Взаимодействие частиц в неоднородном магнитном поле

В настоящей статье приведены некоторые результаты исследования взаимодействия частиц в магнитном поле.

В работах [1—3] предложен метод аналитического решения задачи о гидродинамическом взаимодействии конечного числа твердых частиц в потоках, скорость которых на бесконечности представляется в виде полинома любой целой степени. Метод основан па представлении решения уравнений Лапласа и Пуассона в виде рядов по мультиполям. Такой же подход можно использовать и для взаимодействия частиц в магнитном или любом другом поле, распределение которого описывается аналогичными уравнениями.

Рассмотрим две одинаковые сферические частицы А и В радиуса d, которые помещены в неограниченную среду с постоянной магнитной проницаемостью д₁. Положение точки среды относительно центров частиц А и В будем обозначать соответственно векторами Х_д и Х^. Для введенных векторов имеем соотношение

Хь=Хй-г.

Здесь вектор г соединяет центры двух частиц.

Магнитная проницаемость каждой частицы постоянна и равна д₂- Магнитное поле на бесконечности Н есть линейная функция координат

Н4=Нм+Еух,, Еу-УЬ-.

J ОХ;

Причем тензор Е^ удовлетворяет условиям              '

^у = ^Д* ^“ = ^*

так как магнитное поле вне частиц описывается уравнениями div ^Я^ = 0, rot Я) = 0.

Уравнения для магнитного поля Н^а внутри частицы А записываются как

61¥Д2Я^д=0, rotH^a=0.

На поверхности частицы А должны выполняться следующие граничные условия:

^(Я₀₁- + EyXj + Н^п“ =ц₂^н“пц х_а =4;

(H_Oi + Е_у Xj + H_Xi kf - Н^, Х_а = d.

Здесь nf, т^а — составляющие единичных векторов нормали и касательной к поверхности частицы А. Далеко от частицы происходит затухание возмущений:

Нц -> о, х_а -4 =.

Аналогичные уравнения и граничные условия записываются для магнитного поля Н^ь внутри частицы В.

Метод решения приведенной выше задачи аналогичен методу, представленному в [1—3]. Так как магнитное поле вне и внутри частиц потенциальное, то, вводя потенциал магнитного поля вне фх и внутри ф а, ф 6 частиц, получим уравнения a

Решение уравнений для среды вне частиц, удовлетворяющее условию затухания возмущений на бесконечности, может быть выражено в том же виде, что и для давления в работах [1—3]:

№ = и?ц + и?^ + f;^ + F^j +

+ G?..La.b + GbLb г]к ijk i]k г]к

— мультиполи, вычисля емые по следующему правилу:

_La   = — ( ^ ( ³

У^-У Эх{ dxj дх_к

(-2-)»));

Ля

^...,=г- <Л (Л <■ ■■ <^ <^-» »)■

у 4 дх± OXj охк dXq Хь

Внутри каждой частицы потенциалы не должны содержать особенностей при

Х_а = 0 и при Х_ь = 0. Такое решение можно получить, используя ту же процедуру, что и для жидких частиц [ 1 ]. В случае частицы А

Ф° = М?цх2 + Q§y^ + R^fcXl +

+ Dtjhtl^jkiXl + —

Аналогично записываются выражения для потенциала ^ внутри частицы В.

При однородном магнитном поле имеем соотношения для тензорных коэффициентов

4=^; F§—I*; G^=c^;

при линейном магнитном поле —

Ui --Ui. Fij=Fij. Gijk = ~°г,к-

Тензорные коэффициенты Uj,F^, G^ в формулах для потенциала магнитного поля вне и Mf, Q§, R^_k - для потенциала магнитного поля внутри частиц содержат неизвестные скалярные функции, обозначенные НА, НВ, F, UA, UB, I, Y, F', FA¹, FB¹, GA', GA¹, OB', GB^FS",

GO¹ и зависящие только от перемен-

„ d нои — ■ г

Подставляя выражения для ф^, <ра, <рь и тензорных коэффициентов Hr F^, G^k с неизвестными скалярными функциями в граничные условия и собирая члены, имеющие сомножители с одинаковыми степенями переменной £ (£ = х • г), получим систему алгебраических уравнений. Число алгебраических уравнений зависит от d порядка величины — и растет с увеличе-т нием точности вычислений. Все неизвестные функции представляются в виде сте-„ d многочленов по переменной — -т

d

— всегда меньше 1. г невзаимодействующих частиц справедливы уравнения, дающие следующие значения коэффициентов:

пенных так как

Для

с„5.

