W-метод Н. В. Азбелева в теории линейных стохастических функционально-дифференциальных уравнений

W-метод в его настоящем виде был предложен Н.В. Азбелевым, но согласно его комментарию в [1] этот метод восходит к Г. Фубини и Ф. Трикоми. Первоначально метод описывал способ регуляризации краевых задач для детерминированных дифференциальных уравнений. Позже он был развит, обобщён и применён в теории устойчивости детерминированных [2–7] и стохастических [8– 10], [12–16] функционально-дифференциальных уравнений.

В детерминированном случае W-метод может быть схематически изложен следующим образом (см. [1], где описана более общая ситуация). Прежде всего, мы устанавливаем связь между асимптотическим поведением решений и допустимостью определённых пар функциональных пространств на полуоси. Затем мы проверяем свойство допустимости, выбирая более простое уравнение (называемое "модельным уравнением"), которое уже обладает требуемым свойством. Решив это уравнение, мы приходим к инте- гральному преобразованию (W-преобразованию), которое, будучи применённым к первоначальному уравнению, даёт интегральное уравнение вида x-0x=f. Если последнее разрешимо (например, если ||Θ||<1), то допустимость, а значит, и устойчивость, доказана. Этот метод является особенно полезным для линейных дифференциальных уравнений, но во многих ситуациях эта идея может оказаться плодотворной и в нелинейном случае.

В определённом смысле W-метод аналогичен прямому (второму) методу Ляпунова. Только вместо поиска функции (функционала) Ляпунова мы пытаемся найти подходящее модельное уравнение, решения которого обладают заданными асимптотическими свойствами. Важно подчеркнуть, что теоретически этот подход, как и метод Ляпунова, также даёт необходимые и достаточные условия устойчивости.

В настоящей статье мы описываем общие принципы применения W-метода к линейным стохастическим функциональнодифференциальным уравнениям.

Пусть (Q, F, ( F_t ) _t > ₀ , P ) - полное вероятностное пространство с фильтрацией, Z =(z^l, ..., z^m)^T - m -мерный семимартингал [11].

Рассмотрим начальную задачу dx(t)=(Vx)(t)dZ(t), t > 0, (1) x(s)= ф(s), s< 0, x(0)=x0,. (1а)

где V - k -линейный (см. ниже) вольтерров оператор, т.e. оператор, зависящий от "прошлого", который определён на некоторых пространствах случайных процессов. Под k- линейностью понимается следующее свойство: V (a j X j + a₂x₂) = a_i V x_i + a₂ V x₂ для любых ограниченных, F₀ -измеримых, скалярных a i , a₂ и любых x 1 , x₂ из области определения оператора V . Решение задачи (1-1а) обозначается x(t,x₀,ф), t е (-ю, да). Ниже предполагается его существование и единственность для соответствующих p(s), x₀.

Для данного вещественного числа p ( 0<р<ю ) нулевое решение уравнения (1) (где p(s)= x₀ =0) называется:

• -    p-устойчивым по отношению к начальному значению x₀ и функции "предыстории" ф (или короче: по x₀ и ф ), если для любого е > 0 найдётся такое д(е)> 0, что из неравенства E |x₀|^p + vraisup _s <  ₀ E | ф(s)| < д следует оценка Е | x(t,x₀,ф)\^p< е, t > 0 для всех ф и x₀ ;

• -    асимптотически p-устойчивым по x₀ и ф , если оно p -устойчиво по x₀ и ф и, кроме того, для всех ф и x₀ , таких, что Е |x₀|^p + vraisup _s <  ₀ Е | ф^)\^р< д, выполняется соотношение lim _t ^ _+lxE\x(t,x₀^)\^p = 0 ;

• -    экспоненциально p-устойчивым по x₀ и φ , если существуют положительные константы С , в, такие, что Е |x(t,x₀,ф)\ ^p <  С ( E |x₀|^p + vraisup _s <  ₀ E | ф(s)|) exp {-fit} (t > 0) для всех ф и x 0 .

Как и в детерминированном случае, мы представим начальную задачу (1-1а) в более удобном для анализа виде. Пусть x(t) - случайный процесс на полуоси (t > 0), x+(t) - случайный процесс, совпадающий с x(t) при t > 0 и равный нулю при t <0, а ф-(t) - случайный процесс, совпадающий с ф(t) при t <0 и равный нулю при t ≥ 0. Тогда случайный процесс x+(t) + ф- (t), заданный на всей числовой оси, будет решением задачи (1)-(1а), если x(t) будет решением задачи dx(t)=((Vx)(t)+f(t))dZ(t), t > 0, (2) x(0)=x0, (2а)

где (Vx)(t):= ( V x + )(t), f(t):= ( V ф - )(t) (t>0). Действительно, V (x₊+ ф . ) = V (x₊)+ У (ф . ) = Vx+f , что даёт (2) . Заметим, что f однозначно определяется функцией ф , задающей "предысторию" решения, и не зависит от решения x(t), t>0 . Отметим также, что задача Коши (2-2а) эквивалентна начальной задаче (1-1а) только для тех f, которые представимы в виде f = V ф_l, где ф 1 является каким-либо продолжением функции ф на (-ю, ю) .

