Выбор параметров решения линейных неклассических уравнений первого рода

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice

УДК 517.983                                        

Теоретическая часть интегральных уравнений изучалась и исследовалась во многих различных работах. В частности, в работе [1] рассмотрен обзор результатов исследований интегральных уравнений Вольтерра второго рода. В работе [2] изучаются интегральные уравнения Вольтерра первого и третьего родов с гладкими ядрами, где приводится доказательство существования многопараметрического семейства решений. В работе [3] исследованы линейные интегральные уравнения Фредгольма первого рода, для которых построены регуляризирующие операторы по Лаврентьеву. В работе [4] приводится теория и используются численные методы решения неклассических интегральных уравнений Вольтерра первого рода с дифференцируемыми и отличными от нуля ядрами на диагонали. В работах [4–7] приведены применения неклассических интегральных уравнений Вольтерра первого рода в разных прикладных задачах. В работе [8] используется метод регуляризации М. М. Лаврентьева для интегральных уравнений Вольтерра первого рода с гладкими и отличными от нуля ядрами на диагонали дифференцируемыми решениями, для которых построено приближенное решение. В работах [9, 10] получены достаточные условия единственности решений и исследованы вопросы регуляризации решений систем линейных и нелинейных интегральных уравнений Вольтерра первого и третьего родов. В работе [11] доказывается теорема единственности решений и находится регуляризирующий оператор для решения системы линейных интегральных уравнений Фредгольма третьего рода. В работах [12,  13] использован новый подход для исследования вопросов существования и единственности решений скалярных интегральных уравнений Фредгольма третьего рода с многоточечными особенностями и их систем. В работе [14] приведены результаты по интегральным уравнениям Вольтерра первого рода. В работах [15–17] построен регуляризирующий оператор для решения неклассического интегрального уравнения с условиями Липшица и доказаны теоремы единственности.

В данной работе выбран параметр регуляризации для решения линейного интегрального уравнения Вольтерра первого рода.

Постановка задачи:

Рассмотрим интегральное уравнение

t

JK (t,s) u(s)ds = f(t)

a (t)                                    . t e [ to, T ]

;

неклассического

где

a ( t ) e C [ t ₀, T ]    a ( t₀ ) = t₀   a ( t ) <  t

,

,

t e[ tn, T ]   K (t, s )

при всех        ^o ’    , ^v ’ и

f (t)

известные

G = {(t, s): tn < t < T, a(t) < s < t}                     [tn, T]

функции в области        ,      ^o       ,              и на отрезке ^o ,

f (L) = O u (t) -                              [ t„, T ]

^{o 7}     .        искомая функция на отрезке ^o ’    .

Решение:

Наряду с уравнением (1) рассмотрим

соответственно,

t

£V (t, £ ) + f K (t, s ) v (s, £ ) ds = f (t) + £U (t o )

at)                                             .te[ to, T]

;

.

⁰ <  ^£ <  ¹ некоторый малый параметр.

Здесь мы используем работу, в [15] и потребуем выполнение следующих условий:

а)

б)

a(t) e C'[t.„ T], a'(t) > O                  t e [t , T]

^o ’   ’             при почти всех      ^o ’    ;

K (t, s) e C(G); K (t, t) e C[ to, T ], K (t, t) > m > O при всех

t e[to,T] ■ m e R ;

;

;

с)

| K (t, s )

При t > τ- K(t, s)| < L\t -T

для

любых     ⁽ t ’ ^{s ),( t} ’ ^s ) ^{e G} справедлива

оценка

’ где L

-

q      C [ tn, T ]

Здесь ^{0 ,}

-

пространство

известное неотрицательное число.

