Взаимодействие механического, температурного и диффузионного полей в сплошном цилиндре, находящемся под действием нестационарного нагрева

Работа посвящена моделированию нестационарного взаимодействия механического, температурного и диффузионного полей в цилиндрических телах. Исследование процессов, возникающих при взаимосвязи этих полей, является важным не только с теоретической, но и с практической точки зрения, так как цилиндры служат основой различных технических систем, таких как трубопроводы, нефте- и газопроводы, системы отопления, валы и втулки, и другого.

Вопрос о влиянии друг на друга полей различной физической природы имеет длинную историю. Эффекты, обусловленные взаимодействием механического и температурного полей, обсуждались ещё в конце 19-го века [1] , но содержательная теория связанной термоупругости, включающая уравнение движения, принадлежащее гиперболическому типу, и параболическое уравнение теплопроводности, была построена только в середине 20-го века [2] . Первые работы по изучению связи механических и диффузионных полей появились в первой половине 20-го века [3, 4] и носили преимущественно экспериментальный характер. Во второй половине 20-го века были построены математические модели тепломассопереноса в сплошных средах [5 –7] , в которых уравнение диффузии также являлось параболическим. В то же время исследования второй половины 20-го века показали, что классическая модель термомеханодиффузии, о которой сказано выше, обладала существенным недостатком, так как предписывала разную скорость распространения: конечную — для упругой волны и бесконечную — для теплового и диффузионного импульсов. В итоге были предложены различные модификации классической теории термоупругой диффузии, основанные на волновом характере распространения тепла и массы, подразумевающие конечную скорость распространения тепловых и диффузионных потоков.

Достаточно подробный обзор публикаций, посвящённых современным теориям теплопередачи и массопереноса, приведён в работах [8, 9] , где отмечается значительный интерес к проблеме, связанной с учётом конечной скорости распространения тепловых и диффузионных возмущений. В этих статьях даются ссылки на экспериментальные исследования, подтверждающие существование (пусть и при очень малых временах) волновых процессов тепломассопереноса в металлах, кристаллах, полимерах, биологических тканях и смесях. Приводятся данные о временах релаксации для ряда материалов. Подробно обсуждаются границы применимости различных моделей тепломассопереноса.

Среди первых моделей, использующих для описания теплопереноса уравнение гиперболического типа, можно отметить модели Каттанео, Лорда–Шульмана, Грина–Линдси и другие [10 –14] . В дальнейшем с их помощью представлялся массоперенос в сплошных средах, и в настоящее время практически все модели тепломассопереноса учитывают конечную скорость распространения тепловых и диффузионных возмущений

Статья опубликована в открытом доступе по лицензии CC BY 4.0

[15 –32] . Здесь подобраны работы, в которых рассматриваются задачи термомеханодиффузии в цилиндрических и сферических координатах. И таких публикаций существенно меньше, чем посвящённых задачам в прямоугольной (декартовой) системе координат.

При решении нестационарных задач для сплошных сред в криволинейных координатах используются, как правило, интегральные преобразования Лапласа по времени, Фурье и Ганкеля по координате, что продемонстрировано в работах [15, 18, 19, 21 –25] . Учитывая сложность, обусловленную обращением преобразования Лапласа в связанных задачах механики, для нахождения оригиналов применяются приближённые численно-аналитические методы, такие как метод Дурбина (и его модификации) [18, 19, 22 –24] , алгоритм Gaver–Stehfast [25] , а также квадратурные формулы, имеющие в основе суммы Римана [15] .

Не вдаваясь в обсуждение достоинств и недостатков данных подходов, следует отметить только, что изображения Лапласа, получающиеся при решении связанных задач термомеханодиффузии, являются настолько громоздкими, что практически проверить истинность того или иного метода нахождения их оригиналов далеко не всегда представляется возможным. Вопрос о корректности приближённых методов обращения преобразования Лапласа достаточно подробно рассматривается в работе [33] .

С другой стороны, при определённых граничных условиях для решения связанных задач термомеханодиффузии возможно использование метода разделения переменных, что позволяет свести обращение преобразования Лапласа исходной задачи к обращению рациональной функции. В этом случае оригиналы устанавливаются аналитически с помощью вычетов и таблиц операционного исчисления [34 –36] , что, вообще говоря, не требует какой-либо дополнительной верификации.

В данной работе предлагается модель, описывающая одномерные нестационарные темомеханодиффузионные процессы в сплошном многокомпонентном цилиндре, которая является обобщением моделей механодиффузии, рассмотренных ранее [34, 35] . Она позволяет анализировать взаимодействие механических, температурных и диффузионных процессов в сплошных средах.