В дальнейшем используются следующие линейные пространства случайных процессов:

• -    Lⁿ(Z) состоит из n х m -матричных предсказуемых случайных процессов, заданных на [0, ю), чьи строки являются локально интегрируемыми по семи-мартингалу Z : см., например, [11];

• -    kⁿ состоит из n -мерных F₀ -измеримых случайных величин:

• -    k=kⁱ - это кольцо скалярных F 0 -измеримых случайных величин;

• -    Dⁿ состоит из n -мерных случайных процессов на [0, ∞) , которые могут быть представлены в виде: x(t) = x(0) + ^ H(s)dZ(s) ( t> 0 ), где (0) е kⁿ, Не Lⁿ(Z) .

Пусть B - линейное подпространство пространства Lⁿ(Z) . Предполагается, что пространство B наделено нормой |Н| _B . Для заданной положительной непрерывной функции Y(t) (t е [0, ю)) мы положим B^Y = {f: f е B, Yf е B} , что является линейным пространством с нормой W/W b' := \\y/\\ b .

Нам также понадобятся некоторые подпространства "пространства начальных данных" kⁿ и "пространства решений" Dⁿ :

k p = { a: а е kⁿ, |a|\_k, = ( E \ a \^p)^i/p< ю};

M Y = ^{{x: x е} D n . |^x| _M y ^: = ^su p t>0 ( E \Y ^(t)x(t) \^{p ) i/p} < ю}, M ^ = M p .

Через x_f( • ,x ₀ ) обозначим решение задачи (2)- (2а), т. е. решение уравнения (2), удовлетворяющее условию x_f(0,x_o) = x₀ .

Определение 1. Говорят, что пара (M^, B') допустима для уравнения (2), если найдётся С > 0, для которого из х0 е k^ и f е Бу следует xf( • ,x0) е MY и выполнение следующей оценки:

IIxf( • ’x0)\■ ^ c (llxо|L- + №\бУ). p p

В определении говорится, что решения принадлежат M Y , как только f е Б' и x₀ е k n , и они непрерывно зависят от f и x₀ в соответствующих топологиях. Выбор пространств тесно связан с видом интересующей нас устойчивости.

Следующий результат раскрывает связь между устойчивостью нулевого решения уравнения (1) и допустимостью пар пространств для уравнения (2) с оператором V , который определяется по уравнению (1) способом, описанным в начале второго параграфа.

Теорема 1. Пусть дана положительная непрерывная функция y(t) (t>0), случайный процесс f(t)=( V p . )(t) принадлежит B^Y для всех Ф, таких, что vraisup_s <0 E ^(s)l^p< да, а норма f удовлетворяет оценке Ifl B < K vraisup_s<0(E^(s)l^P)^1/p для некоторой константы K>0.

• 1)    Если у=1 и пара ( M Y , Б^у) допустима для уравнения (2), то нулевое решение уравнения (1) является p-устойчивым по х₀ и ф.

• 2)    Если γ (t) = exp{β t}, β > 0 и пара ( M Y , Б^у) допустима для уравнения (2), то нулевое решение уравнения (1) является экспоненциально p-устойчивым по х₀ и ф.

• 3)    Если lim_t ^ _+дау (t) = +да и у (t) > д>0. t е [0, +да ) для некоторого 6 и пара ( M Y , Б^у) допустима для уравнения (2), то нулевое решение уравнения (1) является асимптотически p-устойчивым по х₀ и ф.

Этот результат даёт нам возможность произвести эффективную переформулировку задачи: вместо стохастической устойчивости мы можем изучать допустимость соответствующих пар пространств случайных процессов. Последнее свойство позволяет применить W-метод, который, правда, не может быть применён к уравнению (1) напрямую.

Любое W-преобразование порождается вспомогательным уравнением, которое называется модельным уравнением . По этой причине мы предположим, что нам дано другое уравнение, которое похоже на уравнение (2), только "проще", а решения его уже обладают требуемыми асимптотическими свойствами.

Пусть модельное уравнение имеет вид dx(t) = [(Qx)(t) + g(t)]dZ(t), t > 0, (3)) где Q: Dn ^ L"(Z) - k-линейный вольтерров оператор, а де Ln(Z). Для уравнения (3) мы всегда предполагаем существование и единственность решений, т. е. для всех x0 е kn существует единственное (с точностью до множества нулевой меры P) решение x(t), x(0)= x0, этого уравнения. Непосредственно проверяется, что для решений уравнения (3) справедливо тогда представление Коши

x(t) = U(t)x(0) + (Wg)(t), t > 0, (4)

где U(t) - фундаментальная матрица ассоциированного однородного уравнения, а W - соответствующий оператор Коши.

Как и в детерминированном случае, существует два способа применения стохастического W-преобразования к исходному уравнению: справа и слева. Формально они порождаются одним и тем же модельным уравнением, но приводят к различным интегральным уравнениям. Условия их применимости также различны.

Для дальнейшего нам потребуется следующее условие на U(t) .

