Вычислительные аспекты формирования универсальных таблиц коэффициентов важности критериев

Автор: Пиявский С.А.

Журнал: Онтология проектирования @ontology-of-designing

Рубрика: Методы и технологии принятия решений

Статья в выпуске: 3 (25) т.7, 2017 года.

Бесплатный доступ

Автором ранее был предложен подход, позволяющий повысить обоснованность и снизить трудоёмкость принятия решений в условиях многокритериального сравнения альтернатив. Метод основан на использовании заранее рассчитанных универсальных таблиц весовых коэффициентов линейной свёртки критериев. Универсальная таблица содержит 2 n-1 строк, где n - число критериев. Каждая строка таблицы отвечает уникальному возможному распределению критериев между группами важности. При большом числе критериев вычислительная сложность такого подхода настолько велика, что требуется значительное время для получения результата. В настоящей статье предложены способы, позволяющие уменьшить трудоёмкость расчёта одной таблицы в 2 n-1 раз. Это достигается использованием обнаруженного «краевого эффекта», который проявляется в повторяемости ряда коэффициентов в различных строках таблицы. Благодаря этому может быть сформирована система линейных алгебраических уравнений, переменными которой являются искомые значения коэффициентов. Система легко решается численными методами. Предложенный подход существенно облегчает построение универсальных таблиц для достаточно большого (несколько десятков) числа критериев и уменьшает потребный объём памяти систем поддержки принятия решений. Он также позволяет глубже осмыслить рациональную основу понятия «важнее», используемого во всех областях человеческой деятельности.

Еще

Принятие решений, многокритериальный выбор, универсальные коэффициенты важности, краевой эффект

Короткий адрес: https://sciup.org/170178757

IDR: 170178757 | DOI: 10.18287/2223-9537-2017-7-3-284-295

Текст научной статьи Вычислительные аспекты формирования универсальных таблиц коэффициентов важности критериев

Ключевым элементом принятия решений на рациональной основе является многокритериальное сравнение альтернатив, для которого предложены многообразные методы (например, [1-10]). При этом чаще всего, ввиду простоты её понимания лицом, принимающим решение (ЛПР), чаще всего используется линейная свёртка нормированных значений частных критериев. Она позволяет использовать при сравнении альтернатив вместо вектора m частных критериев f=(f 1, f 2,…, f m) скалярный комплексный критерий mm

(1) F ( f ) = E Xf¹ , j = 1,..., m, x - 0, E x j = 1.

j = i j = i

В (1) x1,x2,…,xm - вектор количественных весовых коэффициентов, отражающих сравнительную важность для ЛПР различных аспектов сравнения альтернатив. При этом открытым остаётся вопрос – как оценить эту важность количественно? Мы полагаем, что ни ЛПР, ни привлекаемые эксперты не в состоянии это сделать напрямую, потому что «..жених не в состоянии достаточно уверенно определить, что красота невесты в 2,354 раза важнее для него, чем её ум» [1]. Он может достаточно уверенно решить про себя, что красота «важнее» или «намного важнее», но не более того, то есть отнести различные частные критерии к соответствующим группам важности.

В [1] предложен подход, позволяющий создать достаточно понятную универсальную шкалу, которая определяет численные значения весовых коэффициентов, отвечающие различным степеням понятия «важнее». Эта шкала зависит не от конкретной задачи, в которой используется, а лишь от количества частных критериев и того, как они распределены по различным группам важности. Для построения таблиц таких универсальных коэффициентов важности необходимо для конкретного количества критериев перечислить все уникальные варианты их распределения по возможным группам важности и для каждого варианта рассчитать значения коэффициентов. Для примера в таблице 1 показана универсальная таблица, рассчитанная в [1, фрагмент таблицы 8] для числа частных критериев, равного пяти.