• 2.    Общая постановка задачи

Рассматривается задача нестационарной термомеханодиффузии в многокомпонентном сплошном цилиндре радиусом R _o , находящемся под действием приложенной к его поверхности внешней нагрузки. Поверхностные нагрузки приводят к возникновению деформационного нагрева и сопутствующей диффузии, то есть к перераспределению концентрации компонентов вещества под действием термоупругих деформаций. Для описания физико-механических процессов в сплошной среде используется линейная модель связанной термоупругой диффузии, представляемая в виде следующей системы уравнений [37 –39] :

N                                                           (1)

n ( N +1) = - X n ^{( q)}   ( i,j = 1,3, q = 1,N ) .

q =i

Здесь t — время; T_o — начальная температура сплошной среды; V ' — опрератор ковариатного дифференцирования; u ⁱ — компоненты вектора механических перемещений; σ ^ij — компоненты тензора напряжений; n 0 q и n ^(q — начальная и текущая концентрации (массовые доли) q-го вещества в составе (N + 1)-компонентной сплошной среды; n ⁽ q = n q - n^ — приращение концентрации; р — плотность среды; q ' — компоненты вектора теплового потока; J ' ^{( q} — компоненты вектора диффузионного потока q-го вещества; S — удельная энтропия.

Замыкают систему уравнений (1) нулевые начальные условия, соответствующие невозмущённому состоянию цилиндра в начальный момент времени t = 0, и краевые условия на перемещения, температурные и диффузионные потоки на поверхности цилиндра Π :

u'| = U',      q'v'\ = Qo,      J '(q)V'| = I(q), где U', Qo, I(q) — заданные поверхностные возмущения, v' — компоненты вектора нормали к поверхности.

Используемая в работе модель учитывает конечную скорость распространения тепловых и диффузионных потоков и является обобщением теории термоупругости Лорда–Шульмана, которая в свою очередь базируется на модифицированном законе Фурье в форме Вернотта–Каттанео–Лыкова. Применительно к термомеханодиффузионным процессам физические соотношения для энтропии и компонент тензора напряжений, а также законы Фурье и Фика записываются так [19, 21, 23, 25, 26, 37] :

_CT j = C ik V k u i - b i V - X _а™ r^, p =1

S =

co . b ^U Л - ^V+ ₇^V+R X

ln(n ^{j )} Y ^{j )} )

m j

n j

K

X k=0

(т # ) ^k d ^k q k! dt k

- K i V j V,

M ^X k =0

( _T ^{( q )} ) k _d k ¹ j ⁱ⁽ q ) k!      dt ^k+1

m ^(q) n o q^ D ^(q) ^j pRT o

V j ( a q^' V k kui) +

_n ⁽ q ⁾ D ( q ) 'j    ,           \          ^N

+ —⁰-------In T n 0 q ) Y ^{( q )} ^ V j V — X D ^(p)ij g ^(qp V j n r ) .

^{T o       V        7}       p=i      '

Здесь V = T — T_o — приращение температуры; T — актуальная температура сплошной среды; т# — время релаксации тепловых потоков; r^q^ — время релаксации диффузионных потоков; D^i — коэффициенты диффузии; Ki — компоненты тензора теплопроводности; m ^{( q )} — молярная масса q-го вещества в составе (N + 1)-компонентной сплошной среды; g ^{( q}r — термодинамический множитель Даркена; Y ^{( q )} — коэффициент активности; с ₀ — коэффициент теплоемкости в начальном состоянии; C ' ^jkl , b i и a^ 'i — компоненты тензоров упругих, тепловых и диффузионных постоянных; R — универсальная газовая постоянная.

При K = 0, M = 0 имеем классические законы Фурье и Фика с учётом связанности механического, температурного и диффузионного полей. Случай K =1, M = 1 соответствует приближению Вернотта-Каттанео-Лыкова. Существуют и более сложные модификации законов Фурье и Фика, так называемые многофазные теории тепломассопереноса (теории Грина–Нагди, Мура–Гибсона–Томпсона и другие), содержащие в качестве параметров два и более времени релаксации.

Не перетендуя на оценку достоинств или недостатков тех или иных подходов к описанию волновых процессов тепломассопереноса в сплошных средах, отметим только, что многофазные модели являются недостаточно изученными, так как нет достоверных данных о величине входящих в них параметров. Даже для используемой в данной работе однофазной модели (2) имеются весьма приближённые оценки времён релаксации. Например, в книге [14] время релаксации теплового потока т # рассматривается в интервале 10 ^{- 14} ^ 10 - ⁷ с, в статье [40] — т # = 10 ^{- 12} ^ 10 ^{- 10} с, в [41] — т # = 10 ^{- 12} ^ 10 ^{- 6} с. Там же, со ссылкой на работу [42] , сказано, что время релаксации диффузионных потоков тИ в полимерах «составляет несколько секунд». Экспериментальные данные в статье [43] указывают на значения т # = 20 с для песка и т # =28.7 с для соды. При этом в работе [44] значения для песка определяются как т # = 2.26 с, а для соды как т # = 0.66 с (разница на два порядка по отношению к предыдущей оценке).