Условие 1. Для априорно заданной положительной непрерывной функции γ(t) (t≥ 0) предполагается, что фундаментальная матрица U(t) для уравнения (3) удовлетворяет оценке\\y(t)U(t)\\ <  c , где c е R ₊ и t> 0.

Начнём с правой подстановки. Подставив выражение (3) в уравнение (2), получим [(QUx(0))(t) + (QWg)(t)+ g(t)]dZ(t)=[(V(Ux(0) + Wg))(t) +f(t)]dZ(t) .

Обозначив (V - Q)W = 0_r , мы приходим к операторному уравнению

(I- & r )g = (V-Q)Ux(0) + f (5)

Подстановка является "правой", так как оператор W стоит справа от оператора V в уравнении (2). Буква " r " в 0_r происходит от слова "right" (правое).

Вторая теорема описывает предположения, которые накладываются на модельное уравнение и дают нужные свойства правой W-подстановки.

Теорема 2. Пусть задан вес γ (т. e. положительная непрерывная функция, определённая при t≥ 0). Предположим, что уравнение (2) и модельное уравнение (3) удовлетворяют следующим условиям:

• 1)    операторы V, Q непрерывно действуют из M Y в B^Y;

• 2)    модельное уравнение (3) удовлетворяет у словию 1 ;

• 3)    оператор W непрерывно действует из B^Y в M ^ .

Если теперь оператор I - Θ r : B^γ → B^γ имеет ограниченный обратный в этом пространстве, то пара ( M Y , B^Y) является допустимой для уравнения (2).

Доказательство. В предположениях теоремы мы имеем x f (t,x 0 ) = U(t)x 0 + (W(I - Θ r )^-1(V-Q)Ux 0 )(t) +(W(I - Θ r )^-1f)(t) для произвольных x 0 е k n , f е B^Y . Беря нормы и снова используя предположения теоремы, мы приходим к неравенству || х / • ,x ₀ ) _м1 <  c (\\х ₀|| _к+ l\f\l_B^Y) , которое выполняется для всех х₀ е k n , f е B^Y . Здесь c - некоторое положительное число. Это означает, что пара ( M _р , B^Y ) допустима для уравнения (2). □

Теперь рассмотрим случай левого W-преобразования, переписав уравнение (2) в виде dx(t) = [(Qx)(t) + ((V-Q)x)(t) + f(t)]dZ(t), t ≥ 0, или, эквивалентным образом,

x(t) = U(t)x(0) + (W(V-Q)x)(t) + (Wf)(t). t ≥ 0. Обозначив W(V - Q) = Θ l , мы получим операторное уравнение

• (( I - Θ l )x)(t) = U(t)x(0) + (Wf)(t), t ≥ 0.    (6)

Tеорема 3. Пусть задан вес γ. Предположим, что уравнение (2) и модельное уравнение (3) удовлетворяют следующим условиям:

• 1)    операторы V, Q непрерывно действуют из M Y в B^Y;

• 2)    модельное уравнение (3) удовлетворяет у словию 1 ;

• 3)    оператор W непрерывно действует из B^Y в M Y .

Если теперь оператор I - & l : M Y ^ M Y имеет ограниченный обратный в этом пространстве, то пара ( M Y , B^Y) является допустимой для уравнения (2).

Доказательство. В предположениях теоремы мы имеем, что U(-)x₀ е M Y , как только х₀ е k n , а также, что X f (t,x₀) = ((I - 0) ¹(U(·)x 0 ))(t) + ((I - Θ l )^-1Wf)(t), t≥ 0, для произвольных x ₀ е k ⁿn , f е B^Y . Беря нормы и используя предположения, накладываемые на модельное уравнение, мы, как и в предыдущей теореме, получаем неравенство II x f⁽ • ^,хо ) м; <  c ⁽ l ^x oll k n + ^lfl B ^{Y )} ' где ^х о^е k P ^{, f} е B^Y . Поэтому пара ( M _р , B^Y ) допустима для уравнения (2). □

Буква " l " в Θ l происходит от слова "left" (левое). Это означает, что W-преобразование применяется к оператору V в (2) слева.

В качестве приложения вышеизложенной теории приведём один результат об асимптотической устойчивости скалярного функционально-дифференциального уравнения Ито.

Теорема 4. Нулевое решение однородной задачи, соответствующей задаче

dx(t) = (a£ (t)x(t) + £(t)x(t/T) )dt +

+ cJ £ (t)x(t/tj )dB(t)  t > 0

x(s)= φ(s), s< 0,     x(0)=x0, где ξ задано формулой

ξ(t) = 1 [0,r] (t)+ t 1 [r,∞] (t) , t≥0,

B(t) является скалярным винеровским процессом [11], a, b, c, τ 0 , τ 1 – вещественные числа (τ 0 ≥ 1,τ 1 ≥ 1), будет асимптотически 2p-устойчивым по x 0 и φ, если существует α >0, такое, что | a + b + a | + c_p\c\\f05a +

(\ab\ + b)B + cp\bc\fd0 < a , где     d0 = max {log h0, (1 - h01 \}