Таблица 1 – Универсальные коэффициенты важности критериев для задач принятия решений с пятью критериями (рассчитаны приближенно)

Номер цепочки	Цепочка (количество критериев в каждой группе важности)					Универсальные значения коэффициентов важности критериев
	Группа важности критериев					Группа важности критериев
	В1	В2	В3	В4	В5	В1	В2	В3	В4	В5
1.	1	1	1	1	1	0,038	0,087	0,154	0,256	0,464
2.	1	1	1	2		0,038	0,087	0,153	0,361
3.	1	1	2	1		0,038	0,087	0,205	0,464
4.	1	1	3			0,038	0,085	0,292
5.	1	2	1	1		0,038	0,121	0,255	0,466
6.	1	2	2			0,038	0,121	0,361
7.	1	3	1			0,038	0,165	0,466
8.	1	4				0,037	0,238
9.	2	1	1	1		0,064	0,155	0,254	0,464
10.	2	1	2			0,063	0,153	0,361
11.	2	2	1			0,063	0,204	0,467
12.	2	3				0,062	0,292
13.	3	1	1			0,093	0,254	0,465
14.	3	2				0,094	0,359
15.	4	1				0,135	0,46
16.	5					0,2

Для каждой строки таблицы 1 назовём цепочкой количество критериев, приходящихся в данной строке на каждую группу важности. Взгляд на таблицу 1 позволяет заметить её интересную особенность: в разных цепочках одинаковым крайним (в начале и конце) фрагментам цепочки отвечают одинаковые значения универсальных коэффициентов важности. Так, при фрагменте «1,2», расположенном в начале цепочек 5 и 6, отвечающие ему коэффициенты важности всегда равны 0,038 и 0,121, а при расположении этого фрагмента в конце цепочек 2 и 10 отвечающие ему коэффициенты важности всегда равны 0,153 и 0,361. Заметим, что, как показано в [1], в то же время отвечающие такому же фрагменту коэффициенты важности при другом общем числе критериев, конечно, иные: так, при шести критериях они в начале соответствующих цепочек равны 0,026 и 0,079 а в конце цепочек -0,155 и 0,330. Назовём эту особенность краевым эффектом цепочек и используем её для вычисления таблицы универсальных коэффициентов важности критериев.

1 Маска универсальной таблицы

Для наглядности будем вести дальнейшие рассмотрения на примере универсальной таблицы для пяти критериев, показанной в таблице 1.

Введём понятие маски универсальной таблицы. Каждому количеству частных критериев отвечает своя универсальная таблица и соответственно своя маска. Она строится по формату таблицы 1 на основе перечня уникальных цепочек критериев, где вместо подлежащего расчёту значения коэффициента важности проставлено наименование соответствующей переменной. При этом с учётом краевого эффекта цепочек, одинаковым или близким значениям коэффициентов важности отвечает одна и та же переменная. Маска для пяти критериев показана в таблице 2. В ней не повторяются только четыре переменные, выделенные фоном. Этот факт является, по-видимому, закономерным при любом числе критериев большем двух, о чём свидетельствуют маски для других чисел критериев, приведённые в таблицах 3–6.

Таблица 2 – Маска универсальной таблицы для пяти критериев

Номер цепочки	Цепочка					Наименования переменных
	Группа важности критериев					Группа важности критериев
	В1	В2	В3	В4	В5	В1	В2	В3	В4	В5
1.	1	1	1	1	1	x1	x4	x7	x9	x8
2.	1	1	1	2		x1	x4	x7	x11
3.	1	1	2	1		x1	x4	x10	x8
4.	1	1	3			x1	x4	x12
5.	1	2	1	1		x1	x5	x9	x8
6.	1	2	2			x1	x5	x11
7.	1	3	1			x1	x15	x8
8.	1	4				x1	x16
9.	2	1	1	1		x2	x6	x9	x8
10.	2	1	2			x2	x6	x11
11.	2	2	1			x2	x10	x8
12.	2	3				x2	x12
13.	3	1	1			x3	x9	x8
14.	3	2				x3	x11
15.	4	1				x13	x8
16.	5					x14

Таблица 3 – Маска универсальной таблицы для двух критериев

Номер цепочки	Цепочка		Наименования переменных
	Группа важности критериев		Группа важности критериев
	В1	В2	В1	В2
1.	1	1	x1	x2
2.	2		x3

