Web-приложение для математического моделирования нестационарного течения нефти в пористой среде

Финансирование. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 20–37–90080 «Математическое моделирование нестационарного течения многофазного потока в пористой среде».

Original article

Web Application for Mathematical Modeling of Unsteady Oil Flow in Porous Medium

Aynur A. Mazitov

Institute of Petrochemistry and Catalysis, Ufa Federal Research Centre, RAS, Ufa, Russian Federation

Introduction. The analysis and interpretation of hydrodynamic research data are based on theoretical models and computational algorithms. Despite the demand for this topic, numerous issues related to unsteady fluid flows in oil reservoirs still require solutions. Therefore, mathematical setting of problems related to the account of unsteady fluid flow, the development of effective numerical methods and algorithms, their solution using modern web technologies are pressing. This study is aimed at developing a web application for mathematical modeling of the process of fluid filtration in single- porosity reservoirs when conducting a hydrodynamic study at a production well.

Materials and Methods. To solve the problem, the methods of continuum mechanics and computational mathematics were applied. A model of oil flow in a single-porosity reservoir was presented. Python and JavaScript programming languages were used in the development of the application. The calculation results were stored in a relational database implemented using PostgreSQL tools.

Results. A new web application has been developed for modeling the oil filtration process in single- porosity reservoirs. It is applicable for studying fluid dynamic processes and can be used to predict flowrates, production and calculation of optimal well operation modes.

Discussion and Conclusion. The developed web application provides for building pressure and temperature fields in the reservoir near a flowing and shut-in production well and at various distances from it. This information makes it possible to urgently assess the duration of hydrodynamic studies, as well as to regulate the operation of wells. The application can be deployed in an existing network infrastructure and use all the functionality by connecting to a remote server. It is optimized for use on various platforms and has broad prospects for further development.

Acknowledgements. The author would like to thank Yu.O. Bobreneva, the consultant of the scientific project, for valuable comments and constant support in the implementation of the project.

Funding information. The research was supported by the Russian Foundation for Basic Research, grant No. 20–37– 90080 “Mathematical Modeling of Unsteady Multiphase Flow of in Porous Environment”.

Введение. Российская Федерация является одной из ведущих стран мира по объемам производства нефти. Каждый год на месторождениях страны добывается свыше 500 миллионов тонн нефти, подавляющая часть которой в сыром виде экспортируется в страны азиатско-тихоокеанского региона, Европы и ближнего зарубежья. Развитие нефтяной промышленности в нашей стране оказывает влияние на другие отрасли и сферы деятельности, поэтому решение задач по эффективному освоению и разработке нефтяных месторождений было и остается перспективным. Основой современных научных технологий нефтяной разработки является комплексное изучение свойств продуктивных коллекторов, содержащихся в них веществ и происходящих сложных процессов при течении флюида.

Информатика, вычислительная техника и управление

Главная цель при добыче нефти — увеличение темпа отбора флюида из продуктивного пласта и поддержание пластового давления. Планирование работ по эффективному освоению и оптимальной эксплуатации нефтяной скважины носит комплексный характер, связанный с гидродинамическими процессами, происходящими при течении жидкости в системе «скважина — пласт» [1]. Для изучения продуктивных свойств пластов и жидкостей применяются гидродинамические исследования скважин (ГДИС). Средствами ГДИС проводятся замер совокупности данных коллектора с использованием глубинных или устьевых приборов, а также последующая обработка замеров и интерпретация полученных данных (продуктивность, фильтрационные свойства жидкостей, тип коллектора и т. д.) [2].

При исследовании коллекторов с использованием ГДИС применяются теоретические модели, основанные на классических уравнениях и законах, а также вычислительные алгоритмы для моделирования процессов фильтрации флюидов. Однако, несмотря на востребованность данной тематики, многие вопросы, связанные с математическими и вычислительными аспектами моделирования нестационарных потоков в коллекторах, требуют дальнейшей разработки и развития [3, 4].

Для анализа и интерпретации результатов ГДИС существует ряд отечественных («Автон», «Гидрозонд») и зарубежных (OLGA, LedaFlow, FlowVision, MAST, Saphir NL) программ [5–7]. При всех имеющихся преимуществах они обладают некоторыми недостатками, такими как невозможность проведения полного спектра расчетов, просмотра и изменения параметров исходных моделей. Все представленные программные продукты являются настольными, коммерческими, сложными в эксплуатации, многие обладают перегруженным интерфейсом. В условиях, когда необходимо оперативно или в режиме реального времени провести расчет, большие коммерческие симуляторы оказываются малоэффективными. Поэтому для выполнения схожих работ предлагается использовать web-приложение, обладающее множеством преимуществ.

