Вырожденные интегро-дифференциальные уравнения специального вида в банаховых пространствах и их приложения

В работе рассмотрены интегро-дифференциальное уравнение t

Bu^^N\t) = Au(t) + J" g(t — s)Au(s) ds + f(t),                    (1)

о с начальными условиями

u(0) = uq, u'(0) = ui, ..., u^(A/-1\0) = v-N-i,                      (2)

где В E ^(Si,^): A e Cl(Ei,E^, В необратим, Ey, E^ — банаховы пространства g^ : R₊ —> R и уравнение вида

t

Bu(t) = Aiu(t) + Aou(t) + J g(t — s)Aou(s)ds + f(t),

о в котором В, Ai, Ло € £(Si, S2), В необратим. Ранее авторами в [1] с помощью конструкции фундаментальной оператор-функции вырожденного интегро-дифференциального оператора, соответствующего уравнению (1), начальная задача (1), (2) была исследована в условиях фредгольмовости оператора В, а именно, были получены условия однозначной разрешимости задачи Коши в классе распределений с ограниченным слева носителем, изучена связь между обобщенным и классическим решениями, полученные на этой основе теоремы применены к решению начально-краевой задачи о колебании вязкоупругой пластины с памятью.

В данной заметке задача (1), (2) исследована с помощью теории полугрупп операторов с ядрами [2, 3]. Получены условия существования и единственности решения в предположениях спектральной ограниченности операторного пучка. Отметим, что синтез идей теории полугрупп операторов с ядрами и теории фундаментальных оператор-функций ранее уже показал свою эффективность при исследовании некоторых классов сингулярных операторно-дифференциальных уравнений [5, 6]. Для интегро-дифференциальных уравнений такой подход применяется впервые.

Наконец, кроме чисто теоретического интереса для авторов изучаемый класс уравнений имеет важное значение для решения некоторых начально-краевых задач математической теории вязкоупругости.

1. Обобщенное и классическое решения задачи Коши (1), (2): условия существования и единственности, методы построения

Пусть В G ЦЕ1,Е₂Ч А € CUjE^E-zY Ei, Е₂ — банаховы пространства, В необратим, А замкнут, ядро g(t) аналитическая вещественнозначная функция неотрицательного вещественного аргумента t.

Определение 1. Классическим решением начальной задачи (1), (2) называется функция u(t) класса C^N(t > 0; Si) = С^ (Si) (сильно непрерывно дифференцируемая N раз), обраица-югцая в тождество уравнение (1) и удовлетворяюгцая начальным условиям (2).

В обобщенных функциях задачу Коши (1), (2) можно переписать в виде [4] следующего сверточного уравнения:

(B5^N\t) — A3W — AgW9W4 * й(1) =

= fW^W + Bun-18^ + Bu_N_₂8^^N^ + ... + Bu^^W, (3)

которое в классе K+(Si) распределений с ограниченным слева носителем имеет единственное решение вида й^ = £NW * UW^W + Bun-xS^ + BuN_28

Здесь £nW^— обобщенная оператор-функция [4], удовлетворяющая условиям

(BS^W - A8W - AgWe(W * EnW * vW = WY ^ vW e k'^e₂y

£nW * (BS^W - A8W - AgW9W) * ™W = ^Y V wW € S+(S1)

и называемая фундаментальной оператор-функцией вырожденного интегро-дифференциального оператора (BS^W ~ A8W — AgW^WY

Изложению основных результатов предпошлем некоторые вспомогательные сведения из [2, 3] в удобных для нас обозначениях.

Определение 2. Резольвентным множеством оператора А относительно оператора В (или В-резольвентным множеством оператора А) называется множество

РВ = ^ЕС-. фВ-АуЧЦМ^, а оператор-функция (цВ — Л)-1 называется резольвентой оператора А относительно оператора В (или В-резольвентой оператора А).

Определение 3. Оператор А называется спектрально ограниченным относительно оператора В (или (В, аУограниченным), если 3 а > О такое, что вне круга радиуса а оператор (цВ — Л) непрерывно обратим.

Пусть Г = {д G С : |/z| = г > а), тогда пара операторов [2, 3]

Р = — f(pB- А^Вдщ Q = ^-; { В^цВ - АДгдц 2тгг J                            2тгг J г                            г являются проекторами bEj и £з соответственно, порождают разложения этих пространств в прямые суммы Ei = Е® Ф Е} = N(P) ф R(P^, Е-2 = Е) ® Е) = N(Q) ф R(Q\ Действия операторов В и Л расщепляются, причем Ло : Е( —> Е®, Bi : Е^ —> Е) непрерывно обратимы, Л1 : Е) -> Е^ ограничен, QB = BP, QA = АР.

