Вычисление индекса некоторых бисингулярных операторов со сдвигом методом гомотопии

Введение. В теории линейных операторов важное место отводится вопросам нетеровости (фред-гольмовости) и индекса. В работах [1–4] построено символическое исчисление и исследована не-теровость бисингулярных операторов с различными инволютивными сдвигами. Однако об индексе таких операторов известно мало. Имеет смысл, в первую очередь, выявить случаи, когда можно построить гомотопию в классе нетеровых операторов от бисингулярного оператора со сдвигом к бисингулярному оператору без сдвига, индекс которого хорошо известен [5]. Некоторые такие случаи рассмотрены в [6], и более общий – в [7]. В настоящей работе изучаются другие случаи, допускающие решение задачи методом гомотопии.

Постановка задачи. Пусть Γ₁ , Γ₂ – простые замкнутые контуры типа Ляпунова в комплексной плоскости, 1 <  p < +∞ , I ₁ и S ₁ – единичный оператор и оператор сингулярного интегрирования Коши соответственно в пространстве L _p( Γ ₁) , I ₂ и S ₂ – такие же операторы в L _p( Γ ₂) . В пространстве L _p ( Γ ₁ × Γ ₂) введем четыре проектора P _±+ = ¹ ₄ ( I ₁ ± S ₁) ⊗ ( I ₂ + S ₂) , P ±- = ¹ ₄( I 1 ± S 1 ) ⊗ ( I 2 - S 2 ) .

Пусть отображение α тора Γ₁ × Γ₂ на себя (сдвиг на торе) по правилу

α ( t ₁, t ₂) = ( α ₁( t ₁, t ₂), α ₂( t ₁, t ₂)) ( t ₁ ∈ Γ ₁ , t ₂ ∈ Γ ₂ )

инволютивное ( ∃ α ^{- 1} = α ), достаточно гладкое ( α ₁ , α ₂ ∈ C ¹( Γ ₁ × Γ ₂) , и их частные производные удовлетворяют условию Гельдера по переменной дифференцирования равномерно по другой переменной), и пусть частные производные функций α ₁ , α ₂ не обращаются в нуль на Γ₁ × Γ₂ (это условие не позволяет α распадаться на одномерные компоненты). С двумерным сдвигом а свяжем оператор сдвига W в пространстве L р ( Г 1 хГ 2 ) : Wf = f о а ( f ∈ L p ( Γ 1 ×Γ 2 ) ).

Задачей является вычисление индекса оператора

∑ a _xy P _xy + W ∑ b _xy P _xy ,                (1)

x, y=±              x, y=± где axy , bxy ∈ C(Γ1 × Γ2), при некоторых ограничениях на его коэффициенты.

Предварительные сведения. Зафиксируем по одной точке z1o и z2o в ограниченных областях на комплексной плоскости с границами Γ1 и Γ2 соответственно. Рассмотрим целые числа у„„ = indm(an - z0), Ymn = sign^mn (m, n = 1, 2)• Из свойств сдвига а следует, что ^mn ^ 0. Если Y11 = ±1, то введем X = ±, v = + . Если Y21 = ±1, то введем ю = ±, ц = + . Для удобства обозначим ф = фо а , если ф - функция на Г1 х Г . И пусть GC (Г х Г2) -мультипликативная группа обратимых элементов кольца C(Г х Г2) . Как сообщалось в [7], из теоремы 5 работы [4] следует, что если оператор (1) нетеров в Lр(Г1 х Г2), то

" а+±  bХю 7        ~ , а-± bvg , а ±+  bgv 7        w , а±- bюХ 7        ^ е GC (Г1 х Г2)      (2) b+±  а Хю b-±  а vg b±+ а gv b±- аюХ и непрерывная деформация его коэффициентов axy, bxy (x, y = ±) в пространстве C(Г1 х Г2) при соблюдении условия (2) не нарушит нетеровость оператора (1) и, разумеется, не изменит его индекс.

На основании последнего свойства в [7] доказано, что если оператор (1) нетеров, то после умножения на некоторые обратимые операторы его можно прогомотопировать в классе нете-ровых операторов того же вида, что и сам (1), к более простым операторам вида

P + аР хц + bP + сР хц + WdP )^ ,                   (3)

/ ^,„ + аР + bP .. + сР хю + WdP „ ,                      (4)

где а , b , c , d е C (Г 1 х Г₂) .