Таблица 4 – Маска универсальной таблицы для трех критериев

Номер цепочки	Цепочка			Наименования переменных
	Группа важности критериев			Группа важности критериев
	В1	В2	В3	В1	В2	В3
1.	1	1	1	x1	x3	x2
2.	1	2		x1	x4
3.	2	1		x5	x2
4.	3			x6

Таблица 5 – Маска универсальной таблицы для четырех критериев

Номер цепочки	Цепочка				Наименования переменных
	Группа важности критериев				Группа важности критериев
	B1	B2	B3	B4	B1	B2	B3	B4
1.	1	1	1	1	x1	x3	x6	x4
2.	1	1	2		x1	x3	x5
3.	1	2	1		x1	x9	x4
4.	1	3			x1	x10
5.	2	1	1		x2	x6	x4
6.	2	2			x2	x5
7.	3	1			x7	x4
8.	4				x8

Таблица 6 – Маска универсальной таблицы для шести критериев

Номер цепочки	Цепочка						Наименования переменных
	Группа важности критериев						Группа важности критериев
	B1	B2	B3	B4	В5	В6	B1	B2	B3	B4	В5	В6
1	1	1	1	1	1	1	x1	x5	x11	x15	x18	x16
2	1	1	1	1	2		x1	x5	x11	x15	x17
3	1	1	1	2	1		x1	x5	x11	x19	x16
4	1	1	1	3			x1	x5	x11	x20
5	1	1	2	1	1		x1	x5	x12	x18	x16
6	1	1	2	2			x1	x5	x12	x17
7	1	1	3	1			x1	x5	x22	x16
8	1	1	4				x1	x5	x21
9	1	2	1	1	1		x1	x6	x13	x18	x16
10	1	2	1	2			x1	x6	x13	x17
11	1	2	2	1			x1	x6	x19	x16
12	1	2	3				x1	x6	x20
13	1	3	1	1			x1	x7	x18	x16
14	1	3	2				x1	x7	x17
15	1	4	1				x1	x25	x16
16	1	5					x1	x26
17	2	1	1	1	1		x2	x8	x14	x18	x16
18	2	1	1	2			x2	x8	x14	x17
19	2	1	2	1			x2	x8	x19	x16
20	2	1	3				x2	x8	x20
21	2	2	1	1			x2	x9	x18	x16
22	2	2	2				x2	x9	x17
23	2	3	1				x2	x22	x16
24	2	4					x2	x21
25	3	1	1	1			x3	x10	x18	x16
26	3	1	2				x3	x10	x17
27	3	2	1				x3	x19	x16
28	3	3					x3	x20
29	4	1	1				x4	x18	x16
30	4	2					x4	x17
31	5	1					x23	x16
32	6						x24

2 Система линейных уравнений для построения универсальной таблицы

Маска определяет систему линейных уравнений, которой должны удовлетворять универсальные коэффициенты важности критериев. Каждой цепочке отвечает своё уравнение. Его левая часть формируется путём умножения элементов цепочки на соответствующие им переменные из правой части таблицы. Правая часть каждого уравнения равна единице. Так, уравнение, отвечающее цепочке с номером 5, имеет вид

(2) x 1 + 2 x ₅ + x₉ + x ₈ = 1.

Система уравнений позволяет определить коэффициенты важности универсальной таблицы в несколько шагов.

Шаг 1. Любым численным методом, предложенным в [1], определяются коэффициенты важности критериев для одной единственной цепочки с номером 1. Выбор именно этой цепочки обусловлен тем, что она содержит наибольшее число переменных. Назовём их задающими коэффициентами.

Шаг 2. Отвечающие задающим коэффициентам значения переменных подставляются в остальные уравнения.

Шаг 3. Из уравнений, в которые после предыдущего шага входит только по одной переменной, определяются их значения. Если ещё не все переменные вычислены, повторяется шаг 2.

Структура системы уравнений такова, что этот простой алгоритм, по-видимому, позволяет полностью решить задачу. Строгое обоснование его достаточности нет смысла искать: если в каком-либо случае он не сработает, просто придётся задуматься о другом алгоритме.