Замечание 1. Если 3 р Е {0} U N такое, что (А^ВоУ / О, но (Л^"¹Во)^р+1 = О, то бесконечно удаленная точка называется несущественно особой точкой (устранимой при р=0 и полюсом при р Е N) В-резольвенты оператора А.

Теорема 1. Пусть оператор А спектрально ограничен относительно В, тогда вырожденный интегро-дифференциальный оператор увУ^У^ — AS(t) — g(t)A0(t)) имеет на классе КДЕ2) фундаментальную оператор-функцию вида

+°О                                   _fkN-l

+oo

- ^(Ло-1Во)Ло-1(12 - QY^W * Ш +YtXtyq+1, где r(t) — резольвента ядра (—g(t)), под k-ой степенью обобщенных функций (5(£)+g(Z)0(£)) и (d(t) + г(£)У(£)) понимается их k-кратная свертка, причем

(буНдУЖ<-5уу

Доказательство. Согласно определению фундаментальной оператор-функции, требуется проверить два равенства:

(BSW^ - А5^ - Ад^вУУ * £nY) = Wy £N^ * (BdW^ - А6(£) - Ад(ф)0(ьУ) = ДОД, где /1, 12 — тождественные операторы в Bi и В2 соответственно. Справедлива цепочка равенств

(BJ^^i) - А5(£) - АдУЖОД * £n^ = (B6^^N\t) - А(б^ + g(tXt^ * En№ =

+oo                               ₊kN-l

= BBp ^AvBpyQtSW+gltWyf • (tjv^!),^) + BBpQS^-

-B^A^B^Aq¹^ _ Q)^^ * (_5(t) _+rWe(t))-?+¹_ q=0

- ЛВр S^lSr¹ У'-ЖО +эт<* (^[y^

+л£(Л^¹В„)«Л„-¹№ -       • W)+rW0(tW =

= p^B^Msm + gm< • у^Чуад + Q⁶W-

^ЛрВо^Лрй - Q^'W^ • Ш + r(W'-

- S^rVew)+#№‘ • ^L\y^e

АВ^А^В^А^ - Q^^W^ . (<(t) +r(t)»(t))’⁺¹ + ЛАр^ - QW) =

= Q6W + № - QX4 = W

Учитывая псевдокоммутирование QB = BP, QA = АР, второе равенство также докажем непосредственной проверкой, а именно

Ы*) * (Вб^) - А5^ - Ад^У) - £n^ * (BJW^) - А<5^ + д^Ш =

= ^вг^тT^AxB^BPW + 9<Ж< * (^i),⁵^) + B^BPS^t)-

- £>о ^о^А^В^ - P^⁺¹W^ * № + r(t)0(t))"⁺¹-9=0

-Bp^iBry-^JW) +дт< *

+ ^(^'BoJ’Aj-'aia - р^ЧГ) • (5(0 + ггоеи)’ = 9=0

- ^(A^BoFXh - p^^4+1wW * № + r^e^F¹-9=0

-вру^вру^лад +9(t)»(t))‘. (^^)у«(‘)+

+ ^Ao^oFXh - Р^^Ж *  ₊ ^g^q+i_{+ A}-i_A(J1 _ р^ ₌

9=0

= P5(tH U1 - РЖ^ = WY

□

Замечание 2. Если в теореме 1 дополнительно предположить, что оо — несущественно особая точка В-резольвенты оператора А, то

EnW -B^MTW) +₅(i)»(t))‘-¹ . -^"Ж^ад"

- рррв^Ад¹^ - Q^to • W) + _r(i№l"^:.

4=0

где p e {0} U N (см. замечание 1).

Замечание 3. Теорема 1 допускает обобщение на случаи сильной (В,р)-секториальности и сильной (В,р)-радиальности оператора A G С/(В1,Вз) [2, 3].

