Задача Неймана для нелокального бигармонического уравнения

Введение. Краевые и начально-краевые задачи для нелокальных аналогов классических уравнений исследовались в работах [1–6]. Многочисленные приложения нелокальных уравнений и нелокальных краевых задач для эллиптических уравнений к задачам физики, техники и других отраслей науки описаны в [7, 8]. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго и четвертого порядка с инволюцией как частные случаи нелокальных задач рассматриваются в [9-13]. В работе [14] исследовалась задача Дирихле для полигармонического уравнения. Данная работа продолжает эти исследования.

Пусть Q = { x е Ж ^п :| x | < 1} - единичный шар в K n , n >  2 , а dQ = { x е R n :| x | = 1} - единичная сфера и S - действительная ортогональная матрица SS T = E , для которой существует натуральное число l ед такое, что S l = E .

Пример 1. Пусть каждому x eQ соответствует точка Sx = - x . В этом случае S = - E . Ясно, что S• S T = - E ( - E ) = E и S ² = E . Значит, l = 2 .

Рассмотрим нелокальный бигармонический дифференциальный оператор

l

Lu(x) = ^ akA2u (S  ), к=1

где a 1 ,a 1 ,...,a l - некоторые действительные числа и l е N . Исследуем в Q следующую задачу.

Задача Неймана. Найти функцию u(x) е C 4 ( Q ) n C ²( Q ) , удовлетворяющую следующим условиям:

Lu ( x ) = f ( x ), x g Q , d u ( x )               d ² u ( x )

——  = g 0 ⁽ x X ——  = g 1 ⁽ x ) ,

• ^dv dQ          5 v ²   dQ

  
  

где v - внешняя единичная нормаль к 9Q .

Вспомогательные утверждения. Для исследования поставленной выше задачи нам понадобятся некоторые вспомогательные утверждения.

Наряду с задачей (1), (2) рассмотрим также вспомогательную задачу (1), (3)

u ^{( x} = g g 0 ^{( x} ), ^ ux ^dQ           dv

= g 1 ^{( x} ) , dQ

. 2п                                                                                ,2nk ii Пусть ^ = el - примитивный корень l -й степени из единицы и ^ = e l = ^k . Обозначим

l

E k = ^a 1 ^ 0 + • • • + ^a A - 1 = T a q ^ q - 1

T a q ^ k ^{- 1}. q = 1

Пусть при j = 1,2,..., l. Введем операторы

l

I L v ^{( x} ) = T a a k I S-к = 1

- 1У 1

^{C j l T} 4 - M k

l

, k - 1 v ( x ) = T a k V ( S^{k - 1} x ), k = 1

l

J lV ⁽ x ) = T ^c k ^{v (} S^{k - 1} x ) .

к = 1

В работе [15] было определено элементарное решение бигармонического уравнения

E 4 ( x Л) = t

2( n - 2)( n - 4) ^- ^ x ^- ^ ^|,

| x - Л |^{4 -} n ,   n >  4, n = 3

n = 4      ,

n = 2

и доказано, что при n >  3 функция вида

G 4 (x Л ) = E 4 (x Л ) - E^-x ,| x | Л ) -\ ' ^^E ( ,| x | Л ) ,

| x |                   2          2          | x |

где E ( x , Л ) = | x - Л |^{2 -} n /( n - 2), является функцией Грина задачи Дирихле для бигармонического уравнения в единичном шаре. Затем в работах [16, 17] установлено следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть ф0 g C2+£ (98), ф1 g C1+k (98) и f g C 1(S) , тогда решение задачи Дирихле для бигармонического уравнения при n > 4 или n = 3 можно представить в виде u (x) = —faog о(Л) ^TA^G4< x ,Л) ds Л--faog1(^)A^G4( x ,Л) ds^ + — fQG4( x ,Л) f (Л) d^ , tonJQ1       dv 5            5   tonJdQ        5            5   ton где ton - площадь единичной сферы в Rn.

Далее нам понадобится еще следующее утверждение.

