Вычисление собственных чисел начально-краевых задач, заданных на конечных связанных квантовых графах с изменяющимися во времени ребрами

Интерес к решению спектральных задач, заданных на связанных квантовых графах, геометрические параметры которых меняются во времени, в последнее время возрастает [1–4]. Для построения математических моделей, в основе которых лежат спектральные задачи, часто требуется находить собственные числа дифференциальных операторов в частных производных, заданных на этих графах. В статьях [5–7] построены алгоритмы решения подобных задач, заданных на графах типа звезда. В них граничные условия позволяют найти решения в аналитическом виде. Для связанных графов, из-за граничных условий, нахождение аналитических решений спектральных задач связано с большими трудностями, даже когда количество ребер небольшое. Поэтому возникает необходимость в разработке алгоритмов решения этих задач с использованием ЭВМ.

В статье изложена методика решения спектральных задач, заданных на конечных связанных квантовых графах, геометрические параметры которых меняются во времени. По данной методике найдены собственные значения дискретного оператора, заданного на связном ориентированном трех-реберном квантовом графе с циклом и изменяющейся во времени геометрией. При этом использовались разработанные ранее методы численного решения прямых спектральных задач, заданных на квантовых графах с не изменяющейся геометрией [8]. Построенный в статье метод позволит распространить ранее полученную методику решения обратных спектральных задач, заданных на квантовых графах с постоянной геометрией, на графы с изменяющейся геометрией.

Рассмотрим связный ориентированный граф G = G(V, E). Обозначим через V = {Vi}i=1 множество вершин графа G, а через E = {Ej}j=1 - множество его ребер. Каждое ребро Ej графа G в начальный момент времени имеет длину lj > 0 и площадь поперечного сечения dj > 0. При этом дины ребер и их площади поперечного сечения могут изменяются во времени.

В дальнейшем нас будут интересовать два вида графов, когда для одного G o длины ребер и площадь их поперечного сечения постоянные и равны l j , d j сответственно, а для другого G t длины ребер L j и их площади поперечного сечения D j изменяются во времени по законам

L j = l j L(t) D ₃ = d j D(t) j j ,                         (1)

где L(t) и D(t} — дважды дифференцированные функции, такие, что длины и площади поперечных сечений ребер графа G t всегда остаются положительными в любые моменты времени и при этом граф не разрушается. Отметим, что для графа G _o L(t) = D(t) = 1.

В моменты времени t = t * , на множестве Г о = G o х (0,t * ), введем гильбертово пространство L ^2,1 ( r o ) со скалярным произведением

^{( g} , h ) l²¹ (Г о )

j ₀          t ∗ ^l j

= — dj^dj     g j (z,t)h j (z,t)dzdt,

t* j=1    0 о а на множестве rt. = Gt. х (0,t*) гильбертово пространство L2,1(rt.) со скалярным произведением j0 t*            Lj (t)

⁽ g , h ) L 2.1 ( r t * ) = t- £ У D j ⁽t) У g j ^(z,t)h j ^(z,t^)dzdt- j=1 0         0

Сужением функции u(z,t ) на ребра E j графа G обозначим через u _{E j} (z,t). Интеграл по графу G от функции u(z,t ) определим как сумму интегралов от сужений u _{E j} ( z, t ) по каждому ребру E j , т. е.

/ u(z,t)dz = ^£

G               j=1 E j

u _{E j} ( z, t ) dz.

1.    Спектральные задачи Рассмотрим методы вычисления собственных чисел начально-краевых задач за- данных, на связных квантовых графах Gt с изменяющейся во времени геометрией ребер, на примере вектор-оператора F = (Fi ,F2, -,Fjo^ параболического типа дФ  д2Ф    дФ

^FW = ~dt - д Х^ ⁺ P 1 "д Х ^{+ P} 0 ^{Ф ,} P i =      ^(x 1 ^,t),P i2 ⁽x 2 ^,t) ---dP ij o ⁽x j 0 ^{,t )}) ,   (2)

Ф = ^1 (X 1 ,t)/0 2 (x 2 ,i),...,^ j ₀ (X j ,t)) , Х = (^X i (t),X 2 (t), - - - ,Xj o (t)} , i = 0, 1

с областью определения D F = L ^2,1 ( r t ).