В отличие от настольных, web-приложения независимы от операционной системы и вычислительных мощностей персональных компьютеров. Программный код web-приложения пишется единожды для конкретной платформы, где оно будет развернуто. Web-приложения выделяются простой реализацией, легкостью применения, высокой производительностью. Их основными характеристиками являются доступность, надежность, безопасность, масштабируемость, гибкость, кросс-платформенность. Для работы с web-приложением от персонального компьютера пользователя необходимо находиться в одной сети с сервером, на котором оно развернуто. Такой сетью может быть локальная сеть предприятия или глобальная сеть Интернет, если речь идет о веб-сайтах. По сравнению с настольными, у web-приложений можно выделить один недостаток — время отклика, зависящее от удаленности персонального компьютера от сервера.

Логика работы web-приложения отличается от настольного, которое запускается и выполняет код на компьютере пользователя. Поэтому настольные приложения отличаются более расширенным и отзывчивым пользовательским интерфейсом и позволяют реализовывать более сложную бизнес-логику работы. Однако с развитием web-технологий это достоинство с каждым годом нивелируется, и web-приложения все чаще бывают способны реализовывать сложные пользовательские сценарии. Таким образом, в части реализации производственных задач web-приложения становятся более конкурентными.

В связи с этим математические постановки задач с учетом нестационарного течения жидкости во всех его элементах (пласт, стволовые трубы, проточные каналы), разработка эффективных численных методов и алгоритмов, последующие их решения с применением современных технологий web-разработки являются актуальными. Использование полученных численных алгоритмов позволяет количественно описывать поведение давления и температуры в нефтяных скважинах. Алгоритм и web-приложение предоставят пользователям, специалистам в области анализа и интерпретации гидродинамических исследований, удобный и легко адаптируемый к их практическим потребностям инструмент для расчета сложных процессов, происходящих при разработке пористых коллекторов.

Материалы и методы. Рассматривается добывающая скважина, на которой проводится гидродинамическое исследование методом кривой восстановления давления. Скважина эксплуатирует терригенный коллектор, который относится к однопоровым. Пласт является неограниченным, воздействие соседних скважин отсутствует. Течение флюида в пласте — горизонтальное, перетоки между пропластками отсутствуют. Скважина работает в установившемся режиме с постоянным забойным давлением. На границе контура поддерживаются постоянные давление и температура. Для проведения исследования измерительный прибор опускается на глубину верхних дыр перфорации. Расчет динамики давления и температуры проводится в пространственно-одномерном случае.

При численном моделировании важно учитывать все параметры пласта и флюида, чтобы достичь наиболее качественного описания процесса массопереноса нефти в однопоровом коллекторе. Рассмотрим математическую модель, описывающую процесс фильтрации нефти в однопоровом коллекторе. Основой для модели служат уравнения пьезопроводности и теплопроводности. Математическая модель в радиальных координатах представляет собой систему дифференциальных уравнений в частных производных:

dP  1 d(к

Ф c_t — =--I — r — I, d t   r d r ( цd

d T 1 д C d T)     (d T   dP)d cp=I XI-cpuI+sНПФcP dt r dr (  dr J      ( d t    dr Jd где Ф — пористость пласта; c, — сжимаемость породы (1/Па); к — проницаемость пласта (м2); ц — вязкость жидкости (Па с); P — пластовое давление (Па); r — расстояние до стенки скважины (м); t — время (с); c — теплоемкость нефти (Дж/кг К); p — плотность нефти (кг/м3); T — пластовая температура (К); X — теплопроводность пористой среды (Вт/м3∙К); u — скорость конвективного переноса тепла в пористой среде (м/с); g — коэффициент Джоуля-Томсона (К/Па); п — коэффициент адиабатического расширения (К/Па).

Первое уравнение описывает процесс изменения давления в пласте, второе — процесс теплопереноса жидкости.

Скорость конвективного переноса тепла в пористой среде определяется выражением k 8P и =---.

ц d r

Система уравнений (1) задается в пространственно-временном интервале: r w <  r <  R ,

О < t < tk, где r — радиус скважины; R — расстояние до границы контура исследования (м); t — время исследования (с).

Исходя из поставленных выше условий для скважины и рассматриваемой области для системы (1) начальные и граничные условия задаются следующим образом:

t = 0: P = Po,T = To,rw < r < R, r = rw : P = Po,T = To,t > 0,                                             (4)

r = R :

ар   ат

— = o, — = o, t >  o. ar     ar

После определения начальных и граничных условий получена модель процесса фильтрации нефти в однопоровом коллекторе (1)–(4), характеризующая перераспределение давления и температуры в пласте.