В предлагаемом вниманию читателя исследовании остановимся на неких средних значениях времён релаксации, наиболее часто используемых при моделировании связанных термомеханодиффузионных процессов с конечной скоростью распространения тепломассопереноса. Следуя [19, 20, 22, 23, 26] , время релаксации теплового потока примем порядка сотых долей секунды, времена релаксации диффузионных потоков — порядка десятых долей секунды.

• 3.    Одномерная модель в цилиндрической системе координат

Полагаем, что материал цилиндра является ортотропным (для записи физических постоянных нотацию Фойгта) и представляет собой идеальный твёрдый раствор, в котором не учитываются перекрёстные диффузионные эффекты, обусловленные взаимным влиянием диффузионных потоков различных компонентов раствора. В этом случае в (2) коэффициент активности и термодинамический множитель Даркена становятся следующими: Y ^{( q )} = 1, g ^(q r = 6 q_r , где 6 q, символ Кронекера. Кроме того, все физические поля сохраняют зависимость лишь от одной пространственной координаты. Тогда u = { u _r (r,t),0,0 } , V = V(r,t), n ^{( q )} = n ^{( q )} (r,t).

С учётом указанных допущений и выражений (2) система уравнений (1) в цилиндрических координатах принимает следующий вид (здесь и далее уравнение относительно n ^{(N +1)} вследствие его громоздкости опускается):

d²u _r       ( d²u _r 1 du _r

Р dt ^{2     11} \ dr ² Г г dr

∂ϑ

¹ dr

N

—X j=1

α

j d j

¹ dr

^K kk ak+1 \ τ _ϑ ∂ k! dt ^k+1 k =0

m   (du_r u_r\        N-r ln(n ^{j )} Y ( j ' )

P^c 0 ^V+^T 0 b 1 1 —I-- ) + PRIo^'----- tp--- n j

\ dr    r /         ^£—'    m^{( l )}

j =1 m

XX ^{(т ( q ) ) k} d ^k+1 _n ( q ) = _—Л ( q ) ( ^u r ,² d²u r k\   dt ^{k+1          11} \ dr ³ r dr ²

k =0

1 du_r^ пГ r ² dr r ³

= K 1

_t( q ) ( д²п⁽^ 1 dn ^(q) r ∂r

dr ²

д ² V I 1 dV \ dr ² r dr /

. M( q ) ( d ^{2 V} 1 dV \

¹ \ dr² r dr ),

где

(q^ D^q)              Aq^  m^no^ Di^Oi'1         n^ D1\n(u(q)

C 11 — C 1111 ,  b i — bi 1 ,  D 1 — Di 1 ,  ^а 1 — ^an ,  ^Л 11 —-------—------ ,  M l  ——--- Mn o Y ).

PRT o                   T o

Начально-краевые условия запишем так:

u r I     —0,

11=0

∂u r ∂t

—0, t=0

∂ k ϑ ∂t ^k

— 0,

I                                di} I

U r I _D— f 1 (t),            —= -UV,

I r = R 0                dr lr=R₀

( q )

^Л 11

t =o

/ d2

u r

d m n ^(q) ∂t ^m

- -, +1 du r dr ² r dr

—0

t =o

u r r ²

(k — 0,K, m = MM\

i q -d

∂r

,(q) ^ '

¹ dr

^{— f} q +2 ⁽ t ^{) .}

Перейдем к безразмерным величинам (при одинаковом начертании с размерными аналогами они обозначаются символом «*», который в дальнейшем изложении опускается):

r * — -, R o

ct

^{T —} R o ,

ur        ϑ u — ^, - — ,, - nq — П, c

R o         T o

C 11

,

ρ

b — ^ b 1 , Pc ²

α

_ a 1 ^{q )} q ^— C 11 ,

K 1 к —------- ,

Pc o R o c

c

^T o ^— W^{T #} , R _o

T_q — —T-q  Ro

(q) д ^Л11 о ^R 44^7^{(l) )} n , ^лq ^— ~Б~, e i ^—, cR         c ₀    m ^{i l )}

B

Pc o , D

D ₁i q )

'^{q —} ^R? ’   ^{M q}

^T M q

cR o

,

'*- Cl   f*(^\ - ^f1 ^(R0^T/^c)   f*^ - ^f2(^R0^T/^c)   f*        ^f q +2 ^(R0^T/^c)

ij           , ^f 1 ^(T)                     , ^f 2 ^(T)                     , f q +2 ^{( T} )

C 11                R o                   T o                        c

В результате математическая постановка задачи принимает вид:

d ² U дт ²

′N uu u + 7 -7J-b- -X^jnj,

K

X k=o

T ^k д k ⁺¹

Hl дт^{k +1}

N

^- + B{u’ + r) + X j nj

X- ' +    ,

r

M

X k=o

^T k d ^k+1 n q к! дт k ⁺¹

- Л q ( u^m +2U- - U ’ + rU 3 ) +D q ( nq' + n q ) - M q ( -" + r )