всех непрерывных функций ^{v (} t )’ определенных на

[ t n, T ]

⁰’ с нормой

IV( t) C=maxV( t )l te[ to, T ]

Будем обозначать ^{C [} t ^o ’ ^T ]’ пространство всех функций ^{v (} t ) ^{V (} t ) ^{- V ( s} )| <  ^C y ^ - s i ^Y

^O <^Y < ¹ пространство Гельдера, т.е. линейное

[ L , T ]

определенных на ^o ’ и удовлетворяющих условию

C                                          v( t)

где ^γ положительная постоянная, зависящая от     но не от t и s .

Далее нам понадобится следующая лемма доказанная в [15–17].

Лемма: пусть выполняются условия а), б) и с). Тогда справедливы следующие оценки:

a ( t )

j|H0(tT£)|dr < Yo,

1)   t o                              t e [ t o , T ] .

t

Y o = ^su P где           ^{u e [} t o ’ ^{T ]}

| K (u,a(v)\a'U)

k U , U

;

Ho(t,т,£) = —K(a 1(t),t)e ε

-— J K ( s , s ) ds

ε

a ^{- 1}

;

|H 1 ⁽ t, r ,^£ ) < m ⁽2 e '+ 1), ( t ’ T ) e G ;

где G i = ^{( t ^{, r ):} t o <  t <  T . t o <  ^r <  ^{a (} * ^)} где                                                ,

t

- - f K (r ,r ) dr i                                     i

H i ( t, r , s ) = - e ^T      -[ K ( t, r ) - K( r , r )] + -

ε

ε

t a ~‘(r) 1                 -1 fK (r ,r) dr f    K (s, s) e s s       x t'    s

-— f K ( r , t ) dr

x [ K ( s , r ) - K ( t , r )] ds + — [ K ( t , r ) - K ( a ^-1( r ), r )] e ^{a - 1( r} )      ;

ε

I ^H 2 ⁽ t ^{, T} . ^{s )}l <  _m ’ ( t , t ) e G = {( t , t ): t o <  t <  T ,   a ( t ) < t <  t },

где

H ₂( t ,T, s )

tt

- f K ( s , s ) ds                                 t               —f K ( r , r ) d r

- - e ' ^r     [ K ( t , r ) - K (r.r )] - f K ( s , s ) e ^s s      -[ K ( t , r ) - K ( s , r )] ds

ε                        τ ε

.

Теорема 1. Пусть выполняются условия а),   б), с) и    ^{Y o} b ^o < ¹ где

Yo = suP ue[ t 0. T ]

IK (u,a(u)| a'(u)           / bo = exp[ - (2 e+1)(T -1o)

K^{( U , U} )     ,        m           . Кроме того, уравнение (1) имеет решение

u ( t ) e C [ t „, T ] (o <  y <  1)                    v (t , s )

^o.   ,          . Тогда решение . уравнения (2) при ^s ^ ^o сходится по норме

C [ L , T ]             u ( t ) _n

⁰ . к решению      . При этом справедлива оценка

||^{v (} t , ^s ) - u ⁽ t )| C <

—^— CC s^Y 1 - Y o b o  ^{o Y}

Cy = sup t, s e[ to, T ]

где

| u ( t ) - u ( s )| t - s ^γ

;

∞

^C o = Y f ^e

o

m ^Tr^{Y - 1} d T

.

f ( t ) e C [ t „, T ]      „

Доказательство: далее предположим, что дана функция s        o. и число o, такое что

||^{f (} t ) ^- f s ⁽ t )l c <  ³  |u ( t o ) - u o| <  aS

,                                                , где a , uo известные постоянные числа o < S < 1 малый параметр. Рассмотрим уравнение

t evs(t.s)+ fK (t. s ) vs(s.s ) ds = fs(t)+ su o a! t)                                       J e[ to. T ]

;

.

Из (2) отнимая (10) и вводя обозначения

u _s (t , s ) = v(t , s ) - v _s ( t , s ). t e [ t o , T ] ;                       ,

Имеем

t sus (t.s) + f K(t.s)us (s.s)ds = f(t) - fs (t) + s(u(to) - uo) a (t)                                                                             t e [ to , T ]

;

.

