Задача оптимального измерения для модели измерительного устройства с детерминированным мультипликативным воздействием и инерционностью

• 1.    Задача оптимального измерения

При моделировании динамических процессов возникают математические и инженерные задачи в различных областях технических наук [1, 2]. Среди них особо выделяют проблематику динамических измерений, это обусловлено изменением требований к результатам измерений, которое является следствием выдвигаемых требований к качеству испытаний и эффективности производства. Так, одной их наиболее значимых в теории динамических измерений является проблема восстановления измеряемого сигнала. Отметим, что эта задача математически некорректна, поэтому для ее решения А.Л. Шестаковым и его учениками были предложены технически обоснованные гипотезы [2], решения которых были воплощены « в металл » . Затем А.Л. Шестаковым и Г.А. Свиридюком для решения задачи восстановления динамически искаженного сигнала было предложено использовать методы теории оптимального управления [3], а полученную задачу – называть задачей оптимального измерения. Построенная математическая модель – модель Шестакова – Свиридюка – позволила начать численные исследования задачи оптимального измерения [4], опираясь на результаты о численных решениях задачи Коши для систем леонтьевского типа [5].

Для постановки задачи оптимального измерения для модели измерительного устройства с учетом детерминированного мультипликативного воздействия и инерционности введем в рассмотрение пространство состояний № = {x G L2((0, т);Rn) : x Е L2((0, т);Rn)}, пространство измерений U = {u Е L2((0,т); Rn) : up+1 Е L2((0,t); Rn)} и пространство наблюдений Y = N [К] при некотором фиксированном т Е R+. Выделим в U замкнутое и выпуклое подмножество U∂ – множество допустимых измерений. Требуется найти оптимальное измерение v Е Ud почти всюду на (0, т), удовлетворяющее системе леонтьевского типа

Lx(t) = a(t)Mx(t) + Du(t),

y(t) = Nx(t),(2)

при начальных условиях Шоуолтера – Сидорова [6]

[RL(M)]p+1(x(0) - xo) = 0, минимизирущее значение функционала

1 T

J^(u) = 52 / b y ^{(q) (x(u),t)} - y dq^{) (t)} h ^{2 d}t. q=^o0

Здесь x = (x 1 , X 2 , ..., x n ) и x = (x 1 ,x 2 ,...,x n ) — вектор-функции состояния и скорости изменения состояния измерительного устройства соответственно; u = (u i ,u 2 ,..., u n ) и У = (У 1 ,У ₂ ,... ,y m ) — вектор-функции измерений и наблюдений измерительного устройства соответственно; y d = (y di , y d 2 , ..., У dm ) — наблюдение, полученное в ходе натурного эксперимента; n – число параметров состояния системы; L и M – квадратные матрицы порядка n (det L = 0), предстваляющие собой взаимовлияние скоростей изменения состояния и собственно состояния измерительного устройства, при этом скалярная функция a : (0, т ) ^ R + , описывает изменение во времени параметров системы этих взаимовлияний; квадратная матрица D порядка n и прямоугольная матрица N размера m x n, характеризуют взаимовлияние параметров измерения и связь между состоянием системы и наблюдением соответственно, функция a : (0, т ) ^ R n будет описана ниже.

Отметим, что представленная модель датчика, описываемая системой леонтьевского типа (1), содержит мультипликативное воздействие a(t) на измерительное устройство, то есть система (1) нестационарна (разрешимость таких систем в более общем случае рассматривается, например, в [7]). Кроме того, системы леонтьевского типа являются конечномерным аналогом уравнений соболевского типа [8], и при изучении задачи оптимального измерения воспользуемся результатами о существовании решения задачи оптимального управления для (1), полученными в [9].