Лемма 1 [5]. Пусть функция g ( x ) непрерывна на 9Q или Q . Тогда для любого k g N

L g ⁽ S^ky ) ds у = J g ⁽ y ) ds у ,  L g ⁽ S^ky ) dy = f_n g ⁽ y ) dy •

J dQ          y JdQ        y    Q            JQ

Докажем вспомогательную теорему существования для решения задачи (1), (2).

Теорема 2. Пусть коэффициенты {ak :k = 1,...,l}  оператора L такие, что Mk ^ 0 при k = 1,...,l и g0 g C2+£(dQ), g1 g C1+k(dQ) и f g C 1(Q) . Тогда решение задачи Дирихле (1), (3)

существует и единственно и может быть представлено в виде

Турметов Б.Х., Карачик В.В.

и (x) = — L gо (5)—A5G4 (x, 5) ds5 -ωn ∂Ω

— J g1(5)A5G4(x,5)ds5 + — JGG4xx,5)JLf (5)d5 ,(8)

ωn∂Ω                  ωnΩ где оператор JL определен в (5).

Доказательство. Обозначим v ( x ) = I_lu ( x ). В [14] показано, что и ( x ) = J_Lv ( x ). В силу леммы

• 4 из [14] о коммутативности операторов Is и A , Is и Л , учитывая равенство — и |_да = Л и | _5Q ∂ ν

задачу (1), (3) можно переписать в виде

• ^A 2 v ^{( x} ) = ^{f ( x} ), ^{x еQ} ; v ^= I L g о ⁽ s ), ^Ли ^ I L g i ⁽ s ), s ^едQ. .               (9)

Ясно, что g0 е C2+£ (SQ) ^ ILg0 е C2+£ (SQ), g1 е C1+£ (SQ) ^ ILg1 е C1+£ (dQ), и значит, ре шение задачи Дирихле (9) существует и единственно. В силу теоремы 1 это решение можно представить в виде v (x) = — I,nlLg o(5)ЛA5G4( x ,5) ds5-J^-UK G:< x, 5) ds^ + — JG4( x ,5) f (5) d5.

• _{ω n} ∂Ω         ^{ξ       ξ} _{ω n} ∂Ω        ^{ξ       ξ} _{ω n} Ω

Применяя оператор JL к обеим частям равенства и учитывая при этом и (x) = JLv(x), полу- чим

^{1 и ( x} ) =-- ^J L LA g 0 ^{( 5 ) ЛA} 5 ^G 4 ^{( x , 5 ) ds} 5 ^-

∂Ω

ω _n

Jl L l L g 1 ( 5 )A 5 G 4 ( x , 5 ) ds 5 + — Jl L g 4 < x , 5 ) f ( 5 ) d 5 .              (10)

∂Ω                            Ω

ω _n ω _n

В полученном выражении преобразуем сначала последний интеграл. Нетрудно видеть, что | S^kx - S^k 5 | = | S^k ( x - 5 )| = | x - 5 1, а значит, в соответствии с E ₄( S^kx , S k 5 ) = E ₄( x , 5 ) и, следовательно, учитывая (7), найдем G₄(S^kx , S^k 5 ) = G₄(x, 5) . Далее в силу леммы 1

i S k f_n G 4 ( x , 5 ) f ( 5 ) d 5 = f_n G 4 (S^kx , S^k 5 ) f ( S^k 5 ) d 5 = f_n G 4 ( x , 5 ) i S k f ( 5 ) d 5 .

Поэтому согласно формуле (5)

l

Jl J G 4 ( x , 5 ) f ( 5 ) d 5 = £ C k i_S k - 1 L G 4 ( x , 5 ) f ( 5 ) d 5 = L G 4 ( x , 5 ) J L f ( 5 ) d 5 .

k = 1

Аналогично по лемме 1 получим

Jl L Q^ g o ( 5 ) £a ^ G 4( x , 5 ) ds 5 = J_5n JL^? o ( 5 ) ^A ^ G 4 ( x , 5 ) ds ^

Jl J_sn^ g 1 ( 5 ) A ^ G 4 ( x , 5 ) ds ^  J J L g 1 ( 5 ) A ^ G 4 (x , 5 ) ds ^ .