Первоначальным этапом решения системы является приведение его к дискретному виду. Для этого используется метод конечных разностей [8]. Строится равномерная пространственно-временная сетка:

G h =) r = r w + (* - 1) h , * = 1,2,

., N , h =

R - r

w

N - 1

G, = t„ = n t, n = o,1,..., M, t = — t I n                        M где h — шаг сетки по пространству; т — шаг сетки по времени; N — число узлов по пространству; M — число узлов по времени.

После замены дифференциальных выражений разностными аналогами получается система уравнений:

Ф c

P n ^{+ 1} - P n _ k 1 ^т       Ц r

_r  p" ^{+ 1} _l             I pn ^{+ 1} _+r p" ^{+ 1}

r 1 P i + 1      I r 1 ⁺ r 1 I P i ⁺ r 1 P i - 1

i +              i +—     i -               i—

2 _________ V 2      2 J _____________ 2

h h cP

rp n + 1

Ti

n T_i

r         h ²

n +1      n          n +1

. l Ti - Ti . _ P+1  - PiI .

- cp Uj I--+ gI +

V т                h7

P " ^{+ 1} - P "

ПФ c p —------—, i = 2,..., N - 1, n >  o.

т

Система (6) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), которая сводится к трехточечному уравнению общего вида:

A i y n + 1 - B i y n ^{+ 1} + C.y"- ! = F , i = 1,..., N , n >  o.                                      (7)

Коэффициенты равны:

A i ^P

1 ^r 1

k ^{1 +} 2

ц h ²   r

, B P

,     '. 1 ⁺ '. 1

i +— ц h2

Ф c

т

, C i

t r 1

_k __2_ p;

ц h ²   r ’  ‘

_ v c,_pn

1 , т

^Ai ^T

_ ^ n T

1 2   , Bi h r

2 X    c p u i    c pI t

1 2   +       +     I, Ci hr т    tJ

- _L

= h² r ’

^{n +1} _ p ^{n +1}          p n ⁺¹ _ p ⁿ

Z7 ^T _ c ^{P             n}           P i + 1     P i      ^^„^Pi       P i

F F  =--1 U; + 11 T; + cp U;g--пф cp---------- т                       h                 т

Система (7) решается методом скалярной прогонки [9, 10]. Задача является нестационарной, поэтому метод

Информатика, вычислительная техника и управление

применяется для определения пространственного распределения давления и температуры пласта на каждом временном слое [11, 12]. Задача решается последовательно, на первом этапе решается уравнение для давления, на втором — для температуры.

Для автоматизации решения задачи разработано web-приложение. В общем виде его структура представлена на рис. 1. В ней выделяются пять основных компонентов: входные информационные потоки, выходные информационные потоки, методы обработки информации, технические средства обработки информации, база данных [13, 14].

Рис. 1. Структура приложения в общем виде

Входными информационными потоками являются данные о параметрах модели, а выходными — графики, отражающие временные или пространственные зависимости забойного давления и температуры. Под методами обработки информации понимаются численные методы и методы интерпретации гидродинамических исследований. Техническими средствами обработки информации являются сервер, на котором размещено приложение, и персональный компьютер пользователя. Для хранения входных параметров и результатов расчетов используется база данных.

Конечный вид программного обеспечения зависит от средств, выбранных для его разработки. Средствами разработки являются парадигмы и языки программирования, среды и технологии для разработки. Выбор инструментария влияет на способ реализации задачи, критерии качества программного обеспечения, представление данных и тип графического интерфейса пользователя. Для разработки приложения в качестве языка программирования для серверной части выбран Python c использованием микрофреймворка Flask, для клиентской части — JavaScript c Vue.js [15, 16]. В качестве СУБД для проектирования и разработки базы данных используется PostgreSQL [17].

Результаты исследования. Разработанное программное обеспечение представляет собой кросс-платформенное клиент-серверное web-приложение. Хранение данных и вычисления происходят на web-сервере, с которым пользователь взаимодействует через браузер (поддерживаются все современные интернет-браузеры). Клиентская часть может использоваться на широком спектре платформ (ПК, ноутбуки, смартфоны) и операционных систем (Windows, MacOS, Android, iOS).

Большую часть главного окна web-приложения занимает средство построения графиков температуры и давления. Графики строятся после произведения расчета путем выбора соответствующего пункта меню. Также имеется возможность построения графиков по ранее произведенным расчетам, для этого выбирается необходимый расчет в левой части окна. Графики строятся по пространственным и временным координатам. Для изменения вида графика выбираются соответственные пункты в верхней части окна.