Приведём результаты его использования при расчёте универсальных таблиц для пяти и шести критериев. Их приближено рассчитанные варианты приведены в [1], поэтому появится возможность оценить величину допущенной там погрешности.

Для пяти критериев на первом шаге методом полного перебора (9479319 итераций) были рассчитаны значения первых пяти переменных, приведённые в таблице 7. На втором шаге к ним добавились значения ещё девяти переменных, затем ещё одной и ещё одной, после чего таблица оказалась полностью сформированной (таблица 8).

Для шести критериев на первом шаге методом полного перебора (1229120 итераций) были рассчитаны значения шести переменных, приведённые в таблице 9, затем по шагам последовательно ещё двенадцати затем трёх, затем четырёх и затем ещё одной, после чего таблица оказалась сформированной полностью (таблица 10).

Таблица 7 - Результаты первого шага алгоритма (задающие коэффициенты)

при расчёте универсальной таблицы для пяти критериев

Переменные	Коэффициенты
Х1	0,039406
Х4	0,088971
Х7	0,155469
Х9	0,255837
Х8	0,460317

Таблица 8 – Универсальная таблица для пяти критериев (уточнённый вариант)

Номер цепочки	Цепочка					Универсальные значения коэффициентов важности критериев
	Группа важности критериев					Группа важности критериев
	В1	В2	В3	В4	В5	В1	В2	В3	В4	В5
1.	1	1	1	1	1	0,039	0,089	0,155	0,256	0,460
2.	1	1	1	2		0,039	0,089	0,155	0,358
3.	1	1	2	1		0,039	0,089	0,206	0,460
4.	1	1	3			0,039	0,089	0,291
5.	1	2	1	1		0,039	0,122	0,256	0,460
6.	1	2	2			0,039	0,122	0,358
7.	1	3	1			0,039	0,167	0,460
8.	1	4				0,039	0,240
9.	2	1	1	1		0,064	0,155	0,256	0,460
10.	2	1	2			0,064	0,155	0,358
11.	2	2	1			0,064	0,206	0,460
12.	2	3				0,064	0,291
13.	3	1	1			0,095	0,256	0,460
14.	3	2				0,095	0,358
15.	4	1				0,135	0,460
16.	5					0,200

Таблица 9 - Результаты первого шага алгоритма (задающие коэффициенты) при расчёте универсальной таблицы для шести критериев

Переменные	Коэффициенты
Х1	0,026450
Х5	0,058816
Х11	0,100071
Х15	0,156145
Х18	0,241884
Х16	0,416633

Таблица 10 – Универсальная таблица для шести критериев (уточнённый вариант)

Номер цепочки	Цепочка						Универсальные значения коэффициентов важности критериев
	Группа важности критериев						Группа важности критериев
	B1	B2	B3	B4	В5	В6	B1	B2	B3	B4	В5	В6
1	1	1	1	1	1	1	0,026	0,059	0,100	0,156	0,242	0,417
2	1	1	1	1	2		0,026	0,059	0,100	0,156	0,329
3	1	1	1	2	1		0,026	0,059	0,100	0,199	0,417
4	1	1	1	3			0,026	0,059	0,100	0,272
5	1	1	2	1	1		0,026	0,059	0,128	0,242	0,417
6	1	1	2	2			0,026	0,059	0,128	0,329
7	1	1	3	1			0,026	0,059	0,166	0,417
8	1	1	4				0,026	0,059	0,229
9	1	2	1	1	1		0,026	0,079	0,156	0,242	0,417
10	1	2	1	2			0,026	0,079	0,156	0,329
11	1	2	2	1			0,026	0,079	0,199	0,417
12	1	2	3				0,026	0,079	0,272
13	1	3	1	1			0,026	0,105	0,242	0,417
14	1	3	2				0,026	0,105	0,329
15	1	4	1				0,026	0,139	0,417
16	1	5					0,026	0,195
17	2	1	1	1	1		0,043	0,100	0,156	0,242	0,417
18	2	1	1	2			0,043	0,100	0,156	0,329