Таким образом, решение и ( x ) из (10) можно переписать в виде

^{и ( x} ) =-- J L I L g 0 ^{( 5 ) ЛA} 5 ^G 4 ^{( x} , ^{5 ) ds} 5 ^-

∂Ω

ω _n

1,_o J L l L g 1 ( 5 ) A 5 G 4 ( x , 5 ) ds 5 + — J_o G ₄( x , 5 ) J L f ( 5 ) d 5 .              (11)

ω _n ^∂Ω                       ω _n ^Ω

В силу формул ^{(5) и} и ( x ) = JlV ( x ) верны равенства i ( 5 ) = i L g i ( 5 ) , g i ( 5 ) = Jl^ t i ( 5 ) , из ^которых следует, что J L I L g i ( 5 ) = g i ( 5 ) при i = 1,2 для произвольной функции g i ( 5 ) на dQ . Поэтому (11) преобразовывается к (8). Теорема доказана.

Следствие. Пусть v ₀( x ) и v 1 ( x ) - гармонические в Q функции такие, что v ₀( x )| _dQ= g ₀ и v 1 ( x ) | _dQ= g 1 , тогда решение задачи Дирихле (1), (3) можно записать в виде

u ⁽ x ) = ^ 0 ⁽ x ) ^{+ 1  1} x ^{1 Л} V 0 ⁽ x ) ^{— 1 I} x ¹ V 1 ⁽ x ) ⁺ — J G ⁽ x , § J L f⁽ ^ ) d § .

2             2          to n ^Q

Полученная формула следует из теоремы 2 и из представления решения задачи Дирихле для однородного бигармонического уравнения

А2u0(x) = 0 x eQ;  u0 |dQ= g0(5), lu0 |dQ= g1(5), 5 e 5Q dv в форме

/ \      , X. 1— । x I2 Л / A 1— I x I2   , A u 0(x) = vo(x)+ —2— Л V0(x)2— 4 (x), полученной в [18].

Пример 2. Пусть S - симметричная матрица такая, что S2 = E и, значит, l = 2 . Задача (1), (2) примет вид a1A2u(x) + a2А2u(Sx) = f(x),x e Q;  u ^g0(5), |u- |an= gi(5), 5 e SQ.

dv

В этом случае l = 2 , 2 1 = e ⁿ = — 1, 2 2 = e ² i ⁿ = 1, д = a 1 — a ₂ , д ₂ = a 1 + a ₂ и

A =

a 1    a 2

V a 2    ^a 1 J

, det A = ц 1 * ц ₂ = a ^ — a 2 .

Пусть a 2 — a2 ^ 0 ^ a1 ^ ±a2. По формуле (4) найдем ci =

1 ^   1    1

^ ⁰

² k = 1 ² k ^ k

( -+-1

(   1

^c 2 =

1^   1    1

² k = 1 ² k M k  ² V ^— ^ 1

² V A  ^ 2 J

+

2 V a 1 — a₂

" 2 J

(

V a

+     ¹    '

a ₂ + a 1 _J

a 1

""2     2 , a1 — a 2

—

x

—+--- a 2   a 2 + a1 J

— a ₂

“2   2

a 1 — a ₂

и, значит,

J_Lf = C 1 f ( x ) + c 2 f ( Sx ) = a ¹ f ^{( x} ' , ^a 2 f ^{( Sx} ) .

a 1 — a ₂

В соответствии со следствием решение задачи (12) может быть записано в виде

• 1 — I x I² л        1 — I x I²         1f^ / a ^a\f ( § ) — aj ( S ^ ),,

u ⁽ x ) = ^ 0 ⁽ x ) ⁺------- ^Л V 0 ⁽ x )------ V 1 ⁽ x ) ⁺ — I G 4 ⁽ x , § ) -¹--------------- d § .

• ^{2             2}          to n ^Q             a t — a 2

Существование решения задачи Неймана. В этом разделе исследуем существование решения задачи Неймана (1), (2). Пусть G ₄( x , y ) - функция Грина (7) классической задачи Дирихле для бигармонического уравнения в единичном шаре. Заметим, что явный вид функции Грина задачи Неймана для уравнения Лапласа в единичном шаре в случае n = 2 и n = 3 приводится в учебниках по уравнениям в частных производных, а в случае размерности n >  4 она построена в работах [19, 20].