( q — 1,N ) ,

^u|      ^—0,

I =o

∂u ∂τ

—0,

=o

∂ k ϑ ∂τ ^k

—0,

=o

∂ ^m η _q ∂τ ^m

=0

=o

(k = KK, m — 0,M),

u|      — f 1 (T ),    - ' |      — f 2 (T ),

I r=1                lr=1

u′   u лq\  + ~r- r2) +Mq- -Dqnq

— fq+2 (T ), r=1

где штрих обозначает производную по пространственной координате r .

• 4.    Алгоритм решения

Решение начально-краевой задачи (3) , (4) запишем в виде свёрток по времени:

u(r,T ) 1    N +2 . (

^{- ( r,T} ) (=X } n q ^{( r,T} ) m =1o [

G 1 m (r,T - t)

G 2 m (r,T - t)

G q +2 ;m ^{( r,T - t )}

f m (t)dt.

Здесь f _m (t ) — поверхностные возмущения; G ij (r,T ) ( i i,j = 1,N +2) — поверхностные функции Грина, определяемые из решения следующей начально-краевой задачи:

∂2G1m    ′′    G′1m дт2   G1m + r

G 1 m r ²

N bG2m-XaiGj+2;m^

^K k k +1 τ 0 ∂ k! дт ^k+1 k =0

/       1 AN

^G 2 m + B G^G 1 m ⁺ _r ^G 1 m) +52 e j G j +2 ,m

= ^K(^G 2 m ^{+ -G} 2m) , r

X ^T q ^{д  G} q +2 ;m _ _n ( „и      G qq+mm

k]   dTk+1     Dq \G++m+ +   r k=0

‘‘‘    2 ^‘‘

^G 1 m ⁺ r ^G 1 m

G m , ^G 1 m r ²       r ³

M q (G 2 m + GM ,

^G 1 m |   =^0,

τ =0

∂G 1 m ∂τ

=0,

=0

∂ ^k G 2 _m ∂τ ^k

=0,

=0

∂ ^m G q +2 ,m ∂τ ^m

=0,

=0

G1m|  = 8im8(T ), r=1

G2m\  = ^2m^(T ), r=1

G ^′ 1

′′ G1m лq lG1m + r

-r m + M q ^G 2 m

D q G ^′ q +2 ,m

— S q +2 ;m S{^T ),

(6) где S ( t ) — дельта-функция Дирака. Таким образом, решение задачи (3) , (4) сводится к нахождению поверхностных функций Грина.

Применение преобразования Лапласа по времени к задаче (6) приводит к системе дифференциальных уравнений (s — параметр интегрального преобразования, индекс L обозначает трансформанту Лапласа):

′L    L

2^iL  ‘‘1"L- I G1m   G1m       L. X Л s G1m  G1m+ r — r2 -bG2m-2-^a'Gj+2m r r

Kk

X T O ++1 . k!

k =0

Mk

L        τ q k +1

^Gq +2 ;m2_^ k\ ^s k =0

GLm\  = ^1m, r=1

^G Lm ⁺ B(^G 1 m ⁺ ~^Gnm r

′′ L

= D q ^G q +2 ;m ⁺

′ _L G q +2 ,m

r

- Λ q

N

+ X ' j ^G j +2 ;m j =1

/ "I 1    ‘I

= ^K( ^G2m ⁺ -Gmm r

‘ L '"l, 2 ^"l_ G Lm I ^G1 m ⁺ rG 1 m    r 2

^L G 1 m r ³

M q ^2 ^ + G L²

G2m 1  = $2m, r=1

^′′ L   G 1 m   G 1 m         ^′ L       ^′ L

^Л q I ^G 1 m ⁺ _{r r} 2 l⁺Mq ^G 2 m D q G q +2 ;m

= 8 q +2 ;m .

r =1

Для дальнейших преобразований поверхностные функции Грина представим как разложения в ряд Фурье по собственным функциям:

∞∞

^G 1 m ^{( r,T} ) = X G 1 mn ( ^{T ) J} 1 ^{( A} n ^{r )} , ^G q +1 ;m ^{( r,T} ) = X ^ ^Gq +1 ;mn (^{T ) J} 0 ^{( A} n ^{r )}      ( ^q =^1,N ) ,          ⁽⁸⁾

n =1                               n =0

где J (z) — функции Бесселя 1-го рода порядка v, а An — нули характеристического уравнения J 1 (A _n ) = 0. Коэффициенты разложения G L_mn (T ) будем искать в виде:

^G 1 mn ^{( s )} j ( a ) 2 J" ^rG 1 m ^{( r},s)^J 1 ^{( A} n ^{r ) dr}, 0 n ₀

^G q +1 ;mn ^{( s )}    j (д ) 2 ^rG q+l;m^^r r^ss^J 0^A n^r)^dr>     ^G q +1 ;m 0 ^{(s)      rG} q +1 ;m ^{( r},^{s ) dr.}

n _{0                                                   0}

Исходя из этого первое уравнение системы (7) умножаем на rJ 1 (X _n r), а второе и третье — на rJ ₀ (A _n r). После интегрирования по r в пределах от 0 до 1 и учёта граничных условий и формул (9) краевая задача (7) сводится к следующей системе линейных алгебраических уравнений:

N k0(s)GLm0(s)+k0 (s) 52 ej Gj+2;m0(s) = — (Bk0(s)^1m — K^m}, kq+2;0(s)GL+2;m0(s) = —dq+2;m,     (10)

j =1

где

N k1n(s)GLmn(s)-b^nG2mn(s)- Xn^ aiGj+2;mn(s) =

j =1

Bk o (s)A n G ₁^Lmn (s)+k 2 n (s)G ₂^Lmn (s)+k o (s) f P j G        s

j =1

^^³ n ^G Lmn ^{( s )} + ^Mq ^ n ^G 2 mn ^{( s )- k} q +2 ;n (^{s ) G} L +2 ;mn (^s) =

2X n S i m J ° (X n ) ’

^{2( Bk} 0 ^{( s ) 1} 1 m -

J c (^ n )

^{2( Л} q ^X n S 1 m

K^m)

,

¹ q +2 ;m )

J 0 ^{( X} n )

,

^K τ ^k k 1 n (s) — s ² + X n k 2 n (s) — k o (s)+ K\ n k o (s) = y^ -° s^k+ k!

k =0

^M τ ^k

, k q +2 ;n ^(s) = E kJ s   ⁺ ^ n Dq ■

k =0

Из равенств (10) определяем G Lm^ s), G LL ₊₂ ._{m 0} (s), а решение системы (11) находим по правилу Крамера:

L                κδ 2 m      β j δ j +2 ,m    L

G^2mo(s) = ^- BS 1 ^m + ад+Е .    ..■ ^Gq + ²;^mo(s) =

-L / >  ^{P jmn ( s )}    LL

^G jmn ^{( s )}     p (s) , G q +2 ;mn ^{( s )}

где многочлены P _n (s) и P i_mn ( s) имеют вид:

δ q +2 ,m ^k q +2 , o (^{s )}

~ ^Л q ^X n ¹ 1 m )

^P q +2 ;mn ^(s) + ^{2( 1} q +2 ;m

Q qn ^{( s )}         J 0 ^{( X} n ^{) k} q +2 ;n ^{( s )}

NN

P n ^{( s )} = ( k 1 n k 2 n + ^BbX n ^k o ) ⁿ n - ^X n ^k o' f, A- i' f M j ⁿ ijn ⁺

N

+X n f [ k o (B^a j M j + bX n e j Л j + k i n e j M j ) — k 2 n X n a j Л j ] n j_n, j =1

„          2

J o (X n )

N

(S i m X n (k 2 n + Bbk o )+ 6 2 m KbX n )n n + £ [1 1 m X n (k 2 n a j Л j - k o [e j M j +Ba j M j + be j Л j ]) + j =1

^{+ b} 2 m ^KX n ^a j M j ⁺ S j +2 ,m ^X

n (k o be j - k 2 n a j )]

Π jn - k 0 λ ³ n

NN    N N

S i m A n^i ^ M j n ijn + X Mi X S j+zmnijn i =1   j =1           i =1    j =1

^P 2 mn ( ^s ) = ~r

J 0

^{+ S} j +2 ;m ^k 0 ^{( k} 1 n ^e j ^{+ BX} n ^a j ) ⁿ jn ⁺ k o ^X n

NN   NN

X ² n X Л i X Л j n ijn + fAf _S j +₂ m i =1   j =1           i =1   j =1

Π

^P q +2 ;mn ^(s) — ^X _n ^(Л q ^X n ^P 1 mn ^{( s ) + M} q ^P 2 mn ^{( s ))} ,  Q qn ^{( s}} — P n ^{( s ) k} q +2 ;n ^{( s )} j

NN    N nn = J^J_kq+2;n(s), nj n = 11 kq+2;n(s),  П ij n —(aiej — aj ei)   ^|  kq+2;n(s}.

q =1                     q =1 ,q ̸ = j                                   q =1 ,q ̸ = i,j

Принимая во внимание, что функции G Lm_n (s) являются рациональными функциями параметра s, их оригиналы находим с помощью вычетов и таблиц операционного исчисления [45] (производные берём по переменной s ):