Замечание 4. Наиболее простой вид фундаментальная оператор-функция принимает в случае р = 0 (т. е. оо — устранимая особая точка ^рВ — Л)-1), а именно w = Bfl х^ж6^ *kh5^+Rn^yq - а^ж - джж+тжеж\ здесь КкЖ — резольвента ядра АхВх 4 (^4.1)! + / ^(кХху яЖЖЖ

Замечание 5. В условиях теоремы 1 задача Коши (1), (2) имеет в классе К^Е^ единственное решение вида (4). Если бесконечно удаленная точка является устранимой особой точкой В-резольвенты оператора А, то формула (4) приобретает вид л                           — cA^ — l\

«(i) = -иЖвЖ =

E                  PN^P^k-ids -AoHh-QmtH

Ж'Лкк-Ж     J кк-Ж/

\                    о/

C / (4 _ o\N-l\

+ j _1); B?^ -   - s)^o 4/2 - Q)) f^)d_s+

+ J I ^-^^B^RNMQf^drds о 0

еж,

где RnW — резольвента ядра B_x ^Ц^^; + / ^pp^gksWY

Замечание 6. Построенное решение (5) представляет собой регулярную обобщенную функцию. Заметим, что иЖ € С^ (Вх), если Aq ^/2 - СУИЖ € ^+ ЖЖ и> так как й-Ж является решением уравнения (3), функция u(t) обращает в тождество уравнение (1). Нетрудно установить, что

, k = V ..., N,

^-^он^^Ч^^Ч^

тогда для того, чтобы функция w(i) удовлетворяла начальным условиям (2) достаточно выполнения следующих соотношений:

(ft—1                        \

^ЧоН^т^ЧоН^^Чон =0, к = 1, N,

или

Аи^+^ЧОН^^ЧОН^^ЧОИ =0, к = 1, N,

которые описывают множество правых частей уравнения (1) и начальных данных (2), при которых задача Коши (1), (2) однозначно разрешима в классе С^(£ц).

Таким образом, справедлива следующая

Теорема 2. Пустъ выполнены условия теоремы 1, оо — устранимая особая точка В-резольвенты оператора A, Aq ^/г — Q)/(t) € C^(Si) и

(к—1                  \

/^W + ^r^O)/^^   =0, k = V N, г=1                      / тогда задача Коши (1),(2) имеет единственное классическое решение вида (5).

2.    Некоторые задачи теории вязкоупругости

В этом пункте, опираясь на полученные выше результаты, проведем исследование двух начально-краевых задач, возникающих при изучении вязкоупругих процессов.

Пример 1. Рассмотрим уравнение [7]

t

(А — A)-^-u(t,x) — Au(t,x) — f h(t — т)Аи(т,х)дт = f(t,x), t > 0, ж € Q,

J где A — вещественная постоянная, k^ E C°°(t > 0). Будем искать решение, определенное в цилиндрической области R+ х Q, непрерывно дифференцируемое один раз по t и не менее двух раз по совокупности пространственных переменных, удовлетворяющее начальному

u(^®)lt=o = мо(ж), х Е Q, и однородному граничному

и(^)|ге5П = °> (^®) € R+ х 5Q, условиям. Если положить

Е_х =H^k^ (Q) = {ц(ж) : и(ж) Е Н^к+2^), v(®)|_$e9n = о}, Е₂ = Н^к^,

В = А — Д, А = Д, g(<) = М$, то рассматриваемая начально-краевая задача редуцируется к задаче Коши (1), (2) с N = 1.

Заметим, что случаи Л ^ (Д) и А € сг(Д) подлежат отдельному рассмотрению. В первом из них В = А—Д — непрерывно обратимый оператор, что влечет собой (В, ^-ограниченность оператора А = Д и отсутствие в лорановском разложении оператор-функции (цВ — А)^-1 членов с положительными степенями //, т. е. оо — устранимая особая точка В-резольвенты оператора А. При этом Р = Ii, Q = Д, Bf¹ = В^-1, Ai = А. Если A G <т(Д), то, как показано в работе [3], оператор А является (В, <т)-ограниченным и оо устранимая особая точка.

Таким образом, выполнены условия теоремы 2, из которой следует

Теорема 3.

А) Пусть А ^ у(Д) п f(t,x) € C^t > 0;S2L тогда. задача Коши-Дирихле имеет единственное решение класса С¹^ > 0;Bi), определяемое формулой

и

t

О

t—s ' j Pk^dx^ ^(s^^p^ds о .

Рк

В) Пусть A G <т(Д) и (/(£, ж), р^) G C^x(t > 0), А& = А, тогда, если

(Хи₀(Д) + /(0,ж), рк) = 0, Х_к = А,

то задача Коши-Дирихле имеет единственное решение класса С¹^ > 0;Bi), определяемое формулой

'                                                    t                                                                             '

<Ж tYpi^ + jP s) (Дз, x^Pk) ds

,                                                0                                                                                .