Для нахождения собственных чисел вектор-оператора F необходимо рассмотреть следующие спектральные задачи заданные на ребрах E j графа G t

∂ψ j ∂t

-

dx 2 ^{+ P 1 j (x j} ,t dx - ^{+ P o j (X j} ’t^ j ^j ,

x j ^ ^⁰’^LjJ , ^j 1,^j o ,

v п ^d^ k ^Dk^- E k E E ^a (V s )     ^dx k x k ^—0

^v _n^d^ m

D m

E m - E' (V s )      ^dx m

= 0, x m — L m

E i ,E k G E ^a (V s ), E m ,E h G E ^ш (V s ), i,k,m,h,s G N,

^ i (0, t) = ^ k (0, t) = ^ m (L m , t) = ^ h (L h , t), ^ 3 ⁽x j ’ ⁰⁾ = P⁽x j )•

Через E ^a (V s ) в (4) обозначено множество дуг с началом в вершине V s , а через E ^ш (V s ) – множество дуг с концом в вершине V _s . Условия (4) означают, что поток через каждую вершину должен равняться нулю, а (5) - что решение Ф = (^ 1 ,^ 2 , ••.,^ j ₀ ) в каждой вершине должно быть непрерывным. Функции входящие в (3) – (6) должны быть непрерывные и иметь соответствующие непрерывные частные производные на графе G _t .

Для вычисления собственных значений {pn}“—1 начально-краевых задач (3) - (6) перейдем к соответствующим задачам для графа с постоянной ребрами, сделав заме- ну переменных

{

x j

У з = т,

L j t 1 = t.

Выразим производные, входящие уравнение (3) по переменным xj , через производные по переменным yj и запишем граничные условия и начальное условие для (4) - (6) для графа Go, как это сделано в статьях [8]. В результате получим д^3 (Уз V) ∂t

1 d^jt) Г d-^ j 1 дФ зЗ ) L 2 dy ²    + L j lp ^{1j (}y j ’t) y j dt ,_ч +

+ P oj ⁽У з №3 ⁽У з ’t) = P^ j ⁽У з ’t), j = 1, j o ,

E

E k E E ^VVs)

d k ∂ψ k

l k dy k y k —o

d _m ∂ψ _m

E m — E ^ (V s ) l m ^dy m ^y m =l-.

= 0,

m

E i , E k G E ^a (V s ), E m ,E h G E ^ш (V s ), i,k,m,h,s G N,

^ i (0,t) = ^ k (0,t) = ^ m (l m ,t) = ^ h (l h ,t), ^ j ⁽У 3 ’ ⁰⁾ = ^(У з )•

Для нахождения собственных чисел { p n (t)}) — задач (8) - (11) воспользуемся методом, разработанным в статьях. Следуя ему, рассмотрим спектральную задачу для дискретного полуограниченного дифференциального оператора U , заданного в гильбертовом пространстве H

Uu = vu, Gu _г = 0.                            (12)

Построим последовательность { H n } “_—1 конечномерных пространств, которая будет полной в H . Если известны ортонормированные базисы { ^ _k } П_—1 пространств H n ^ H , удовлетворяющие граничным условия (12), то справедлива следующая теорема.

Теорема 1 . Приближенные собственные значения { A _n } “_—1 спектральной задачи (12) находятся по линейным формулам

V n = { U^ n ,ф _п) + 6 _п , n G N,                         (13)

_     n—1

где G = £ [V _k (n — 1) — P _k (n)], V _k (n) - n-е приближение по Галеркину к соответству- k —1

ющим значениям v _k спектральной задачи (12). При этом lim \ 6 _n \ = 0. n →∞

Использование теоремы 1 для вычисления ^ _n (t) требует найти заданные на графе G t ортонормированные системы функций { “ jk (y j ,t) } n₌₁ , которые удовлетворят граничным условиям (9) - (10) и являются базисами пространств H _n Е G t .

Если такие системы функций известны { Q _n } “=₁ , Q _n = (“ _{1 n} , w _2n , • • •, “ j ₀ ,_n ), то приближенные собственные значения I n оператора F в момент времени t * находятся по формулам

~

j 0

t , l j

j =1   0 0

+ Vn (t*) = £ dj j ] [ djjL -    djjtl j=i 0 о L dt

j d-y.'^d j \ ^d^ ^{jn (}y ^j , t

+ L j (t) p j ⁽y j ’t y j dt )   dy j

j)   ■'

+

~

"I" ^p0j ^(y j , ^t)“ jn ^(y j ’ t) “ jn ^(y j ’ ^t)dy j ^dt + ^d n ^(t * ⁾⁾‘

Отсюда

MQ- £ dj И {   , .

j=1   0 0 ^{1 dt}

+

1 d ² U jn (y j , t) j )  dy j

L j (_t) p j ⁽y j ’t^y ,t ^- y j

dL j (t) I d^ jn (y j ,t)

+P 0j (y j ,t)“ jn

~   ^dyj    ⁺

(y j ,t) \u jn (y j ,t)dy j dt + d _n (t * ), t * Е R

dt

- +•

Используя формулы (15), можно вычислять приближенные значения собственных чисел дискретных полуограниченных операторов, заданных на графах G t с необходимыми порядковыми номерами в необходимые моменты времени. Формулы, по которым находятся собственные числа начально-краевых задач, заданных на квантовых графах G _t , с изменяющейся во времени геометрией ребер для вектор-операторов гиперболического типа, находятся аналогично, по приведенной выше методике. Полученные формулы (14) позволяют применять разработанную ранее методику решения обратных спектральных задач на графах с неизменной геометрией к обратным спектральных задачам на квантовых графах G t с изменяющейся геометрией.