Случай, когда существует непрерывный путь по расширенной комплексной плоскости из 1 в да , на котором нет значений функции dd , допускает [7] дальнейшую гомотопию операторов (3) и (4) к характеристическим бисингулярным операторам без сдвига. Ниже мы рассмотрим в некотором смысле симметричный случай.

Результаты работы. Предварительно отметим, что если ф е GC (Г х Γ₂) , то ind_m ф = ^ _m1ind 1 p + z c _m2ind₂ ф ( m = 1 , 2 ). Если при этом функция ф инвариантна относительно сдвига а , т.е. ф = ф , и один ее частичный индекс равен 0 , то равен 0 и другой (напоминаем, что ^ _mn # 0 ).

ТЕОРЕМА 1. Пусть оператор (3) (или (4)) нетеров в L р ( Г 1 хГ 2 ) и выполнены условия:

«Существует непрерывный путь по комплексной плоскости из 1 в 0,(5)

на котором нет значений функции dd » ,

«Хотя бы один частичный индекс функции dd равен 0».(6)

Тогда этот оператор гомотопен в классе нетеровых операторов того же вида характеристическому бисингулярному оператору без сдвига

P + аР.ц + bPvm + cPv^(7)

(соответственно

Pv^ + аР. + ЬРхц + cP.)(8)

и его индекс вычисляется по формуле

Y 11 Y 21 ^ind 1 ^c • ^ind 2 c .

Доказательство. Операторы (3) и (4) являются частными случаями оператора (1), и при любых возможных значениях λ , ν , ω , μ условие (2) для операторов (3) и (4) состоит в том, что a, b, c, 1 — dd e GC(Г1 x Г2). Поэтому если мы сможем построить гомотопию d^ (0 < ^ < 3) в пространстве C(Г x Г2) от функции dq = d к функции d3 = 0, соблюдая условие 1 — d^d^ e GC(Г1 x Г2), то мы и получим искомые гомотопии операторов (3) и (4) к операторам без сдвига.

Из условия (5) следует, что dd e GC(Г x Г2), а так как функция dd инвариантна относительно сдвига α , то из условия (6) следует, что на самом деле оба ее частичных индекса равны 0. Тогда dd = exp(2u), где u e C(Г1 x Г2). Из очевидного равенства exp(2й) = exp(2u) и непрерывности u, й получаем й — u = nin, где n - целая постоянная, i2 =—1. Переходя к функциям со сдвигом а , получим u — й = nin, откуда n = 0 и й = u . Обозначим буквой r половину наименьшего значения |exp(2§u(t1,12))] при tj e Г, 12 e Г, § e [0;1]. Отметим, что r > 0. Тогда из (5) следует существование непрерывного пути из точки 1 в точку — r по комплексной плоскости, на котором нет значений функции dd = exp(2u) и точки 0. Пусть z = g(^) (0 < ^ < 1) - непрерывная параметризация этого пути, g(0) = 1, g(1) = — r . Для нее определена непрерывная ветвь комплексного квадратного корня w(^) = Vg(^) : (wО2 = g(5), w(0) =1 . Очевидно, w(^) Ф 0. Обозначим d ^ =

d w (ξ)

для о <  ^ <  1

и отметим, что для любого фиксированного ξ

1        7

1 — d ^ d ^

= 1 —

dd g (ξ)

g © — dd g(ξ)

e GC ( Г 1 x Г ₂ ) ,

, , , ~ dd exp(2 u ) d о = d , d 1 d 1 =      =             .

rr

Продолжим дальше:

d ^ = exp((1 — ^) u ) • d 1 для 1 <  ^ <  2 .

Поскольку й = u , то на этом участке гомотопии

1 — d£

r d^ = (3 — ^)d2 для 2 < ^ < 3.

И в этом случае также

1 - d ₂ d ₂ = 1 - (3 - 2) 2 d 2 d 2 = 1 + (--- ²)- e GC ( Г 1 хГ 2 ) ,

r причем dз = 0. Итак, нужная гомотопия d^ (0 < 2 < 3) построена.

Остается вычислить индекс операторов (7) и (8) по хорошо известной формуле индекса характеристического бисингулярного оператора без сдвига [5, теорема 5]. Если при этом учесть условия нетеровости [5, теорема 2], то получим формулу (9). Теорема доказана.

Рассмотрим один случай, сводящийся к теореме 1.