Pki

t гдерк^) — резольвента ядра ,\ (1 + f h^dsY p(t} — резольвента ядра (—ИДУ), {№} k 0

u {A^} - ортонормированное семейство собственных функций и собственных значений однородной задачи Дирихле для оператора Лапласа в области Q, занумерованные по убыванию собственных значений с учетом кратности.

Пример 2. Рассмотрим уравнение

(А — Д)-т—ru(t,x) + Д²и(£, ж) — / ЬД — т)Д²г/(т, хДх = f(t, ж), t > 0, ж € Q, J о

которое в случае п = 2 и f(t, Ж1,Ж2) = 0 описывает колебания вязкоупругой пластины с памятью [7]. Зададим для него начальные и граничные условия

и(^ж)1<=о = ио(ж),

9 ,

= И1(ж), ж G И,

t=o

^x^^ = °, (^^ж) € R₊ х afi.

Выбирая

Ех =Н^к+4 (Q) = (_У(й) : _У(ж) £ Н^к+Ч^, <^еап = о}, S₂ = Н^к^,

В = А — Д, А = —Д², g(t) = —/i(t), редуцируем рассматриваемую задачу Коши-Дирихле к начальной задаче (1), (2) при N = 2. Как и в предыдущем примере рассмотрим два случая: Л ^ сг(Д) и А £ ^(Д).

Теорема 4.

А) Пусть А ^ с(Д) и /(£,ж) £ C^t > 0;Д₂), тогда задача Коши-Дирихле имеет единственное решение класса C²(t > 0;-ЕД, определяемое формулой

t t—s

Фк

А — Afc

В) Пусть А £ <т(Д) и (/(£, ж), р^) £ C^^t > 0), Х_к = А, тогда, если

(-А²ио(ж)+ /(0,ж), ч>к)=^-> (^—Х^их^А^^Д^АДНД^аД р_к^ = 0, Х_к = X, то задача Коши-Дирихле имеет единственное решение класса C²(t > 0;Si), определяемое формулой

и

A2            L где qk(t) — резольвента ядра у Л.....(—< + /(< — s')h(s)ds), q(t) — резольвента ядра h{t), к о

{^Ц;} и {А^} те снсе, что и в теореме 3.

3.    Полные интегро-дифференциальные уравнения второго порядка

По схеме пункта 1 можно исследовать задачу Коши для уравнения t

Bu(t) = Axu(t^ + Aou(t) + J g(t — s^Aou^ds A f(t),               (6)

о в котором В, Ах, Aq Е СДЕх-ХХ В необратим, д^ достаточно гладкая при t > 0. Ключевым понятием в производимых исследованиях является конструкция фундаментальной оператор-функции, соответствующей интегро-дифференциальному уравнению (6), а именно, для оператора B8'\t)—Ax8\tX Ao5(t)—Aog^9(t)i которую построим в терминах теории полиномиально-ограниченных пучков операторов [8]. В начале в удобных для нас обозначениях приведем основные понятия этой теории.

Определение 4. Операторный пучок ^р² В — рАх — Aq^ называется полиномиально ограниченным (или В—ограниченным), если он непрерывно обратим вне некоторого круга радиуса а. Для В—ограниченного пучка будем предполагать выполненными условия:

• А)    УГ = {д Е С : ф| = г > 0}

! R® (Ai, А^дц = ^(р²В - рА_Т - АоГЧц = О; г                  г

• В)    операторы В и Ах псевдокоммутируют относительно R^(Ax,Aq), т.е. ВН^АьА^Ах = AxR^Ax,A₀)B, в этом случае две другие пары операторов В и Aq, Ах и Ао таксисе псевдокоммутируют относительно R^(Ax,Aq).

При выполнении условий А) и В) пара операторов р =         (^i > Ao^Bdp, Q = ™ i pBR®(Ai, A0)dp г                                г являются проекторами в Ex и Е^, порождая естественные разложения пространств Ех = Е® ФЕ) = N(P) ©КД), Е^ = Е^фЕ^ = N^Q^ ®R(Q). Действия операторов В, Ах, Aq при этом расщепляются

Во, А?, А" : Ех Е^, Вх, А}, Aq : E( -^ Е^, причем Aq и Вх непрерывно обратимы, QB = BP, QAi = АгР, г = 0,1.