Продолжение таблицы 10

Номер цепочки	Цепочка						Универсальные значения коэффициентов важности критериев
	Группа важности критериев						Группа важности крите				риев
	B1	B2	B3	B4	В5	В6	B1	B2	B3	B4	В5	В6
19	2	1	2	1			0,043	0,100	0,199	0,417
20	2	1	3				0,043	0,100	0,272
21	2	2	1	1			0,043	0,128	0,242	0,417
22	2	2	2				0,043	0,128	0,329
23	2	3	1				0,043	0,166	0,417
24	2	4					0,043	0,229
25	3	1	1	1			0,062	0,156	0,242	0,417
26	3	1	2				0,062	0,156	0,329
27	3	2	1				0,062	0,199	0,417
28	3	3					0,062	0,272
29	4	1	1				0,085	0,242	0,417
30	4	2					0,085	0,329
31	5	1					0,117	0,417
32	6						0,167

3 «Нумерологический» подход

Таким образом, для построения универсальной таблицы алгоритмическим путём необходимо знать значения задающих коэффициентов для первой строки этой таблицы. Предложим подход, который мы назвали «нумерологическим», позволяющий и для этой строки предложить теоретически вычисляемые значения задающих коэффициентов. Рассмотрим таблицу 11 значений этих коэффициентов, составленную из соответствующих строк таблицы 6 из [1], содержащей их строго математически обоснованные точные значения для двух, трёх и четырёх критериев. В таблице 11 значения коэффициентов важности в каждой строке приведены к общему знаменателю. Представим их как простейшие формулы для вычисления значений задающих коэффициентов, состоящие из числителя и знаменателя.

Таблица 11 – Точные формулы для расчёта универсальных коэффициентов важности последовательно возрастающих по важности критериев

Количество критериев	Количество критериев в каждой группе важности				Универсальные значения коэффициентов важности критериев
	Группа важности критериев				Группа важности критериев
	В1	В2	В3	В4	В1	В2	В3	В4
2	1	1			1/4	3/4
3	1	1	1		2/18	5/18	11/18
4	1	1	1	1	3/48	7/48	13/48	25/48

Можно заметить, что в таблице 11 значения коэффициентов важности критериев подчиняются определённой закономерности. Обобщим её следующим образом (т.н. нумерологическая гипотеза). Для строки, отвечающей количеству критериев n :

■ общий знаменатель вычисляется по формуле n ²( n - 1);
■ числитель в первом столбце равен ( n - 1);
■ числители остальных чисел в строке, кроме последнего ненулевого числа, равны числителям чисел, стоящих в таблице 11 непосредственно над ними, к которым добавлено число 2;
■ числитель последнего ненулевого числа в строке равен разности n ²( n - 1) и суммы числителей всех остальных чисел в строке.

Используя нумерологическую гипотезу, можно последовательно строить любое количество универсальных таблиц. Эта гипотеза превратилась бы в теорему, если бы удалось теоретически вывести её соотношения из геометрических построений в n -мерном пространстве критериев, как это показано для двух, трёх и четырёх критериев в [1]. Пока же можно проверить допустимость гипотезы, сравнивая универсальные таблицы, построенные на её основе, с таблицами, для которых задающие коэффициенты вычислены статистическим путём.

В таблице 12 показаны значения числителя и знаменателя простейших формул для вычисления задающих коэффициентов, рассчитанные с помощью нумерологического подхода для числа критериев от двух до десяти. Вычисленные значения самих задающих коэффициентов приведены в таблице 13.

