Выборочный метод. Эмпирическая функция распределения

Предметом математической статистики является изучение случайных величин по результатам наблюдений. Основными задачами математической статистики является оценка вида неизвестного распределения, оценка параметров известного распределения, оценка интервала, в который может попасть случайная величина и т.д. В математической статистике законы распределения случайных величин и их числовые характеристики приходится определять из опыта. Полученные по опытным данным законы распределения называются статистическими (эмпирическими).

Множество объектов, отобранных для исследования называется выборочной совокупностью (выборкой), а множество объектов, из которого взята выборка называется генеральной совокупностью. Количество объектов в выборке называется объемом выборки.

Выборка, правильно представляющая пропорции генеральной совокупности, называется репрезентативной. Выборка называется повторной (бесповторной), если отобранный объект после исследования возвращается (не возвращается) в генеральную совокупность.

Существуют различные способы отбора:

• 1 . Простой случайный отбор - объекты извлекают по одному из всей генеральной совокупности. При большом числе объектов пользуются таблицами случайных чисел или генератором случайных чисел ( с использ. компьютера).

• 2 . Механический - генеральная совокупность делится на столько групп, сколько объектов должно войти в выборку, и из каждой группы отбирается один объект.

• 3 . Серийный отбор - генеральная совокупность разбивается на части и выбирается одна или несколько частей, которые подвергаются сплошному обследованию

• 4 . Типический отбор - объекты выбираются не из всей генеральной совокупности, а из каждой ее «типической части»

Например, если для исследования надо отобрать 10% объектов из 300 случайным способом, то выбираются 30 объектов.

Например, если для исследования надо отобрать 20% объектов из 1000 механическим способом, то выбирается каждый 5-ый объект.

Например, генеральная совокупность разбита на 10 частей и из них отобрали 3 части для сплошного обследования. Это будет серийный отбор.

Например, если детали изготовляют на нескольких станках, то отбор производят не из всей совокупности деталей, а из продукции каждого станка в отдельности

При механическом, типическом и серийном способах отбора генеральная совокупность разбивается на части.

Пусть над с.в. Х проведено n наблюдений т.е. из генеральной совокупности произведена выборка объема n. Наблюдавшиеся значения х i признака Х будем называть вариантами, одинаковые из них объединим в группы и оформим результаты в виде таблицы.

Статистическое распределение выборки устанавливает соответствие между наблюдаемыми значениями (вариантами) и их частотами или относительными частотами.

Статистический ряд состоящий из вариант, расположенных в порядке убывания или возрастания называется ранжированным.

Ряды распределения удобно представлять в виде двух разновидностей: дискретного и интервального.

x i	x 1	x 2		x k
n i	n 1	n 2		n k
w i	w 1	w 2		w k

Табл.1

Здесь х i – наблюдаемые значения, причем x 1 2 3 <…k;

• n i - число наблюдаемых значений х i , т.е. частота значения х i в n опытах;

n

W i = -

• ⁿ    - относительная частота (частость) наблюдаемых значений признака Х,

k-число различных значений x i.

E w =1, E n i =n

Модой называется варианта с наибольшей частотой.

Медианой называется варианта, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант.

Если число вариант нечетно, т.е. n=2k+1, то М е = х k+1 ;

• x k + x k + 1

При чётном n=2k медиана Ме=  2

Вариационным рядом называется ранжированный в порядке возрастания или убывания ряд вариантов с соответствующими им весами (частотами или частостями). Таблица 1 называется вариационным рядом.

При большом числе опытов (наблюдений) весь интервал значений Х разбивают на несколько интервалов равной длины и подсчитывают число значений xi, попавших в каждый интервал. Получаем интервальный ряд распределения

x i	(a 0 , a 1 )	(a 1 , a 2 )		(a k-1 , b)
n i	n 1	n 2		n k
w i	w 1	w 2		w k

Табл.2

Интервал между наибольшими и наименьшими значениями х i называется зоной рассеивания с.в. Х. или размахом вариации:

R = x_max - x_m i _n

Выборка называется сгруппированной, если все значения, попавшие в один и тот же i-ый интервал при расчетах принимать равным одному значению, а именно середине интервала. Графическим изображением содержания таблиц 1 и 2 является полигон частот и гистограмма . Полигон распределения строится для дискретного ряда, в случае интервального строится гистограмма. Полигоном частот называется ломаная, отрезки которой соединяют точки (x1; n1), (x2; n2), …, (xk; nk)

Гистограммой частот называется ступенчатая фигура, состоящая из ni прямоугольников с основаниями h и высотами h , где h -это длина интервала (ai-1;ai), Если строим гистограмму относительных частот, то в этом wi случае высоты равны отношению h ( плотность относительной частоты). Гистограмма является статистическим аналогом плотности распределения. Площадь гистограммы относительных частот равна единице.

Эмпирической функцией распределения называют функцию F*(x), определяющего для каждого значения х относительную частоту события X< x. Интегральная функция распределения F(х) определяет вероятность события X

Свойства эмпирической функции:

• 1.    Значения эмпирической функции принадлежат отрезку [ 0, 1]

• 2.    F*(x) - неубывающая функция

• 3.    Если Xi- наименьшая варианта, х_к- наибольшая , то F*(x) = 0 при х < х1,

F*(x) = 1 при х > хк

Пример. Дано статистическое распределение выборки

xi	1	3	5	9
ni	4	6	8	12

Найти значение эмпирической функции распределения F*(x) при х=5

Решение: Найдем объем выборки n= 4+6+8+12=30.

Число вариант, при которых наблюдалось значение признака меньшее

10   1

• 5, равно 4+6=10 , следовательно F*(x) = ^{30  3}

"Экономика и социум" №2(15) 2015