Выбор поворачивающих множителей в алгоритме монобитного быстрого преобразования Фурье

Алгоритм монобитного быстрого преобразования Фурье (БПФ), предложенный и исследованный в [1–8], позволяет сократить число требуемых ресурсов при реализации на ПЛИС за счет исключения операций умножения. Поворачивающие множители в алгоритме монобитного БПФ могут принимать значения из наборов:

{1, j, –1, –j} или

{1 + j , –1 + j , –1 – j , 1 – j }.

Автор [1, 3] отмечает, что объединение этих наборов значений поворачивающих множителей в один набор {1, 1 + j , j , –1 + j , –1, –1 – j , – j , 1 – j } позволит улучшить качество преобразования, выраженное в уменьшении уровня нежелательных (паразитных) составляющих в спектре анализируемого сигнала. Однако количественных показателей такого улучшения не приводится.

В настоящей статье приведена оценка влияния выбора набора поворачивающих множителей на уровень нежелательных составляющих в спектре анализируемого сигнала, а также результаты расчета ресурсов ПЛИС, необходимых для реализации различных вариантов алгоритма.

1.    Постановка задачи

Суть алгоритма монобитного БПФ сводится к следующему. В дискретном БПФ -;2пкп

Х(к) = S n=o %(п)е^Щ1

поворачивающие множители W ^kn = exp(– j π kn / N ) заменяются наборами:

W ^kn = 1 + j , 0 ≤ θ < π/2;

W ^kn = –1 + j , π/2 ≤ θ < π;

W ^kn = –1 – j , π ≤ θ < 3π/24;

W kn = 1 – j, 3π/2 ≤ θ < 2π или:

W ^kn = 1, –π/4 ≤ θ < π/4;

W ^kn = j , 3π/2 ≤ θ < π/4;

W ^kn = –1, –3π/4 ≤ θ < 3π/4;

W ^kn = – j , –3π/4 < θ ≤ –π/4

Графически это можно представить так как показано на рис. 1.

Объединение этих наборов в один иллюстрирует рис. 2.

а)

Рис. 1. Графическое представление поворачивающих множителей монобитного БПФ

Рис. 2. Объединенный набор поворачивающих множителей моно-битного БПФ

Сигнал на входе исследуемого алгоритма представляется последовательностью знаков его отсчетов:

sign(x) = x / |x|, где x = cos(2πfcnΔt) – отсчеты тестового гармонического сигнала.

В ходе исследований была поставлена задача оценки уровня нежелательных составляющих в спектре анализируемого сигнала для различных вариантов наборов поворачивающих множителей. Была разработана программа на языке VHDL для исследования требуемых для реализации алгоритма ресурсов ПЛИС.

2.    Результаты моделирования и расчетов

Результаты оценки уровня нежелательных составляющих в спектре анализируемого сигнала, полученные с применением пакета Matlab, приведены в табл. 1.

Таблица 1

Результаты моделирования

Набор поворачивающих множителей	Уровень нежелательных составляющих, дБ, относительно полезной составляющей
{1, j , –1, – j }	–10,075
{1 + j , –1 + j , –1 – j , 1 – j }	–10,71
{1, 1 + j , j , –1 + j , –1, –1 – j , – j , 1– j }	–16,33

Результаты расчета ресурсов ПЛИС, необходимых для реализации различных вариантов алгоритма (число точек преобразования – 1024), приведены в табл. 2.

Таблица 2

Результаты расчетов

Набор поворачивающих множителей	Число логических элементов ПЛИС
{1, j , –1, – j }	49 155
{1 + j , –1 + j , –1 – j , 1 – j }	61 955
{1, 1 + j , j , –1 + j , –1, –1 – j , – j , 1– j }	82 504

Заключение

Анализ полученных результатов позволяет сделать следующие выводы.

• 1.    С точки зрения уровня нежелательных составляющих в спектре анализируемого сигнала, первые два варианта наборов поворачивающих множителей дают практически одинаковые результаты. Использование объединенного набора поворачивающих множителей улучшает соотношение полезной и нежелательных составляющих на 6 дБ.

• 2.    При одинаковом уровне нежелательных составляющих набор {1, j , –1, – j } поворачивающих множителей требует наименьшего числа ресурсов при реализации на ПЛИС. Улучшение соотношения полезной и нежелательных составляющих в спектре анализируемого сигнала, которое можно достичь путем применения объединенного набора {1, 1 + j , j , –1 + j , –1, –1 – j , – j , 1 – j } поворачивающих множителей, требует увеличения числа ресурсов ПЛИС на 40 % по сравнению с первым вариантом.

Выбор поворачивающих множителей в алгоритме монобитного быстрого преобразования Фурье