Таблица 12 – Значения числителя и знаменателя задающих коэффициентов

Количество критериев	Знаменатель формулы	Числитель формулы
		Группа важности критерия
		В1	В2	В3	В4	В5	В6	В7	В8	В9	В10
2	4	1	3
3	18	2	5	11
4	48	3	7	13	25
5	100	4	9	15	27	45
6	180	5	11	17	29	47	71
7	294	6	13	19	31	49	73	103
8	448	7	15	21	33	51	75	105	141
9	648	8	17	23	35	53	77	107	143	185
10	900	9	19	25	37	55	79	109	145	187	235

Таблица 13 – Значения задающих коэффициентов

Кол-во критериев	Числитель формулы
	Группа важности критерия
	В1	В2	В3	В4	В5	В6	В7	В8	В9	В10
2	0,2500	0,7500
3	0,1111	0,2778	0,6111
4	0,0625	0,1458	0,2708	0,5208
5	0,0400	0,0900	0,1500	0,2700	0,4500
6	0,0278	0,0611	0,0944	0,1611	0,2611	0,3944
7	0,0204	0,0442	0,0646	0,1054	0,1667	0,2483	0,3503
8	0,0156	0,0335	0,0469	0,0737	0,1138	0,1674	0,2344	0,3147
9	0,0123	0,0262	0,0355	0,0540	0,0818	0,1188	0,1651	0,2207	0,2855
10	0,0100	0,0211	0,0278	0,0411	0,0611	0,0878	0,1211	0,1611	0,2078	0,2611

В таблицах 14, 15 приведены соответствующие результаты. Относительное отклонение значений не превышает нескольких процентов и, по нашему мнению, связано с ограниченным числом испытаний и несовершенством датчика случайных чисел. В дальнейшем мы намерены уменьшать влияние этих факторов с тем, чтобы повысить уверенность в приемлемости нумерологической гипотезы. Однако, в таких «расплывчатых» задачах как многокритериальное сравнение альтернатив, отклонение в значениях коэффициентов важности критериев в несколько процентов не является значимым.

Таблица 14 – Точная универсальная таблица для пяти критериев (рассчитана по нумерологической гипотезе)

Номер цепочки	Цепочка (количество критериев в каждой группе важности)					Универсальные значения коэффициентов важности критериев
	Группа важности критериев					Группа важности критериев
	В1	В2	В3	В4	В5	В1	В2	В3	В4	В5
1.	1	1	1	1	1	0,040	0,090	0,150	0,270	0,450
2.	1	1	1	2		0,040	0,090	0,150	0,360
3.	1	1	2	1		0,040	0,090	0,210	0,450
4.	1	1	3			0,040	0,090	0,290
5.	1	2	1	1		0,040	0,120	0,270	0,450
6.	1	2	2			0,040	0,120	0,360
7.	1	3	1			0,040	0,170	0,450
8.	1	4				0,040	0,240
9.	2	1	1	1		0,065	0,150	0,270	0,450
10.	2	1	2			0,065	0,150	0,360
11.	2	2	1			0,065	0,210	0,450
12.	2	3				0,065	0,290
13.	3	1	1			0,093	0,270	0,450
14.	3	2				0,093	0,360
15.	4	1				0,138	0,450
16.	5					0,200

Таблица 15 – Точная универсальная таблица для шести критериев (рассчитана по нумерологической гипотезе)

Номер цепочки	Цепочка						Универсальные значения коэффициентов важности критериев
	Группа важности критериев						Группа важности критериев
	B1	B2	B3	B4	В5	В6	B1	B2	B3	B4	В5	В6
1	1	1	1	1	1	1	0,028	0,061	0,094	0,161	0,261	0,394
2	1	1	1	1	2		0,028	0,061	0,094	0,161	0,328
3	1	1	1	2	1		0,028	0,061	0,094	0,211	0,394
4	1	1	1	3			0,028	0,061	0,094	0,272
5	1	1	2	1	1		0,028	0,061	0,128	0,261	0,394
6	1	1	2	2			0,028	0,061	0,128	0,328
7	1	1	3	1			0,028	0,061	0,172	0,394
8	1	1	4				0,028	0,061	0,228
9	1	2	1	1	1		0,028	0,078	0,161	0,261	0,394
10	1	2	1	2			0,028	0,078	0,161	0,328
11	1	2	2	1			0,028	0,078	0,211	0,394
12	1	2	3				0,028	0,078	0,272
13	1	3	1	1			0,028	0,106	0,261	0,394
14	1	3	2				0,028	0,106	0,328
15	1	4	1				0,028	0,144	0,394
16	1	5					0,028	0,194
17	2	1	1	1	1		0,044	0,094	0,161	0,261	0,394
18	2	1	1	2			0,044	0,094	0,161	0,328
19	2	1	2	1			0,044	0,094	0,211	0,394
20	2	1	3				0,044	0,094	0,272
21	2	2	1	1			0,044	0,128	0,261	0,394
22	2	2	2				0,044	0,128	0,328
23	2	3	1				0,044	0,172	0,394
24	2	4					0,044	0,228
25	3	1	1	1			0,061	0,161	0,261	0,394
26	3	1	2				0,061	0,161	0,328
27	3	2	1				0,061	0,211	0,394
28	3	3					0,061	0,272
29	4	1	1				0,086	0,261	0,394
30	4	2					0,086	0,328
31	5	1					0,121	0,394
32	6						0,167

