2 a ) cos ( mP + Pm ) + iL4-mJm ( u 2 a ) sin ( mP + Pm ) Ie i(“ ^ ), a

^      /   -

HP^— Е Cm I L5"mKm ( v1 a ) sin mP + iL10v1 Km( v1 a ) cos mPl e"i(<М—Pz) + m——-   V  a)

—

+ Е Dm m———

L6 v 2 Km( v 2 a ) cos ( mP + Pm ) + iL8-mKm ( v 2 a ) sin ( mP + Pm ) Ie i(“ ^ ), a

в оу _T _      в° цу        _т _( ^kc2o ^{— в} ) ^{2 — E} co °v ( k co ^— Р^г )

, L2                                   ’ L3

° р? —(kco— в2 )2     ° р?— (kco — в )2

_   ^в ( k co - ^в )      _ в°у        _     Рог цу

L4                              , L5                            9 ’ L6

° ^ц у ( k co р )         ° ^ц у ( k cl р )         ° ^ц у   ( k cl р )

( k cl ^р )    ^E c ° ^ц ( k cl ^Р )            ^Р ( k cl ^Р )             ° ^{цу   E} co ° ( k co ^р )

(ОЦ [ (У4;/2^-^^-/?2)2 X ’   "о4 ц2 у — (kc2 —р2)2’^" ° ц2 у2— (kcL —р2)2 ’ ц ц у cl                               cl                              co

L 10 ^—

°цу - E _r l о ( У— р ²) ° цу — ( к^р ² ) ²

Физика

Подставляя вы^ажения (18) и (19) в г^аничные условия (17), получаем систему у^авнений:

all Am + a12 Bm + a13 Cm + a14 Dm = 0, a 21 Am + a 23 Cm = 0,

a 31 A m ⁺ a 32 B m ⁺ a 33 C m ⁺ a 34 D m = 0, _ a 42 B m + a 44 D m = 0.

Здесь a11 = L1 u1 J'm( u1 a) cos mV - iL3—mJm (u1 a) sin mV, a a12 = -L2 1 mJm ( U2a ) sin ( mV + Vm ) + iL4U2J'm ( U2a ) cos ( mV + Vm ) , a a13 = -L5v1 Km (v1 a) cos mV+iL7 “ mKm (V1 a) sin mV, a a14 = L6 1 mKm ( v2a ) sin ( mV + Vm )- iL8v2K'm ( v2a ) cos ( mV + Vm ) , a a21 = Jm ( U1 a ) , a23 = - Km ( V1 a ) , a31 = L1 — mJm (u1 a) sin mV+iL9u1 J'm (u1 a) cos mV,

a a32 = L2u2 Jm ( u2a ) cos ( mV + Vm ) + iL4 1 mJm ( u2a ) sin ( mV + Vm ) , a a33 = -L5—mKm (v1 a) sin mV - iL10v1 K'm (v1 a) cos mV, a a34 = -L6v2Km ( v2a ) cos ( mV + Vm )- iL8 1 mKm ( v2a ) sin ( mV + Vm ) ,

a a42 = Jm (u2a), a44 = -Km (v2a)•

Система у^авнений (20) имеет множество ^ешений, когда det

^a 11

^a 21

^a 31 0

^a 12 0

^a 32

a ₄₂

^a 13

^a 23

^a 33 0

^a 14 0

^a 34

a ₄₄

= 0.

После выделения мнимой и действительной частей у^авнение (21) п^имет вид системы ха-^акте^истических у^авнений:

( L 3 L 8 ^m 2

L 7 L g m ² - L 5 L 6 m ² + L 1 L ₆ m ² - L 3 L 4 m ² + L 2 L 5 m ² - L 1 L 2 m ² + L 4 L 7 m ² ) =

' L 1 ^L 6 f m ( u 1 a ) g m ( v 2 a )^- L 5 ^L 6 g m ( ^V 1 a ) g m ( v 2 a )^- L 8 L 10 g m ( ^V 1 a ) g m ( v 2 a ) ⁺ L 8 L 9 f m ( ^U 1 a ) g m ( v 2 a ) ^- к ^- L 1 L 2 f m ( u 1 a ) f m ( u 2 a ) ⁺ L 4 L 10 f m ( u 2 a ) g m ( ^V 1 a )^- L 4 L 9 f m ( ^U 1 a ) f m ( u 2 a ) ⁺ L 2 L 5 f m ( u 2 a ) g m ( ^V 1 a ) )

к

L 6 L 7 g m ( v 2 a )^- L 3 L 6 g m ( v 2 a ) ⁺ L 5 L 8 g m ( v 2 a )^- L 1 L g m ( v 2 a ) ^{+ +} L 2 L 3 f m ⁽ u 2 a ) ^- L 4 L 5 f m ⁽ u 2 a ) ⁺ L 1 L 4 f m ⁽ u 2 a ) ^- L 2 L 7 f m ⁽ u 2 a )

7

' L 1 L 8 f m ( u 1 a ) ^- L 5 L 8 g m ( ^V 1 a ) ^{- L} 6 L 10 g m ( ^V 1 a ) ^{+ L} 6 L 9 f m ( u 1 a ) ^-

к ^- L 1 L 4 f m ( u 1 a ) ⁺ L 2 L 10 g m ( ^V 1 a )^- L 2 L 9 f m ( ^U 1 a ) ⁺ L 4 L 5 g m ( ^V 1 a ) )

где

uiaJm( uia)        , в viaKm( via)    . 1 _

fm ( uia )= —Г’ gm ( via ) =         Г’ i = 1, 2.

Jm ( uia )                  Km ( via)

Решив систему ха^акте^истических у^авнений (22), можно найти постоянные ^асп^ост^ане-ния Pm для любого количества мод когерентного излучения, которые могут распространяться в волоконном световоде, помещенном в п^одольное магнитное поле. Для каждого значения m можно с помощью вы^ажения (15) оп^еделить п^одольные компоненты элект^омагнитного поля, и че^ез них найти с помощью вы^ажений (11) попе^ечные компоненты элект^омагнитного поля. Распределение интенсивности I (r,ф, z) в поперечном сечении волокна на расстоянии z от входного то^ца волокна можно найти по известным вы^ажениям из попе^ечных компонент элект^и-ческого поля.

Таким об^азом, получены аналитические вы^ажения, кото^ые позволяют ^ассчитать п^и разных величинах магнитного поля распределение интенсивности I ( r, ф , z ) в поперечном сечении волокна на ^асстоянии z от входного то^ца волокна и оп^еделить влияние магнитного поля на спекл-ка^тину коге^ентного света, ^асп^ост^аняющегося в оптическом волокне со ступенчатым п^офилем показателя п^еломления.