ТЕОРЕМА 2. Пусть оператор (3) (или (4)) нетеров в L p ( Г 1 х Г 2 ) и выполнены условия:

«Функция d антиинвариантна относительно сдвига а (т.е. d = — d )»,           (10)

«Хотя бы один частичный индекс функции 1 + d ² равен 0 ».                    (11)

Тогда этот оператор гомотопен в классе нетеровых операторов того же вида характеристическому бисингулярному оператору без сдвига (7) (соответственно (8)) и его индекс вычисляется по формуле (9).

Доказательство. При наличии теоремы 1 нам достаточно построить гомотопию dξ (0 < 2 < 2) в пространстве C(Г х Г2) от функции d0 = d к некоторой функции d2, удовлетворяющей условиям (5) и (6), соблюдая при этом, как и в доказательстве теоремы 1, условие 1 — d2d2 e GC(Г 1 х Г2). Для функции d это условие необходимо следует из нетерово-сти оператора (3) или (4) и может быть записано как 1 + d2 e GC(Г1 х Г2). Таким образом, существуют достаточно малые сегменты [±i; ± iR] (1 < R < V2) мнимой оси, на которых нет значений функции d . Подберем число h (> 0) по соотношению R1+h = V2 и введем семейство функций ф^ (0 < 2 < 1): ф2(r) = 1 при 0 < r < 1 и ф2(r) = rh2 при r > 1. Построим гомотопию d2 = d • ф2(| d |) (0 < 2 < 1).

Заметим, что d 2 =— d 2 и 1 — d 2 d 2 = 1 + d ² e GC ( Г 1 хГ ₂) . Кроме того, d 0 = d и значения функции d 1 не могут принадлежать сегментам [ ± i ; ± i V2] мнимой оси, а значения d ² - сегменту [ — 2; — 1] вещественной оси. Продолжим гомотопию:

d ₂ = (2 — 1) i + d 1 ( 1<2 <  2 ).

Здесь 1 — d ₂ d ₂ = 1 — ((2 — 1) i + d 1 )((2 — 1) i — d 1 ) = 1 + (2 — 1)² + d 1 ² e GC ( Г 1 хГ ₂) и значения функции d 2 d 2 = — 1 — d ^ не попадают на сегмент [0; 1] (таким образом, для d 2 выполнено условие (5)). Более того, функцию d 2 d 2 можно соединить в классе GC (Г х Г 2 ) с функцией 1 — d ₂ d ₂ гомотопией ( d ₂ d ₂ — n)exp( in п) ( 0 <  П <  1 )• Поэтому частичные индексы функций d ₂ d ₂ и 1 — d 0 d 0 = 1 + d ² одинаковы. Таким образом, функция d ₂ удовлетворяет условию (6). Теорема доказана.

Отметим, что в работе [7] при переходе от оператора (1) к оператору (3) были получены

к a VЦ a VЦ bVЦ b VЦ     ,  a VЦ bХю bVЦa Хю c = —---- ~ , d = —^-----^—,  а при переходе к (4) получены a Хю a vц — bХю bvц        a vц аХю — bvцbХю aXoaXю- ЬХюЬХю j  a Хю bvц — bХю a vц _        ,           _                 _ c =    ~--- ~  , d =---^------к—. При этом функция dd будет одна и та же. То- a vц аХю — b vц bХю      a Хю a vц — bХю b vц гда из теорем 1, 2 следует очевидное утверждение.

ТЕОРЕМА 3. Пусть оператор (1) нетеров в L р(Г1 хГ 2). Если функция удовлетворяет условиям (5), (6) либо условиям (10), (11), то в обоих

a vц b Хю b vц a Хю

к a vц аХю  bvц bХю случаях индекс оператора (1) можно вычислить как по формуле

так и по формуле

к                      к • , a VЦ a Vg   b VЦ b VЦ • J a VЦ VЦ b VЦ b VЦ Y 11 Y 21 ind 1     ~ _к к   ‘ ind 2     ~ _k к a Хю a vц — b Хю b vц       a Хю a vц — b Хю b vц к                      к Y y ind a Хю аХю Ь хю Ь хю • ind9 a Хю <1 Хю b Хю b Хю 11 21     1                               2 a vц ^^ Хю - b vц b Хю        a vц ^^ Хю - b vц b Хю

Выводы. Получены новые результаты, симметрично дополняющие результаты [7] до некоторой общей картины, а также их следствия с простыми условиями.