Возможности применения линейных и нелинейных моделей для анализа региональной экономической системы

Для успешного выявления проблем и обоснованного выбора путей регионального социально-экономического развития необходимо системное представление об экономике региона как многоуровневом и динамично развивающемся хозяйственном комплексе. Достаточно большие масштабы региональной экономической системы, разветвленность связей между ее элементами и определенная инерционность придают высокую степень обусловленности будущих ее состояний предшествующими. В экономике региона, как в любой большой системе, на более низких уровнях иерархии, шире проявляются стохастические факторы. По мере перехода на более высокие уровни иерархии и роста масштабов анализируемого объекта все более начинают преобладать детерминированные факторы развития и возрастает устойчивость. Однако при этом приходится сталкиваться с недостатком априорной информации о количественных закономерностях, что существенно усложняется многообразием динамических свойств региональной экономической системы. Все это диктует неизбежность сочетания детерминированных и стохастических методов регионального экономического анализа.

При моделировании региональной экономики как динамической системы могут применяться различные типы динамических преобразовате- лей. В зависимости от дискретного или непрерывного способа представления переменных могут применяться региональные модели, формируемые соответственно в виде конечно-разностных или дифференциальных уравнений. Так, выпуск валового регионального продукта вполне можно считать изменяющимся непрерывно, а ввод основного капитала – изменяющимся дискретно. При этом необходимо учитывать, что непрерывные модели дают более естественное представление о динамических свойствах региональной экономической системы и упрощают получение общих закономерностей в аналитической форме. В то же время дискретные модели облегчают построение алгоритмов их вычислительной реализации.

Типы динамических преобразователей, как известно, различаются нелинейной или линейной формой связи между включенными в модель переменными. В реальных процессах как национальной, так и региональной экономики зависимости между показателями в основном носят нелинейный характер. Однако аналитическое решение нелинейного дифференциального или конечно-разностного уравнения не всегда возможно, а в тех случаях, когда оно существует, сопряжено со значительными трудностями. В связи с этим часто зависимости между переменными линеаризируют. В ряде случаев стараются непосредственно применять линейные уравнения с постоянными коэффициентами.

Модели регионального экономического развития в значительной степени основываются на макроэкономических теориях и моделях, но с учетом большей открытости региона по сравнению с национальной экономикой. Для отражения долгосрочного экономического роста и его факторов возможно применение нелинейных непрерывных моделей, имеющих при этом малую размерность, например, таких как малосекторные неоклассические модели. Так, с использованием односекторной неоклассической модели роста Солоу региональная экономическая система как единое неструктурированное целое производит один универсальный продукт, который потребляется и инвестируется. Отражая процесс регионального расширенного воспроизводства, агрегированная модель позволяет в общих чертах анализировать соотношение между потреблением и накоплением.

Более детально процесс регионального воспроизводства можно отразить с использованием трехсекторной динамической нелинейной модели, в которой каждый из секторов (i = 1, 2, 3) производит свой агрегированный продукт: материальный сектор (i = 1) производит предметы труда, капиталосоздающий (i = 2) – средства труда, потребительский (i = 3) – предметы потребления. Как известно, предметы труда используются в одном производственном цикле, а средства труда – во многих. При этом появляется возможность непосредственно отразить функционирование сектора, производящего промежуточный продукт, который в агрегированной односекторной модели при определении валового внутреннего продукта выпадает из анализа. Так, выпуск продукции по секторам (X i ) создается с помощью статических линейно-однородных неоклассических производственных функций

X i = F i (K i , L i ), i = 1, 2, 3, где K_i, L_i – объем основного капитала и численность занятых в i-м секторе.

Динамика занятых в экономике региона (L) и их распределение по секторам представляются следующим образом:

dL/dt = υL, L = L(0)eυt,

L = L1 + L2 + L3, где υ – темп прироста занятых, t – период времени.

Динамика основного капитала по секторам задается в виде линейных динамических уравнений dKi/dt = – μiKi + Ii, i = 1,2,3, где μi, Ii – коэффициенты износа основного капитала и валовые инвестиции в i-м секторе. Инвестиционный лаг отсутствует.

Распределение продукции материального и капиталосоздающего секторов задается в виде линейных статических уравнений

X1 = a1X1 + a2X2 + a3X3,

X2 = I1 + I2 + I3, где ai – коэффициенты прямых материальных затрат в i-м секторе

В данной модели проявляется эмерджентность региональной экономической системы, проявляющаяся во взаимосвязанном изменении выходных переменных: каждый сектор производит столько продукции, сколько нужно другим секторам и потребителям и столько, на сколько хватит ресурсов. Управление в модели осуществляется путем распределения трудовых и инвестиционных ресурсов.

В краткосрочном периоде линейной динамической моделью второго порядка могут быть описаны конъюнктурные циклы в региональной экономике. Так, модель Самуэльсона-Хикса для рынка благ, в которой кейнсианский мультипликатор взаимодействует с акселератором, дополняет статический анализ макроэкономических рынков и отражает динамику перехода от одного равновесного состояния к другому после изменения экзогенных параметров. В данной динамической модели переменные относятся к разным периодам времени, кроме того, в ней учитывается необходимость осуществления индуцированных инвестиций при исчерпании существующих производственных мощностей. Индуцированные инвестиции как часть совокупного спроса порождают очередной мультипликативный эффект, который снова увеличивает совокупный спрос и побуждает тем самым к новым индуцированным инвестициям. В отличие от моделей долгосрочного экономического роста воздействие инвестиций на совокупное предложение через ввод новых производственных мощностей не учитывается. При этом существуют определенные условия, связанные со значениями предельной склонности к потреблению и коэффициентом акселерации, которые гарантируют устойчивое приспособление к новому равновесному состоянию после экзогенных импульсов. Процесс приспособления при этом может быть монотонным или колебательным. Заметим, что с включением в модель рынка денег, взаимодействующего с рынком благ через процентную ставку, область устойчивого равновесия сокращается. Тогда указанный процесс приспособления будет скорее колебательным.