°   3(3^+2№) '

F,.

0    18(3Д1 + 2Д2)’

НА^=-^ ^а3; НА^ =

2^1 + 42            241 + 42

н4-ДгЛк_аЗ; на£ = -^_

2_Д1 + _Д2           ^Ж⁺ 42

Другие коэффициенты равны 0.

Следующий шаг в вычислениях дает порядок

В этом случае

НА'3 = -

<42-41>²_дз.

(2Д1 + Д2)<41 + 42>

₌4?⁺²4142-3_Д2 .

3 (2Д1 + 42X41 + 4?)

1 „ <№ - М1Ш + 2^ + д₂>-3.

НАЗ —^?  ■

ЯАз" = -з ^~я ■

(2/Zi + Ml)

Для скалярных функций, дающих

порядок — f V I

НА =<^2^М1)<6:14м1-2м2)аз.

(3^ + 2м2)^Ма ⁺Mi)

-7мМ'М\)_

+20В? "2(2д1 + д2)(4д1+3д2)^

Определение неизвестных тензорных коэффициентов и их вычисление из граничных условий подобно процедуре, описанной в работах [1 — 3]. Найденные коэффициенты позволяют определить силы, действующие на частицы со стороны магнитного поля, с учетом их влияния друг на друга.

Сила вычисляется как

ha'^ =6

Ml "Ml

(ЗД) + 2дз)(2я1 + Ml)

^ _Нг_Н) -5-д^ 4л         2

UjdS,

Xmi-miX^mi "³м0_аз. ^Mi + Mi) (9Д1 + 4^2)

где Н — напряженность магнитного поля,

Я’

М, H^j =^L, dxi dxj

Р' 15    М\<М1-М\)     1

⁵      (9^ +4^X2^ + Mi) а²

Учет взаимодействия частиц, имеюще-

1, если г - У, О, если t * ).

, приводит к значениям

го порядок

г коэффициентов

НВ’ = —~^АА121--

2(3 Д| +2^2)(Д1 + Ml)

не- = z^inlh^h^l1 .

2(3^i +2ц2)^М1 + Ml) а²

Интеграл берется по поверхности частицы, внешняя нормаль которой есть вектор п. Подставляя выражение потенциала магнитного поля ф^, тензоров Нр F^-, Gy^ вместе со значениями скалярных функций в подынтегральные выражения и используя свойства мультиполей Lyk ql получим выражение для силы F с точно стью до членов порядка е5 =

GA7 =  "^Й)²  „3.

\2М1 + Mi)v^Mi + 3^2/

GA* = -Мд^-да) 1 .

7 3(2^ + Д2)<М +3mi) а4 ’ нл,   -42д,№(№-№) 3.

(2^ + д2)(4Д| + Зд2)

НА* = -^BiMl^Ml-Mx) .

5 (2^ +^2X4^ + 3д2)’

Формула для силы F°, действующей на частицу А, имеет вид

^=<^ЯоАА + ^3>+

+ t-SOH^r* - HoyEiy)p^5 +

^Ti^Tk ^Sl\4^rf³

⁺ ^^^y^0A _T1 ^M^£ P 3

Здесь введены следующие обозначения:

GA} + 2GB7¹

21(д₂-д^)_йз.

2(2^ + M1)Um\ + 3mi)

, - Д1<№-Д1).

2Д1 + Ml

^(Д2~Д1)²   .

(2Д1 + ^^^ + №^ '

₌№<№-Д1).

ЗД! + 2д2

q = Р4№^2 " (2/2-v p/jV ^АРа⁺ Здз)

В предельном случае Е = 0 получаем известное выражение для силы, действующей на сферическую частицу в градиентном магнитном поле.