Методом математическиой индукции доказываются следующие две леммы

Лемма 1. Если выполнено условие А), то семейства операторов

^=1^), К2^ = 18^,

Kl(t) = Яо(<) = Ш + т^МА^Во, К2^ - -Нх^ = -Ш + г^ЖША^А^, K^t) = К2^ * Но^, К2+Ж) = K^t) - К2^ * Нг^ удовлетворяют равенствам вк2^ - Ахк2^ - Ш + д^ЖШо * к2^ = о, q = о, 1,...,

BK^f) - AxK^Xt) - W) + gWMo * K^t) = О, q = 1,2,..., K²_qW^ = K^ * K> + ^²₊l W * Kq^M k, q = 0,1,....

Лемма 2. Если выполнено условие А), то семейства операторов

1^ = 15^, L2^=I5(t),

L\^ = S^t) = (5(E) + WW^, L2(t) = Sx5(t) = B^AXt), Ц-н^ = L2(E) * SM L2^ = L» + L2(t) * Sx5(t) удовлетворяют равенствам

BI?_qV2^ - AxL²^ - (5(E) + g(E)0(E))A_o * ^W = O, q = 0,1,...,

BL^x_q^ - A_XL\^ - (5(t) + g(t)0(t))A_o * ^W = O, q = 1,2,..., Нь*-2$ ⁼ ^fc+iW * kq^t') + L^₊₁(t) * Z^₊₁(i), k, q = 0, 1, . . . .

В этих леммах r(t), как и выше, резольвента ядра (—g(i)).

Теорема 5. Если операторный пучок (р²В — рАх~Ао) полиномиально В-ограничен, выполнены условия А) и В), то интегро-дифференциальный оператор (В5"(Е) — Ах5’(Е) —Ao(5(t) + g(t)#(£))) имеет на классе К'^Е^ фундаментальную оператор-функцию вида

£W = £ т^т,^) * Ll^B^Q - (5(t) + rW^ * Е §w^ * кМа°₀ГЧ1 - QY k=0 '                                                    fc=0

Доказательство. Проведем по обычной для таких утверждений схеме

(В5"(Е) - Ax5'(t) - Л₀(<5(г) + g(E)0(t))) * £W = BB^Q6^ + 0(t) * (BL²^ - АгЕ^В^СН

+^^e^ * ^BLwW - A^ - l^WtH * LV^B^Q-k=0

-(5(1Нг(1Ж*Н^к+2^ЫВК2к^^

+№ + r(t)0(t)) * 5'(i) * (AxK²(t) + (5(t) + д^ЖШо * К²(ША⁰₀ГЧ1 - QH

+(6(t) + r(t)0W) * 5(t) * (5(t) + д(1ЖШо * К²(Ш°₀ГЧ1 - QY

Ho

BL²(t) - A_xL²(t) = O, AxK²(E) + (5(i) + д(1ЖШо * K²(E) = O, (5(t) + r(i)6>(t)) * 5(E) * (5(E) + 5(^6»^)) = 5(E), поэтому в силу лемм 1 и 2, получаем

(В5"(Е) - Ах5'(Е) - А0(5(Е) + д(1Ж^ * £(t) = Q5(E) + (I + Q^^ = 15(E).

С другой стороны

8(1) * (В5"(Е) - Ах5'(^ - A_Q(5(E) + д(Е)0(Е})) = B^^BS^ + 0(E) * (L²_x(t) - Е^ВеЧ^Р-Е

⁺ ^^^в^ * ^+1^ - ^WAk - itiW * Ш +g^0(tWA>-

_^б№^ * _кк²(^ *Яо№ - к²_кл.^ *Нх(^ - К²₊ДШ1 - РН к=0

+5'(^ * Нх(Е)(1 -РН ^(^(1 - Р)5(Е) + 5'(Е) * КИП - ?Y

Поскольку

Ll^ - I-WA - Lti W * W) + gW^B^A^ = = L²_k+1^ - L²^ * S^ - I?_k_iW * S_o^ = 1?^) - L^ * S_x8^ - L\^ = O,

K^ * ЯоМ - К^ДО * H.^ - K^ = K^x_k^ - K²^ * Щ^ - K²^ ее O,

TO

£^ * ^Bd"^ - A_x5'^ - A_o№ + OW^ = P5^ + (J + РЖ^ = 15^.

Работа проводилась при финансовой поддержке Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 - 2013 гг., госкон-тракт № П696 и гранта для поддержки НИР аспирантов и молодых сотрудников ИГУ, тема №091-08-104 (приказ №370 от 24-12.2010).