2.    Точное и приближенное решениязадачи оптимального измерения

Пусть L и M — квадратные матрицы порядка n, det L = 0. Следуя [8], будем называть множества p^L(M ) = { р Е C : det(pL — M ) = 0 } и a ^L (M ) = C \ p^L(M ) соответственно L- резольвентным множеством и L- спектром матрицы M . Нетрудно показать, что либо p ^L (M) = 0 , либо L-спектр матрицы M состоит из конечного множества точек [8]. Кроме того, множества p ^L (M ) и a ^L (M) не изменяются при переходе к другим базисам.

Для комплексной переменной р Е C определим матрично-значные функции (pL — M ) ^- RL(M ) = (pL — M ) ^{- 1} L, L L (M) = L(pL — M ) ^{- 1} с областью определения p^L(M ) и будем их называть соответственно L- резольвентой, правой и левой L- резольвентами матрицы M .

Определение 1. Матрица M называется L-регулярной, если p ^L (M ) = 0 и (L,p) -регулярной, при p равном порядку полюса в го для функции det(pL — M ) ^{- 1} .

Замечание 1. Если бесконечность является устранимой особой точкой L-резольвенты матрицы M , то p = 0. Для квадратных матриц параметр p не может превосходить размерности пространства n.

А.В. Келлер, М.А. Сагадеева

В силу результатов [9] справедлива следующая

Теорема 1. Пусть матрица M (L,p)-регулярна и det M = 0. Тогда для любых x g G R n , u G U и a G C ^p+1 ([0, т]; R + ), отделенной от нуля, существует единственное решение x G №

задачи Шоуолтера – Сидорова (3) для (1) , имеющее вид

x(u,t) = lim x k (u,t) = lim k ^^         k ^^

t

+/I(L

^^^^^^^^.

1 M k

t

o

j a(z)dz

L

s

L

^^^^^^^^.

L

1 M k

^^^^^^^^.

t

к

j a ^{( z} )d ^z

L

x o +

o

1   \ - 1

- M\  (kL^M )) ^p Du(s)ds+

+

£ MM ^{- 1} ((kL f (M)) ^P+1 - I^l/ M ^{- 1}

q =0

( i . -№(M)W J- d у Duo a ( t ) dt     a ( t )

причем выражение

(—-У a ( t ) dt

в последнем слагаемом означает последовательное приме-

нение q раз данного оператора.

Выражением (5) определены точное x(u, t) и приближенное X k (u, t) решения задачи (1), (3). Решением задачи оптимального измерения является функция v G U g такая, что

J (v) =     min    J (u),

(u,x(u))eUa xR где функционал J(u) имеет вид (4), и пара (u, x(u)) G Ug x № удовлетворяет системе (1), (2) с начальным условием (3).

В силу результатов, полученных в [10], справедлива следующая

Теорема 2. Пусть матрица M (L, p)-регулярна, p G { 0 }U N и det M = 0. Тогда при любых x g G R ⁿ , u G U и a G C ^р+1 ([0,т];R + ), отделенной от нуля, существует единственная пара (v,x(v)) такая, что x(v) — сильное решение задачи Шоуолтера - Сидорова (3) для системы (1) , (2) , а функция v минимизирует (6) c функционалом (4) , причем они связаны формулой

x(v) = lim x k (v,t).

k ^^

Следуя [10], опишем приближенные решения задачи оптимального измерения. Заменим пространство управлений U на конечномерное пространство U ^£ = H j⁺¹ (R ⁿ ) вектор-

(£          £              £ многочленов вида u£

У^ C1j tj,     C2j tj, . . . УУ Cnj tj j=o      j=0          j=0

Учитывая вид (5), необходимо чтобы £ > p. Подставляя u£ вместо u в (5) и (4), будем рассматривать задачу минимизации функционала J(v£) = min J(u£ ), в результате получим u^eUd решение (v£,x£), причем x£ = x(v£,t) = lim xk(v£,t).

k ^^

Приближенным решением задачи оптимального измерения (1) – (4), (6) является функция v k (t), минимизирующая функционал

1 т

J k (u ^£ )= £ /hNx k^q) q=^g0

(u ^£ ,t) - y d^q) (t) H ² dt-

Сходимость таких приближенных решений к точному доказана в [10].