Теорема 3. Пусть коэффициенты    { a_k : k = 1,..., l }    оператора L такие, что

^ _k = a X +... + a_l 2 l^t_{— 1} ^ 0, при k = 1,..., l и f e C ²( Q ), g ₀( x ) e C^{3 +£} ( dQ ), g 1 ( x ) e C^{2 +£} ( dQ ), £ >  0. Для разрешимости задачи (1), (3) необходимо и достаточно следующее условие ²

L ( g 0 ( x ) — g 1 ( x )) d5 x +    L ,   f ( x ) dx = 0.                     (13)

cQ                  ^ QI 2

Если решение задачи существует, то оно единственно с точностью до постоянных и может быть представлено в виде

• / X f¹   / X dt

^{u ( x} ) = Jo ^{w ( tx )-}р                                      ⁽¹⁴⁾

где

Турметов Б.Х., Карачик В.В.

w(x ) = — J _ g 0 ^{( S )}    ^4 ⁽ x , ^{S )} ds ^ -

ωn ∂Ω

-—Ug 0(S) + gi(S))A^G4( x ,S) ds5 + — f^C x ,S) Jl (Л + 4) f (S) dS,(15)

∂ΩΩ nn и оператор JL определен в (5), а функция G4(x, S) в (7).

Доказательство. Сначала доказывается, что решение задачи (1), (3) представляется в виде

(14), (15) при условии, что w(0) = 0. Затем, на основании работы [20], устанавливается, что w( x) = wo( x) +—J G4( x ,S)^ + 4) JLf (S) dS, ωn Ω где

• 1 -    I x |² А / X   1 - I x |²   / A

wo (x) = vo (x) + —2— ^Vo (x)--2— V1(x), а v0(x) и v1(x) - гармонические в Q функции такие, что v0(x)|dQ= g0 и V (x) |dQ= g0 + gx.

Лемма 2. Общее решение уравнения ( Л + 4) v ( x ) = 0 имеет вид

V ( x ) = C ( ln( x ₂ / x ₁),.. .,ln( xn I x ₁) ) x - ⁴ , где C ( t ₂ ,..., т _п ) - произвольная дифференцируемая функция.

На основании леммы 2 доказывается, что условие разрешимости w (0) = 0 является необходимым и достаточным условием разрешимости задачи Неймана (1), (2).

Лемма 3. При n >  3 справедливо равенство

J G 4 (0, S )( Л + 4) f ( S ) d S =(t.¹- ^ ² f ( S ) d S , vQ                          vQ 4

где G ₄( x , S ) - функция Грина задачи Дирихле для бигармонического уравнения в шаре (7).

С помощью леммы 3 условие разрешимости задачи Неймана w (0) = 0 приводится к виду (13). Теорема доказана.

Исследование выполнено при поддержке грантового финансирования Комитета науки Министерства образования и науки Республики Казахстан в рамках научного проекта № АР08855810 и финансовой поддержке Правительства РФ (Постановление № 211 от

16.03.2013 г.), соглашение № 02.A03.21.0011.

• 1.    Нахушев, А.М. Уравнения математической биологии / А.М. Нахушев. – М.: Высш. шк., 1995. – 301 с.

• 2.    Андреев, А.А. Об аналогах классических краевых задач для одного дифференциального уравнения второго порядка с отклоняющимся аргументом / А.А. Андреев // Дифференц. уравнения. – 2004. – Т. 40, № 8. – C. 1126–1128.

• 3.    Ashyralyev, A. Well-posedness of a parabolic equation with involution / A. Ashyralyev, A.M. Sarsenbi // Numerical Functional Analysis and Optimization. – 2017. – Vol. 38, no. 10. – P. 1295– 1304.

• 4.    Ashyralyev, A. Well-posedness of an elliptic equation with involution / A. Ashyralyev, A.M. Sarsenbi // Electronic Journal of Differential Equations. – 2015. – № 284. – С. 1–8.