Все произведенные расчеты хранятся в разработанной реляционной базе данных flowcalcdb, структура которой представлена на рис. 2.

Рис. 2. Структура базы данных flowcalcdb

В общей сложности база данных содержит пять таблиц, которые находятся в третьей нормальной форме [18]. Все таблицы имеют первичные ключи. Главная таблица, calculation, хранит название расчета и дату его произведения. Две зависимые от нее таблицы, radius и time, хранят информацию о пространственновременных координатах. Таблицы temperature и pressure хранят значения температуры и давления соответственно.

В разработанном приложении проведен ряд вычислительных экспериментов, позволяющих оценить результат его работы. Для проведения моделирования использованы значения из таблицы 1.

Таблица 1

Начальные и граничные условия, параметры расчета

Параметр	Значение	Единица измерения
Радиус скважины, r	0,102	м
Радиус исследования, R	100	м
Время исследования, t	24	ч
Начальное давление, P	25	МПа
Конечное давление, Pк	30	МПа
Проницаемость, k	1e-14	м 2
Пористость	0,2
Вязкость нефти, μ	1,10e-3	Па∙с
Сжимаемость нефти	1,58e-9	1/Па
Теплоемкость, c , ρ	1,4	МДж/ м3∙К
Теплопроводность, λ	0,6	Вт/м∙К
Коэффициент Джоуля-Томсона, ε	3,94e-7	К/Па
Коэффициент адиабатического расширения, η	3,15e-7	К/Па
Начальная температура, T	363,15	К
Количество точек по времени, N	1000
Количество точек по пространству, M	1000

С использованием данных из таблицы 1 построены графики распределения давления и температуры по пространству, представленные соответственно на рис. 3 и 4.

Информатика, вычислительная техника и управление

Рис. 4. Распределение температуры по пространству в конечный момент времени

Как следует из данных на рис. 3 и 4, после остановки скважины на гидродинамическое исследование наблюдается восстановление давления и температуры, причем чем дальше от стенок скважины, тем больше величина восстановления. На рис. 5 и 6 показано, как именно распределены давление и температура в различные моменты времени (6, 12, 24 ч.) после остановки скважины. Эта информация полезна специалистам по анализу и интерпретации гидродинамических исследований, поскольку позволяет оценить динамику давления и температуры и принять решение о продолжении или остановке исследования, а также проведении дополнительных мероприятий.

Рис. 5. Распределение давления по пространству в различные моменты времени

Рис. 6. Распределение температуры по пространству в различные моменты времени

На основе произведенных расчетов установлено, что наибольшее влияние на поведение давления и температуры оказывает проницаемость пласта. На рис. 7 и 8 изображены графики динамики давления и температуры в зависимости от различных значений проницаемости вблизи от стенок скважины (низкопроницаемый коллектор — 1 мД, среднепроницаемый — 10 мД, высокопроницаемый — 100 мД

(1Д = 10-12м2)). Как видно на графиках, при увеличении проницаемости коллектора скорость восстановления давления и температуры увеличивается. На рис. 7 изображен график для реальных промысловых данных (проницаемость коллектора — 80 мД).

Информатика, вычислительная техника и управление

На основе динамики давления можно определить время проведения исследования (рис. 7). Например, для высокопроницаемого коллектора не имеет смысла проводить исследование более чем ~6 часов, поскольку после этого времени давление практически не меняется, а простой скважины является неэффективным, поскольку идут потери добычи.

Обсуждение и заключение. Разработанное web-приложение может быть использовано для анализа и интерпретации данных гидродинамических исследований. Web-приложение обеспечивает удобный пользовательский интерфейс и снижает затраты на поддержку. Оно может быть развернуто в существующей сетевой инфраструктуре или подключено к удаленному серверу для обеспечения полной функциональности. Применение приложения позволяет качественно и количественно оценивать поведение давления и температуры в однопоровых коллекторах. А хранение результатов расчетов в базе данных дает возможность проводить анализ с использованием результатов множества исследований, на основе которого можно составлять сводный отчет и формировать рекомендации по дальнейшему использованию скважины или месторождения в целом. Используемые модели являются устойчивыми и сходящимися. Графики строятся с помощью написанного web-приложения, и поэтому оно может использоваться на производстве.

Приложение имеет широкие перспективы развития, например, можно реализовать другие модели течения жидкости или предусмотреть наличие нескольких фаз. Также на момент написания данной работы остро встал вопрос об отказе от зарубежных коммерческих продуктов в пользу отечественных симуляторов. Поэтому разработка подобных продуктов является перспективной.