G 2 m o (T) — -B 1 mMr )+KS 2 m (1+ X K ’jJkA- Vf S , S , +2 :m ( 1 + ^£ JpA^\ \ Ы ^k 0 ^{( s} k 0) ) =          \   k=1 ^k i +2 ; 0 ⁽ X ik 0) J

^G q +2 ;m 0 ^{( T} ) =

X           X M ^ex P ⁽ X qk 0 ^T ) \

0q +2 ;m\ ¹⁺ Ti 7     7 ’

\   k=1 k q +2 ; 0 (X qk0) J

Gjmn(T) — XXAimnexp(sinт), Ajmn — Pjmn^n)    (j = 1,2, S =(M +1)N+K+3), i=1                             Pn(sin)

Σ + M +1

G q +2 ;mn ^{( T )—} ^^A'q +₂ ;mn ^exP^{( s} in ^T ) ^-

^{2( 1} 1 m ^X n ^Л q

^S q +2 ;m ⁾

J 0 (X n )

X^ ^{exp( x} qin ^T )    . i _ ^P q +2 ;mn ^{( s} in )

fc k q +2 ;n (X qin) ’                Q ^n (s in )   ^.

Здесь s in — нули полинома P n (s), s _i0 — нули полинома k ₀ (s), а X qin — нули полинома k q +₂ ,_n (s).

Наконец, подставляя найденные функции Грина (8) , (12) в свёртки (5) , получаем искомые функции перемещений и приращений температуры и концентраций.

• 5.    Примеры

В качестве расчётного примера рассмотрим сплошной трёхкомпонентный (N = 2) дюралюминиевый цилиндр радиусом r = 1, в котором компонент 1 — цинк (1%), и компонент 2 — медь (4.5%), диффундируют в алюминиевой основе. Материал характеризуется следующими физическими параметрами [46] :

C 12 = 6.93 • 10 ¹⁰ Н/м ² , С бб = 2.56 • 10 ¹⁰ Н/м ² , Т о = 700 К, р = 2700 кг/м ³ , с о = 920 Дж/(кг • К), a l ¹ ) =6.55 • 10 ⁷ Дж/кг, а 1 ²⁾ = 6.14 • 10 ⁷ Дж/кг, D^ = 2.62 • 10 ^{- 12} м ² /с, d ( ²⁾ = 2.89 • 10 ^{- 14} м ² /с, Ь 1 =4.94 • 10 ⁶ Н/(К • м ² ), к 1 = 240 Вт/(м • К),   m ⁽¹⁾ =0.065 кг/моль, m ⁽²⁾ =0.064кг/моль,

C 11 = C 22 = C 12 +2C 66 , n 01) =0.0084, n 0 ²⁾ =0.045.

Принимаем, что механические воздействия и массоперенос на границах отсутствуют (f 1 (т) = f q ₊₂ (т) = 0). Используемые для расчётов времена релаксации тепловых и диффузионных потоков указаны в подписях к графикам.

П р и м е р 1. Поверхностные возмущения создаёт нестационарный теплообмен по закону:

J 1 (A n r),

f 2 (т )= H (т ).

Подставляя выражения (12) , (13) в свёртки (5) , получаем:

и(г,т )= / G 12 (г,т - t)f ₂ (t)dt = X X XX A 1₂ n ^ps in rU: 0                        n =1 i =1            s in

^(т,т ) = j G 22 (г,т - t)f 2 (t)dt = к 0

E K exp(s k 0 т) - 1

-----7TT---- x— I _{k =1} ^s k0 ^k 0 ^(s k0 )

+ X X X ^exp( s i ⁿ ~)^{- 1} J (A n r), n =1 i =1              ⁱⁿ

+ M ⁺¹ ,      exp(s,„r) - 1

G q +2 , 2 ⁽Л^{т -t)f} 2 (t)^dt = X X A q +2 ; 2n------------ J 0 ^(A n r).

0                             n =1 i =1                  s in

Результаты вычислений показаны на рисунках 1 –5. Для расчёта использовалось 100 членов ряда Фурье. Дальнейшее увеличение количества гармоник не приводит к заметным изменениям результатов.

На рисунках 1, 2 представлены поля перемещений в нагреваемом цилиндре, рассчитанные по модели, учитывающей конечную скорость тепломассопереноса (Рис. 1а , 2а , сплошная и пунктирные линии на рисунке 2б ) и по классической модели без релаксации (Рис. 1б и штриховая линия на рисунке 2б ). Как видно, волновой характер распространения тепла и массы существенно влияет на поле перемещений лишь в начальные моменты

( a )

Рис. 1. Радиальные перемещения u ( r, т ) при малых временах с учётом ( а ) и без учёта ( б ) конечной скорости распространения тепломассопереноса

( a )

Рис. 2. Радиальные перемещения u ( r, т ), рассчитанные при больших временах: пространственно-временное распределение ( а ) и в точке r = 0 . 1 с использованием разных моделей ( б ); модель без релаксации, т ^ = 0 с , т^ =0 с (штриховая линия); модель с релаксацией при т ^ = 0 . 01 с ,т^ =0 . 1 с (пунктирная линия) и при т ^ = 0 . 02 с , т^ =0 . 2 с (сплошная линия)

времени (из сравнения графиков на рисунках 1а и 1б следует, что они отличаются на несколько порядков). С течением времени различия постепенно нивелируются, при временах т> 8 • 10 4 становятся несущественными, а при т> 2.5 • 10 5 графики практически совпадают (Рис. 2б ).