Применяемые в региональных исследованиях агрегированные макроэкономические модели оперируют суммарными величинами валового регионального продукта и регионального дохода, занятости и безработицы, потребления, сбережения, инвестиций и т.п. При этом выпадают из анализа структурные проблемы в регионе. Кроме того, структура макропоказателей отдельного региона куда менее устойчива, чем структура макропоказателей всей национальной экономики. Более того, структурные сдвиги являются одним из важнейших факторов регионального экономического развития. В этой связи по сравнению с агрегированными макромоделями определенные преимущества в анализе региональной экономики имеют более детализированные модели, в которых структурные показатели являются эндогенными, а не экзогенными величинами.

Для анализа структурных сдвигов и сложной сети межотраслевых взаимосвязей широко используются балансовые матричные модели, в основе которых лежит межотраслевой баланс, характеризующий многообразные натуральные и стоимостные связи между отраслями экономической системы. Основной массив информации содержит первый квадрант, играющий главную роль в системе показателей межотраслевого баланса. В общей схеме последнего ортогонально совмещаются два специальных баланса – материальный по горизонтали и стоимостной по вертикали. Этим балансам соответствуют модель межотраслевых материальных связей с ограничениями по производственным ресурсам:

X = AX + Y, X = (E - A)-1Y, fX = f(E - A)-1Y ≤ R,

X ≥ 0

и модель межотраслевых зависимостей цен и добавленной стоимости:

P = A’P + r, r = (E - A’)P,

P = (E - A’)-1r, где X = (xi) – вектор валового выпуска, Y = (yi) – вектор конечной продукции,

A = (a_i j ) – технологическая матрица прямых затрат; E – единичная матрица; f – матрица ресурсных коэффициентов; R – вектор имеющихся в регионе ресурсов; P – вектор индексов цен; r – вектор коэффициентов добавленной стоимости.

Для данных моделей, являющихся двойственными по отношению друг к другу, выполняется равенство rX = PY.

Построенная базовая региональная модель межотраслевых материальных связей допускает возможность ее различных модификаций. Так, можно в явном виде выделить в модели переменные и параметры по ввозу и вывозу продуктов и услуг, отразив тем самым влияние внешних свя- зей на открытую экономику региона. Кроме того, данная модель может интерпретироваться как частный случай более развитых оптимизационных моделей, которые упорядочивают и формализуют выбор наилучших из сбалансированных состояний экономики региона с ограничениями по производственным мощностям и ресурсам с точки зрения определенных критериев оптимальности.

Рассмотренные региональные межотраслевые модели являются статическими, отражая экономическую деятельность в регионе лишь в течение одного временного периода. Рассмотрение данных моделей в динамической постановке позволяет отразить прямые и обратные связи в региональной экономической системе с точки зрения воспроизводственного подхода к экономическому развитию. Динамическую межотраслевую модель можно записать в виде

X(t) = AX(t) + Y(t), где t – временной период.

Вектор регионального конечного спроса состоит из двух компонентов – вектора потребления C и вектора инвестиций U:

Y(t) = C(t) + U(t).

Потребление отдельных видов благ можно представить как функцию от валового регионального дохода z(t):

Ci(t) = ψiz(t), (i = 1,2,…,n), а z(t) можно представить в виде функции

z(t) = r1x1(t) + r2x2(t) + … + rnxn(t), где ri – доля добавленной стоимости для i-того продукта, (i = 1,2,…,n).

Тогда вектор потребления можно представить следующим образом:

C(t) = ψrX(t).

В свою очередь вектор инвестиционного спроса запишем как

U(t) = B[X(t+1) – X(t)] = B∆X(t) = BρX(t), где B – матрица коэффициентов приростной капиталоемкости: B = (bij),

(i,j = 1,2,…,n); ρ – темп прироста производства.

Тогда полученное уравнение

X(t) = AX(t) + ψrX(t) + BρX(t)

с учетом Ā = A + ψr можно записать как динамическое уравнение

(E – Ā)X = BρX, откуда после преобразований получим:

(E – Ā)-1BX = 1/ρX, или HX = λX, где H = (E – Ā)-1B; λ = 1/ρ.

Тогда (H – λE)X = 0.

Соответственно находим собственное значение λ матрицы H из характеристического уравнения │H – λE│= 0.

Согласно теореме Перрона-Фробениуса о положительноопределенных матрицах, максимальное по своему абсолютному значению собственное значение λ и положительный собственный вектор X определяются однозначно, т. е. имеем обладающую экономическим смыслом траекторию равновесного роста в регионе с темпом прироста ρ = 1/λ.

Таким образом, динамическая межотраслевая модель является развитием статической модели. В ней учтено создание нового основного капитала и соответственно увеличение производственных мощностей. При этом характер технологических зависимостей остается линейным.