2.    Вычислительные эксперименты

Для иллюстрации методики вычисления собственных значений дифференциального оператора F рассмотрим связный ориентированный трех-реберный j ₀ — 3 квантовый граф с циклом G ₃ и множеством вершин V ₃ — { V i } ³=_{1 ;} множеством дуг Е з = { E j } j=i . Вычислим собственные числа вектор-оператора F , заданного на графе G 3 , используя формулы (14).

Для этого надо найти системы функций {Qn}“=1 рассмотрев начально-краевые задачи

9^ ⁽y j ’t)   9² “ j ⁽y j ’t)

∂t

“ 1 (l 1 ,t) = d“ 1 (y 1 ,t)

^dy j

-0, y j Е (0,l j ), j -1, 3,

“ 2 ^(0,t) = “ 3 ^(l 3 ^,t)’ “ 2 ^(l 2 St) = ^ 3 ^(0,t),

-------------------------------1

dy 1

9^ 1 (y 1 ,t) q1—«— dy 1

y 1 =0

= ⁰, q 2

du 2 (y 2 ,t)

dy 2

Здесь q j

d j l j ^.

.    0^ 2 (y 2 ,t)

^{+ q} 2 a---- y i =l 1            dy 2

“ j ⁽y j ’ ⁰⁾ =

У 2 =l 2

= q 3

dU 3 (y 3 ,f)

dy 3

y 2 =0

^ф(У j )•

d“ 3 (y 3 ,t) q 3 —л— dy 3

,

У 3 =0

= 0, y 3 = l 3

Решение задач (15) – (18) ищем с помощью метода разделения переменных, полагая uj = Yj (yj )Tj (t).                                      (20)

Подставляя (19) в (15), найдем d^Y(y~)                  dT(t)

-j+ + ^A 2 Y (y j ) = o. j + ^^T , (t) = o-

dy _j                        dt

dY i (y i ) dy 1	-0 a d^^ = 0, q 2 J y 1 =0             dy 2		dY 3 (y 3 ) = q3 ; y 2 = l 2          dy 3	, y 3 =0
dY i (y i ) q 1 dy 1		dY 2 (y 2) + q 2 y 1 = l 1           dy 2     y 2	dYzfa) „ q3 =0         dy 3 y 3	=0 l 3

Используя (20), (19), (16) и (17), получим краевые задачи для нахождения функ-

ций Y j (y i )

j ) + A 2 Y (y j )=0,                    (22) Y i (l i ) = Y 2 (0) = Y 3 (l 3 ), Y 2 (l 2 ) = Y 3 (0),                        (23)

Нетривиальные решения дифференциальных уравнений (21) имеют вид

Yj(y j ) = C ji sin(Ay j ) + C j 2 cos(Ay j ), j = 1,3.                    (25)

Подставляя (24) в граничные условия (22), (23), получим систему уравнений для нахождения постоянных C j 1 и C j 2 :

(                           C 11 = 0,

C 22 — C 12 sin(Al i ) = 0,

C 12 ^cos(Al 1 ) - C 3i Sⁱⁿ⁽Al 3 ⁾ - C 32 COS⁽Al 3 ⁾ = ⁰.

C 32 - C 21 sin(Al 2 ) — C 22 cos(Al 2 ) = 0, q 3 C 31 — q 2 [C 21 ^COs(Al 2 ) + C 22 ^sin(Al 2 ^)] = ^0, <  q i C 12 ^sin(Al 1 ) + q 2 C 21 ^— q 3 ^[C 31 ^cos(Al 3 ) ^{— C} 32 ^sin(Al 3 ^)] = ⁰-

Преобразовывая уравнения из (25), путем исключения неизвестных, получим следующие трансцендентное уравнение для нахождения собственных значений λ краевых задач (21) – (23) заданных квантовом графе G ₃ :

q 1 q ₂ sin(Al 1 ) cos(Al ₂ ) sin(Al ₃ ) + q 1 q ₃ sin(Al 1 ) sin(Al ₂ ) cos(Al ₃ ) +

+ q 2 cos(Al 1 ) sin(Al ₂ ) sin(Al ₃ ) + q j cos(Al 1 ) sin(Al ₂ ) sin(Al ₃ )+             (27)

+ 2q ₂ q ₃ [cos(Al 1 ) — cos(Al 1 ) cos(Al ₂ ) cos(Al ₃ )] = 0.