На рисунках 3а и 3б показаны температурные поля, рассчитанные также по разным моделям (Рис. 3а — с учётом релаксации тепловых и диффузионных потоков, Рис. 3б — без её учёта). Для сравнительного анализа эти результаты представлены на рисунке 4а , где штриховой линией изображено решение, полученное по классической модели тепломассопереноса без учёта релаксации, а остальные линии — это решения при различных временах релаксации тепловых и диффузионных потоков. Как и в случае с перемещениями, релаксационные эффекты со временем затухают, и при т> 2 • 10 4 исследуемые модели дают похожие результаты.

Для расчёта использовались времена релаксации тепловых потоков, равные 0.01 с (пунктирные линии на рисунках 2б и 4а ) и 0.02 с (сплошные линии на рисунках 2б и 4а ) [19, 20, 22, 23, 26] , что при переводе в безразмерные величины, соответственно, равно 6.198 · 10 ³ и 1.240 · 10 ⁴ . Таким образом, указанные выше пороговые значения времён, на которых проявляются эффекты, обусловленные конечной скоростью распространения тепловых потоков, соизмеримы с временами релаксации этих потоков.

Исходя из полученных расчётных данных можно сделать вывод: поле перемещений, вызванное нагревом цилиндра, слабо влияет на процесс тепломассопереноса. На рисунке 4б для сравнения приведены результаты, полученные по связанной модели термомеханодиффузии (3) , (4) (сплошная и штриховая линии) и по классической

( a )

Рис. 3. Температурное поле д^т ) с учётом ( а ) и без учёта ( б ) конечной скорости распространения тепловых и диффузионных потоков

Рис. 4. Температурное поле ^ ( г,т ), вычисленное по разным моделям: модель без релаксации ( т ^ = 0 с , T q =0 с -штриховая линия), модель с релаксацией ( т ^ = 0 . 02 с , т^ = 0 . 2 с - сплошная линия, и т $ = 0 . 01 с , т^ =0 . 1 с -пунктирная линия) ( а ); связанная модель ( т ^ = 0 . 02 с , т (^ =0 . 2 с - сплошная линия), несвязанная модель ( т ^ =0 . 02 с , т (q) =0 . 2 с - пунктирная линия), связанная модель без учёта релаксации( т ^ = 0 с , т (q) =0 с - штриховая линия), классическая модель (результат решения задачи теплопроводности без учёта релаксации, т ^ =0 с , т (q) =0 с -штрихпунктирная линия) ( б )

модели теплопроводности (пунктирная и штрихпунктирная линии). Здесь же следует отметить, что возникающее вследствие нагрева диффузионное поле практически не оказывает никакого влияния ни на поле перемещений, ни на поле температур; графики на рисунках 1 –4 одинаковы как при наличии диффузии, так и при её отсутствии.

При этом температурное поле само инициирует массоперенос цинка и меди, что показано на рисунке 5. На характер массопереноса в начальные моменты времени, соизмеримые с т П^ , существенно влияет учёт релаксационных эффектов. Видно, что сплошная и пунктирная линии, соответствующие модели с релаксацией, отличаются от штриховой линии, отвечающей классической модели тепломассопереноса. При этом поле перемещений, вызванное нагревом цилиндра, уже практически не оказывает никакого влияния на массоперенос.

Рис. 5. Приращения концентраций 1-го ( а ) и 2-го ( б ) веществ, полученные по разным моделям; модель без релаксации ( т ^ =0 с , т^-¹ =0 с - штриховая линия), модель с релаксацией ( т ^ = 0 . 02 с , т (q) =0 . 2 с - сплошная линия, и т $ = 0 . 01 с , т (^ =0 . 1 с - пунктирная линия)

П р и м е р 2. Рассмотрим цилиндр при воздействии на его поверхность импульсной температурной нагрузки вида:

f ₂ (т )= т ехр( — ет ), £ = 0.01.                                     (14)

Примем также, что механические воздействия и источники массообмена на границах отсутствуют.