Уравнение (12) запишем в виде [15, 16]:

1 +

£

1 t                                        1 ^a ( t )

u_s ( t , £ ) + — J K ( s, s)u_s ( s, £ ) ds — j K ( s, s ) u_s ( s, £ ) ds + ^£ t o                             ^£ t o

J [ К(t, s) - K(s, s )]us (s,£) ds = -[ f(t) - fs (t)] +(u (to) - u o)

at)                                     £                                   .t e[to,T]

;

-1К (s, s)

Используя резольвенту ядра ^£       и обобщенную формулу Дирихле уравнения

(13), сводим к следующему эквивалентному уравнению [15, 16].

а ( t )                                                    а ( t )

us (t, £) = J Ho (t ,T, £) us (r, £) dr + J H (t ,T, £) us (r, £) dr + t 0                                                            t 0

t

+ J H2( t, T, £) us (t, £) dr + Fs (t, £) а (t)

t e [ t o , T ]

где Ho( t ,T, £), H1( tT £ ) и H2( t,T,£ ) и (7).

определены соответственно по формуле (3), (5)

।                                          1 \         - £ IK1'м Г1

Fs (t, £) = -[ f (t) - fs (t)] + ( u (to) - uo)--JK (s.s > '      4f(s)- fs (s 1] + (u(t.)- u.)

£                                       ^£ t o                   L ^£

ds

В силу (9) из (15) имеем

IIFs (t, £)Cc < 2 s + aS к£     7

Далее в силу леммы, т. е. учитывая оценки (3), (4), (6) и (16), из (14) получаем

a (t) L                              t ls

I us (t, £ )| < Yo| l^s (t, £ )|| c+ J —(2 e-1 +1)1 us (t, £ )| dr + J —us (t, £)| dr + 2(- t o m                            a (t) m

t e[to,T]

.

Отсюда имеем

t- L                                        s

us (t,£) < J — (2e + 1) us (t,£) dr + Yo \us (t,£) c + 2(- + as) m                          £

t o

t e[to,T]

.

Применяя неравенства Гронуолла-Беллмана, из (17) получим

||us(t,£)|lc < Yobo|\U((t,£)|Ic + 2bo(s + as) t €[t ,T] ,                                      .

b o = exp[ L (2 e + 1)( T - 1 o )

где        ^m

Отсюда получаем

IIus(t’£)llc < 2bor(s + as)

1 - Yobo £

Теорема 1 доказана.

Известно, что

I h (t, s) - v(t)||c < Ik(t, s) - v( t, s}+v( t, s) - v( t )||c < |k(t, s)| L+Ikt, s) -v( t )l C

Отсюда, учитывая оценки (8) и (18) имеем

IИ(t’s) -v(t)lL <

b o

1 - Y0 bo -

C0 CYsY + 2(- + aS) s

,

C  Cv Yn b где числа 0, Y, 00,  0 определены в теореме 1.

• Y + 1

Полагая ^s = °  , из (19) получим

V ( t , S^{Y + 1}) - v ( t )    <

b o

C

^{1 -} Y 0 b 0 -

_Y_

(CC + 2)Sy+1 + 2a°)

,

где ⁰ <  Y <  ¹

.

Таким образом доказана следующая теорема 2:

Теорема 2: пусть выполняются условия а), в), с) и Y0b0 < 1, интегральное уравнение (1) v( t) е CY [ Л, T ] o

V (t, s)                                                        ^Y+1                          C[ t„, T ]

решение °^Y ’ ' интегрального уравнения (10) при ^s = ° сходится по норме ⁰’ к ^v(t) . При этом справедлива оценка (20), где известные числа ^C0, k, ^Y0, b⁰ определены в теореме 1.

Заключение

Поставленная задача полностью разрешена, т. е. Параметр для регуляризации неклассическое интегральное уравнение Вольтерра первого рода выбран. Регуляризирующий оператор по М. М. Лаврентьеву построен и доказана теорема единственности решении.