Обозначим через { A k }^ 1 собственные значения краевых задач (21) - (23), занумерованные в порядке не убывания их величин. Собственные значения λ k и соответствующие им собственные функции Yjk (y j ) вещественные.

Найденные C ji (j = 1, 3, i = 1, 2) не выписаны из-за громоздкости их выражений. При этом надо отметить, что при большом числе ребер графа получить аналитические решения таких систем в ручную трудно. Поэтому написана программа в среде математического пакета Maple позволяющая записать подобные системы и найти их аналитические решения.

Общее решение второго уравнения (20), которое соответствует значению собственного числа λ k имеет вид

T jk = a k e ^X k t -

Коэффициенты an находятся по формулам l j0 j ak

^

Ф(У j )Y jk (y j )dy j , k ^ N.

j=1 0

И так были найдены функции

^ jk ^(y j , t)    T jk ^(t'^)Y jk ^(y j )     a k e

^A k t [C ji sin(A k y j ) + C j 2 cos(A k y j )], j = 1,3,     (28)

удовлетворяющие уравнениям (15) граничным и начальным условиям (16) – (18).

Составим из этих функций систему { Q _n } “₌₁

{ ^ n ^} n=1 — |( ^w 1n ^,^ 2n ^,^ 3n)}     .

n =1

При подстановки функций ω jn из (28) в формулы (14), получим

Ус ГЛ ¹ A ^{d 2} - jn 'y j , t) ^Д“^М  £ ^d j 00{ I¹   L2(t))   dy j   ⁺

+

L j (_t) p j ⁽y j ^(y j ^{,t) -} y j

dL j (t) I d j (y j ,t)

+P 0j (y j ,t)U jn

>                   _   ^dyj     ⁺

(y j ,t) \u jn (y j ,t)dy j dt + $ n (t * ), t * G R

dt

+ ^.

На основе (27) и (29) проведены многочисленные вычислительные эксперименты по нахождению приближенных значений первых No, собственных чисел {fi-n}N= 1 оператора F, заданного на трех-реберном графе с циклом G3 и переменными ребрами. Для проверки вычислений, проведенных по формулам (29), использовался метод Га-леркина. Приближенные собственные числа оператора F, найденные методом Галер-кина, обозначим через ft. В вычислениях параметры моделирования были выбраны следующие:

1 1 — 0, 8; 1 2 — 1,1; 1 3 — 0, 6;   d 1 — 0, 3; d ₂ — 0, 5;   d ₃ — 0, 9;

L(t') = a 1 + b 1 cos(w 1 t); a 1 = 1, 3;   b 1 = 1, 2;   Ш 1 — n/2;

D(t) — a 2 + b 2 sin^t); a 2 — 0, 5;  b 2 — 0, 2;  ^ 2 — n/7;

P 11 — (y 2 + 5y i - 1)cos(t ² + 3);  p i2 — (y 2 + 6y 2 + 1)sin(t + 4);         (31)

P 13 — (y 2 + 3 у з - 1) sin(t ² + 5t - 9);

p 01 = 2(y ₁ ² + 5y 1 - 1) sin(2t ² + 3); p 02 = (3y ₂ ² + 6y 2 - 1) cos(3t + 2);

Р оз — (4y 2 + 3у з - 1) cos(4t ² + 4t - 5).

В таблице приведены результаты вычисления первых собственных чисел в момент времени t * — 5.

Таблица

Результаты вычислений первых собственных чисел { Д _п } П=1 в момент времени t _* = 5

n	f n	fin	1 ~            z\ If n - f n
1	- 3 , 844	- 2 , 848	0 , 996
2	- 5 , 895	- 5 , 035	0 , 860
3	- 10 , 062	- 9 , 157	0 , 905
4	- 14 , 058	- 14 , 021	0 , 037
5	- 22 , 399	- 20 , 100	2 , 299
6	- 34 , 320	- 36 , 742	2 , 422

Проведенные исследования показали хорошую вычислительную эффективность разработанной методики нахождения собственных чисел дифференциальных операторов в частных производных, заданных на графах с меняющимися во времени ребрами.

Заключение

В статье предложена методика нахождения приближенных значений собственных чисел дискретных полуограниченных операторов, заданных на связанных с переменными ребрами графах. Формулы (30) позволяют в дальнейшем, используя теорию решения обратных спектральных задач на квантовых графах с неподвижными ребрами [8], разработать методику решения обратных спектральных заданных на квантовых графах с подвижными ребрами.