Задача о наклонной производной для гармонических функций

Для исследования задачи о наклонной производной для гармонических функций в [1] предложен метод редукции этой задачи к исследованию некоторой динамической системы. В [2] этот метод получил дальнейшее развитие. Задачу о наклонной производной будем рассматривать в следующей постановке: найти регулярную в шаре ^: {x2 + у2 + z2 < 1} непрерывно-дифференцируемую в замкнутом шаре ^ гармоническую функцию и, удовлетворяющую на сфере 5: {x2 + у2 + z2 = 1} условию au + bu + cu = f,                                (1)

xyz где a, b, c и f – непрерывно дифференцируемые на S функции. Здесь будет рассмотрена задача (1) при a = x, b = у, c = -(z - в) при помощи дальнейшего усовершенствования метода работы [2].

Если функция и гармоническая, то функция w = xux + yuy - (z - в)uz является бигармо-нической и имеет место представление w = q0 + (1 - x2 - у2 - z2)q1, где q0 и q1 - регуляр ные в шаре ^ гармонические функции [3]. Функции u, q0 и q1 связаны соотношениями [2].

^xu x ⁺ y^u y ^{- (} z ^{- в ) u} z = q 0 ^{+ (1 -} x ^{2 - у 2 -} z ² ) q 1 ,

*                                                                                           (2)

2 u z + 2 r -q^ + 3 q 1 .

I          dr

Причем на сфере функция q ₀ совпадает с f .

Покажем, что для любой наперед заданной гармонической функции q ₀ всегда найдется гармоническая функция q ₁ такая, что система (2) справедлива для некоторой гармонической функции u .

Как известно [4], всякую регулярную в шаре гармоническую функцию h ( x , y , z ) можно представить абсолютно сходящимся в шаре рядом по шаровым функциям. Перегруппировав в этом ряде члены для h , можно получить представление

В.В. Кибирев. Задача о наклонной производной для гармонических функций h (x, y, z) = £ hi (x2 + y2, z) P (x, y),                          (3)

l = 0

где P l - однородные гармонические полиномы степени l от двух переменных, а функция (t, z) удовлетворяет уравнению:

²Л        д2/?в

— + 4 1 ^^e + 4( l + 1) ^ h- = 0                      (4)

d z²        d t^{2     V}       д t

Для регулярной в шаре ^ гармонической функции h все функции h l определяются однозначно аналитической в круге | z | функцией h l (0, z ) одного комплексного переменного [5].

Пусть u = u l ( x ² + y ², z ) P l ( x , y ), q о = q 0 l ) ( x ² + y ², z ) P l ( x , y ), q i = q 1 l ) ( x ² + y ², z ) P l ( x , y ) . Тогда для l =0, т.е. для осесимметричных функций из (2) имеем

- ( ^z - ^p ) u z ^{(0, z} ) = q 0 ^{+ (1} - ^{z 2}) q i ,

2 u_B (0, z ) = 2 z ^q ¹ + 3 q i ,

I                dz где q0 = q0 (0,0, z), q1 = q1 (0,0, z). Из первого уравнения последней системы найдем uz (0, z) =

q0     (1 — z2) qi z - в z - в

Продифференцируем это выражение по Z, подставим во второе и после элементарных преобразований получим уравнение q - Г 1 + 3в - z 1 q = q q (z pl q1 [ z - в 2(1 - zp) ] q1 (z - в)(1 - ze).

Решая это линейное уравнение первого порядка, находим q ₁.

Замечание. При р| > 1 с должно быть равно 0, т.к. в противном случае порождается слагаемое, которое дает особенность. Т.о., по известной функции q0 мы нашли функцию q1, функция q1 всегда существует, если нет особенности в подынтегральном выражении. Решим уравнение xux+yuy- (z- в) uz = q 0+ (1 - x 2 - у 2 - z2) q1.                  (5)

Соответствующее однородное уравнение будет:

xU x + yU y - ( z - в ) U z = 0.

Решив его, найдем общее решение однородного уравнения в виде

^U = ф\^{x ( z - в )}, y ^{( z - в )} ] .

Равенство (5) в цилиндрических координатах перепишется так:

^l u ^{- ( z - в )} l u = F 1^{( x} , y , ^z ),                          ⁽⁶⁾

dp        dz где через F1 (x, y, z) обозначили правую часть уравнения (5).

Чтобы решить неоднородное уравнение, сделаем следующую замену переменных

§ = р(z - в), Z = z, ф = ф, тогда уравнение (6) примет вид d u_ F (ф, §,Z ) .

d Z     z - р

Проинтегрировав это выражение по S, получим u = x(ф,§) - I F(фр’') dt .                          (7)

Векторное поле, по направлению которого берется производная, выходит в касательную к сфере плоскость вдоль двух окружностей:

р=4 1 - z2,

^Z 1,2 = 4 ^{в +} 7 ^{в +} 8).

Причем Z i = 4 ( в + 7 в ² + 8, z 2 = 4 ( в —Т в ²+ 8 . Тогда, подставляя в выражение ( z ) вместо z ₁ , получим:

u = x( ф^ - Z F^[<^_nt ) dt .                          (8)

z t - в

Аналогичное равенство имеем и для z ₂ . Таким образом, мы получили решение искомого неоднородного уравнения.

Из характера того произвола, с которым определяется функция q ₁ через функцию q ₀ , вытекает справедливость следующего утверждения.

Теорема. Задача (1) имеет единственное решение, удовлетворяющее условиям u / L = p(ф), u / M = q(ф), где p и q – любые наперед заданные непрерывно дифференцируемые функции, а L и M – это окружности выхода векторного поля в касательную к сфере плоскость.

Заключение

Таким образом, доказана теорема о том, что задача (1) о наклонной производной для гармонических функций имеет единственное решение, удовлетворяющее определенным условиям.