Подставляя выражения (12) , (14) в свёртки (5) , получаем:

∞ Σ

G 12 ^{( r,T} - ^{t ) f} 2 ^{( t ) dt} = XX A 12 n

0                         ^{n —1} i — ¹

[exp(s in т ) - (1 + ( e + s in ) t )exp( - gT)] ( e + s-т ) ²

J i (A n r),

$(r,T ) = j G 22 (r,T - t)f 2 (t)dt = к 0

1 — (1+ ET )exp( — ET )

e ²

K

X exp(s k o т ) — (1 + ( e + S k o )т )exp( — et )

+Й           k 0 (s k o )( e + S k o ) ²

k 1

+

∞ Σ

+ XX a^ n —1 i —1

[exp(s -n т) — (1 + ( e + s -n ) t )exp( — et )]

( e + s in ) ²

J O ^(A n ^r),

/ x                            X X ^{+          [ex}p^{( s}in ^T )^{— (1 + ( e +} s in ^{) t )ex} p ^{(— ET )]}

n q (r^,T )=   G q +2 , 2 ^{(r,T — t)f} 2 ^{( t ) dt} =             A q ₊2 ; 2n---------------- / ,_g x 2 ----------------J O (^A n ^r).

n —1 i —1                            ^{(E +} s in )

Результаты, установленные по разным моделям термомеханодиффузии, показаны на рисунках 6, 7. В целом можно отметить, что модификация формы теплового импульса не приводит к качественному изменению характера взаимодействия механического, температурного и диффузионного полей. Релаксационные эффекты по-прежнему

( a )

Рис. 6. Зависимости от времени τ перемещений и ( г,т ) в точке r = 0 . 1: модель без релаксации ( т ^ = 0 с , T ^q =0 с - штриховая линия); модель с релаксацией ( т ^ = 0 . 02 с , т (⁹ =0 . 2 с - сплошная линия, и т $ = 0 . 01 с , т ^⁹ =0 . 1 с - пунктирная линия)

Рис. 7. Зависимости от времени т температуры ^^т ) в точке r = 0 . 9: модель без релаксации ( т ^ = 0 с , т ^⁹ =0 с -штриховая линия), модель с релаксацией ( т ^ = 0 . 02 с , т ^⁹ = 0 . 2 с - сплошная линия, и т ^ = 0 . 01 с , т ^⁹ =0 . 1 с -пунктирная линия) ( a ); связанная модель ( т ^ = 0 . 02 с , т ^⁹ = 0 . 2 с - сплошная линия), несвязанная модель ( т ^ =0 . 02 с , т ⁹⁹ =0 . 2 с - пунктирная линия), связанная модель без учёта релаксации ( т ^ = 0с , т ⁽⁹ =0 с - штриховая линия), классическая модель (результаты решения задачи теплопроводности без учёта релаксации, т ^ =0 с , т ⁹⁹ =0 с) (штрихпунктирная линия) ( б )

существенно проявляются только на начальных стадиях развития процесса (Рис. 6, 7а и 8) , на временах, соизмеримых с временами релаксации тепловых и диффузионных потоков. Обратное влияние механического и диффузионного полей на поле температуры, как и в предыдущем примере, является крайне малым (Рис. 7а )

( a )

Рис. 8. Приращения концентраций 1-го ( а ) и 2-го ( б ) веществ, полученные по модели без релаксации ( т ^ = 0 с , т^ =0 с -штриховая линия) и по модели с релаксацией ( т ^ = 0 . 02 с , T ^q =0 . 2 с - сплошная линия, и т ^ = 0 . 01 с , т^^ =0 . 1 с -пунктирная линия)

• 6.    Заключение

Таким образом, в рамках линейной модели термомеханодиффузии с учётом конечных скоростей распространения тепловых и диффузионных потоков исследовано взаимодействие температурного, механического и диффузионного полей в деформируемых цилиндрических телах и показано влияние связанности полей на напряжённо-деформированное состояние рассмотренной конструкции. Анализ полученных результатов позволяет сделать следующие выводы:

• 1)    Нестационарный поверхностный нагрев инициирует в цилиндре упругие деформации и массоперенос. При этом перемещения, вызванные нагревом, являются столь малыми, что оказывают весьма незначительное обратное влияние на температурное поле цилиндра. Что касается диффузионных процессов, то и они практически не сказываются на поле температуры.

• 2)    С конечной скоростью распространения тепловых и диффузионных потоков связаны как кинетика тепломассопереноса, так и перемещения внутри цилиндра. Причём наиболее существенно фактор конечной скорости распространения тепла и массы проявляется в начальные, соизмеримые с временами релаксации, моменты времени, а затем его значимость сходит на нет.

• 3)    Форма теплового импульса на поверхности цилиндра не меняет качественный и количественный характер связи механического, температурного и диффузионного полей. В работе рассмотрено два вида тепловой нагрузки и обоих случаях взаимодействие полей одинаково в смысле закономерностей, изложенных в пунктах 1 и 2.

Исследование выполнено в рамках государственного задания МГУ имени М.В. Ломоносова.