• 5.    Karachik, V.V. On the solvability of the main boundary value problems for a nonlocal Poisson equation / V.V. Karachik, A.M. Sarsenbi, B.Kh. Turmetov // Turkish Journal of Mathematics. – 2019. – Vol. 43, no. 3. – P. 1604–1625.

• 6.    Kirane, M. Inverse problems for a nonlocal wave equation with an involution perturbation / M. Kirane, N. Al-Salti // Journal of Nonlinear Sciences and Applications. – 2016. – Vol. 9, Iss. 3. – P. 1243–1251.

• 7.    Skubachevskii, A.L. Nonclassical boundary value problems. I / A.L. Skubachevskii // Journal of Mathematical Sciences. – 2008. – Vol. 155, Iss. 2. – P. 199–334.

• 8.    Skubachevskii, A.L. Nonclassical boundary-value problems. II / A.L. Skubachevskii // Journal of Mathematical Sciences. – 2010. – Vol. 166, Iss. 4. – P. 377–561.

• 9.    Przeworska-Rolewicz, D. Some boundary value problems with transformed argument / D. Przeworska-Rolewicz // Commentationes Mathematicae. – 1974. – Vol. 17, no. 2. – P. 451–457.

• 10.    Карачик В.В. Об одной задаче типа Неймана для бигармонического уравнения / В.В. Ка-рачик // Математические труды. – 2016. – Т. 19, № 2. – С. 86–108.

• 11.    Sadybekov, M.A. On boundary value problems of the Samarskii–Ionkin type for the Laplace operator in a ball / M.A. Sadybekov, A.A. Dukenbayeva // Complex Variables and Elliptic Equations. – 2020. – P. 1–15.

• 12.    Karachik, V.V. On solvability of some nonlocal boundary value problems for biharmonic equation / V.V. Karachik, B.Kh. Turmetov // Mathematica Slovaca. – 2020. – Vol. 70, Iss. 2. – P. 329–342.

• 13.    Karachik, V.V. Solvability of one nonlocal Dirichlet problem for the Poisson equation / V.V. Karachik, B.Kh. Turmetov // Novi Sad Journal of Mathematics. – 2020. – Vol. 50, no. 1. – P. 67– 88.

• 14.    Турметов Б.Х., Карачик В.В. О задаче Дирихле для нелокального полигармонического уравнения / Б.Х. Турметов, В.В. Карачик // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математика. Механика. Физика. – 2021. – Т. 13, № 2. – С. 37–45.

• 15.    Karachik, V.V. Greens function of Dirichlet problem for biharmonic equation in the ball / V.V. Karachik // Complex Variables and Elliptic Equations. – 2019. – Vol. 64, no. 9. – P. 1500–1521.

• 16.    Карачик, В.В. Функции Грина задач Навье и Рикье–Неймана для бигармонического уравнения в шаре / В.В. Карачик // Дифференциальные уравнения. – 2021. – Т. 57, no. 5. – P. 673–686.

• 17.    Karachik V. Green's functions of some boundary value problems for the biharmonic equation. Complex Variables and Elliptic Equations. – 2021. (Online).

• 18.    Karachik, V. Dirichlet and Neumann boundary value problems for the polyharmonic equation in the unit ball / V. Karachik // Mathematics. – 2021. – Vol. 9, no. 16. – Article no. 1907.

• 19.    Karachik, V.V. Оn the Green's function for the third boundary value problem / V.V. Karachik, B.K. Turmetov // Siberian Advances in Mathematics. – 2019. – Т. 29, no. 1. – P. 32–43.

• 20.    Sadybekov, M.A. Representation of Green’s function of the Neumann problem for a multidimensional ball / M.A. Sadybekov, B.T. Torebek, B.K. Turmetov // Complex Variables and Elliptic Equations. –2016. – Vol. 61, no. 1. – P. 104 –123.

Поступила в редакцию 9 февраля 2022 г.

NEUMANN BOUNDARY CONDITION FOR A NONLOCAL BIHARMONIC EQUATION

B.Kh. Turmetov1, V.V. Karachik2

Турметов Б.Х., Задача Неймана для нелокального бигармонического уравнения Карачик В.В.