4 Нумерологический подход и метод анализа иерархий Т.Саати

Интересно попытаться применить для определения задающих коэффициентов метод анализа иерархий Т.Саати [11-13]. Построенная в соответствии с ним расчётная схема для пяти критериев (для большего их количества недостаточно коэффициентов сравнительной важности, предложенных в методе анализа иерархий) приведена в таблице 16. При сравнении двух последних столбцов видно, что ввиду значительного различия в результатах метод анализа иерархий не может заменить нумерологический подход даже при небольшом числе критериев.

Таблица 16 – Сравнение задающих коэффициентов, рассчитанных методом анализа иерархий и на основе нумерологического подхода

Критерии	Критерии					Коэф. по Саати	Коэф. по нумер. гипотезе
Критерии	В1	В2	В3	В4	В5	Коэф. по Саати	Коэф. по нумер. гипотезе
В1	1	0,333	0,200	0,143	0,111	0,03292	0,039406
В2	3	1	0,333	0,200	0,143	0,06364	0,088971
В3	5	3	1	0,333	0,200	0,12957	0,155469
В4	7	5	3	1	0,333	0,26383	0,255837
В5	9	7	5	3	1	0,51004	0,460317
						1	1

Заключение

Результаты, приведённые в настоящей статье, в определённом смысле исчерпывают задачу формирования универсальных таблиц. Показано, что для их построения нет необходимости прибегать к статистическому моделированию или геометрическим построениям в многомерном пространстве. Предложен точный и несложный алгоритм их последовательного формирования. Представляется несложным вывести и рекуррентные аналитические выражения для коэффициентов универсальных таблиц. Реализация программной системы поддержки принятия многокритериальных решений, использующей универсальные таблицы, также не вызывает затруднений.

При решении практических задач ЛПР редко использует более трёх-четырёх групп важности критериев (при этом число самих критериев может быть достаточно большим). Поэтому универсальная таблица для любого числа критериев будет содержать не более четырёх столбцов числовых коэффициентов с тремя-четырьмя знаками после запятой. Количество строк в таблице для n критериев также будет равно не 2 n -1 , а значительно меньше, поскольку в таблицу войдут лишь цепочки, содержащие не более трёх-четырёх чисел. Такой компактный «справочник» может способствовать повышению культуры использования объективных методов обоснования многокритериальных решений в повседневной практике.

Список литературы Вычислительные аспекты формирования универсальных таблиц коэффициентов важности критериев

Пиявский, С.А. Как «нумеризовать» понятие «важнее» / С.А. Пиявский // Онтология проектирования. - 2016. - Т. 6, №4(22). - С. 414-435. - DOI: 10.18287/2223-9537-2016-6-4-414-435
Кини, Р.Л. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения: Пер. с англ. под ред. И.Ф. Шахнова / Р.Л. Кини, Х. Райфа. - М.: Радио и связь, 1981. - 560 с.
Ларичев, О.И. Теория и методы принятия решений / О.И. Ларичев. - М.: Логос, 2000. - 295 с.
Ларичев, О.И. Вербальный анализ решений / О.И. Ларичев. - М.: Наука, 2006. - 181 с.
Johannes J. Vector Optimization: Theory, Applications, and Extensions. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 2010. - 460 p.

Статья научная