Вычисление рангов групп центральных единиц целочисленных групповых колец конечных групп
Автор: Алеев Рифхат Жалялович, Цыбина Наталья Андреевна
Рубрика: Вычислительная математика
Статья в выпуске: 1 т.4, 2015 года.
Бесплатный доступ
Изучение центральных единиц (центральных обратимых элементов) целочисленных групповых колец конечных групп почти всегда приводит к трудоемким вычислениям, как в случае нахождения отдельных центральных единиц, так и при описании групп центральных единиц. В силу того, что периодическая часть групп тривиальна (с точностью до знака это элементы центра группы), более интересно нахождение сведений о части без кручения,которая является прямым произведением бесконечных циклических групп. Число таких бесконечных прямых сомножителей - ранг группы центральных единиц. Поэтому ранги групп центральных единиц целочисленных групповых колец конечных групп - одна из важнейших характеристик таких групп. Поэтому вычисление рангов групп центральных единиц представляет большой интерес при изучении групп центральных единиц. В работе приведены формулы для вычисления рангов в общем случае и в нескольких важнейших частных случаях. На основании этих формул произведены вычисления рангов в достаточно широких диапазонах. Для вычислений использовалась система компьютерной алгебры GAP. Результаты вычислений показываются в таблицах и на графике.
Характер группы, центральная единица, ранг абелевой группы, система gap
Короткий адрес: https://sciup.org/147160558
IDR: 147160558 | УДК: 519.61+512.552.7 | DOI: 10.14529/cmse150107
The computation of ranks of unit groups of integral group rings of finite groups
The study of central units (central invertible elements) of integral group rings is encountered to difficult calculations almost everywhere, both in the case of finding of individual central unitand in the case of describing of group of central elements. By virtue of torsion part of centralunit group is trivial (up to sign those are elements of center group) it is more interesting to finddata about torsion free part that is direct product infinite cyclic groups. The number of suchinfinite factors is the rank of central unit group. Therefore the ranks of central unit groups ofintegral group rings of finite groups are the very important characteristic those groups. So thatthe computation ranks of central unit groups has big interest for study of central unit groups. Inthe paper we point out the formulas for computation of ranks in general case and some importantparticular cases. On the base of those formulas we compute the ranks in quite large ranges. Weused computer algebra system GAP. The results are shown on tables and graph.
Список литературы Вычисление рангов групп центральных единиц целочисленных групповых колец конечных групп
- Алеев, Р.Ж. Теория центральных единиц целочисленных групповых колец групп P SL2(2n)/Р.Ж. Алеев//Сб. научн. трудов «Комбинат. и вычислит. методы в матем.». -Омск: ОмГУ, 1999. -C. 1-19.
- Алеев, Р.Ж. Центральные единицы целочисленных групповых колец конечных групп: дисс.. д-ра физ.-мат. наук./Р.Ж. Алеев -Челябинск, 2000. -355 с.
- Алеев, Р.Ж. Теория групп центральных единиц целочисленных групповых колец групп Sz(q)/Р.Ж. Алеев, Н.Б. Ишечкина//Труды Института математики и механики УрО РАН. -2001. -Т.7, № 2. -С. 3-16.
- Алеев, Р.Ж. Теорема разложения и ранги групп центральных единиц целочисленных групповых колец групп P GL(2, q), q нечетно/Р.Ж. Алеев, О.В. Митина//Сибирские Электронные Математические Известия. -2008. -Т. 5. -С. 652-672.
- Алеев, Р.Ж. Ранги групп центральных единиц целочисленных групповых колец групп P SL(2, q), q нечетно/Р.Ж. Алеев, О.В. Перавина//Вестник ЧелГУ, сер. «Математика. Механика». -1999, № 1(4). -С. 5-15.
- Василенко, О.Н. Теоретико-числовые алгоритмы в криптографии./О.Н. Василенко -М.: МЦНМО, 2006. -336 с.
- Глухов, М.М. Введение в теоретико-числовые методы в криптографии./М.М. Глухов, И.А. Круглов, А.Б. Пичкур, А.В. Черемушкин -СПб.: Изд-во «Лань», 2011. -400 с.
- Кэртис, Ч. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр: Пер. с англ./Ч. Кэртис, И. Райнер -М.: Наука, 1969. -668 с.
- Шумакова, Е.О. Группы центральных единиц целочисленных групповых колец метациклических групп Фробениуса/Е.О. Шумакова//Сибирские Электронные Математические Известия. -2008. -Т. 5. -С. 691-698.
- Aleev, R. ˇZ. Higman’s central unit theory, units of integral group rings of finite cyclic groups and Fibonacci numbers/R. ˇZ. Aleev//Intern. Journ. Algebra and Computations. -1994. -Vol. 4. -P. 309-358.
- Ferraz, R. A. Simple components and central units in group rings/R.A. Ferraz//Journal of Algebra. -2004. -Vol. 279, No. 1. -P. 91-203.
- The GAP Group, GAP -Groups, Algorithms, and Programming, Version 4.7.4. -2014. URL: http://www.gap-system.org (дата обращения: 04.05.2014).
- Ritter, J. Trivial units in RG/J. Ritter, S.K. Sehgal//Mathematical Proceedings of the Royal Irish Academy. -2005. -Vol. 105A, No. 1. -P. 25-39.
- Sch¨onert, M. GAP -Groups, Algorithms, and Programming/M. Sch¨onert et al. -Lehrstuhl D f¨ur Mathematik, Rheinisch Westf¨alische Technische Hochschule, Aachen, Germany, sixth edition, 1997. URL: http://www.gap-system.org/Gap3 (дата обращения: 14.06.2012).
