Задача оптимального измерения для модели измерительного устройства с детерминированным мультипликативным воздействием и инерционностью

Бесплатный доступ

В последнее время результаты теории уравнений соболевского типа активно применяются для измерения динамически искаженных сигналов. В данной работе рассматривается задача оптимального измерения для системы, на которую произведено известное мультипликативное воздействие, которое имеет вид скалярной функции переменной t. Построены точное и приближенное решения задачи оптимального измерения для указанной системы. Статья состоит из двух частей. В первой части формулируется постановка задачи оптимального измерения для системы с детерминированным мультипликативным воздействием, а во второй приводятся формулы точных и приближенных решений рассматриваемой задачи.

Еще

Оптимальное измерение, система леонтьевского типа, модель шестакова-свиридюка

Короткий адрес: https://sciup.org/147159247

IDR: 147159247   |   DOI: 10.14529/mmp140111

Текст краткого сообщения Задача оптимального измерения для модели измерительного устройства с детерминированным мультипликативным воздействием и инерционностью

  • 1.    Задача оптимального измерения

При моделировании динамических процессов возникают математические и инженерные задачи в различных областях технических наук [1, 2]. Среди них особо выделяют проблематику динамических измерений, это обусловлено изменением требований к результатам измерений, которое является следствием выдвигаемых требований к качеству испытаний и эффективности производства. Так, одной их наиболее значимых в теории динамических измерений является проблема восстановления измеряемого сигнала. Отметим, что эта задача математически некорректна, поэтому для ее решения А.Л. Шестаковым и его учениками были предложены технически обоснованные гипотезы [2], решения которых были воплощены « в металл » . Затем А.Л. Шестаковым и Г.А. Свиридюком для решения задачи восстановления динамически искаженного сигнала было предложено использовать методы теории оптимального управления [3], а полученную задачу – называть задачей оптимального измерения. Построенная математическая модель – модель Шестакова – Свиридюка – позволила начать численные исследования задачи оптимального измерения [4], опираясь на результаты о численных решениях задачи Коши для систем леонтьевского типа [5].

Для постановки задачи оптимального измерения для модели измерительного устройства с учетом детерминированного мультипликативного воздействия и инерционности введем в рассмотрение пространство состояний № = {x G L2((0, т);Rn) : x Е L2((0, т);Rn)}, пространство измерений U = {u Е L2((0,т); Rn) : up+1 Е L2((0,t); Rn)} и пространство наблюдений Y = N [К] при некотором фиксированном т Е R+. Выделим в U замкнутое и выпуклое подмножество U∂ – множество допустимых измерений. Требуется найти оптимальное измерение v Е Ud почти всюду на (0, т), удовлетворяющее системе леонтьевского типа

Lx(t) = a(t)Mx(t) + Du(t),

y(t) = Nx(t),(2)

при начальных условиях Шоуолтера – Сидорова [6]

[RL(M)]p+1(x(0) - xo) = 0, минимизирущее значение функционала

1 T

J(u) = 52 / b y (q) (x(u),t) - y dq) (t) h 2 dt. q=o0

Здесь x = (x 1 , X 2 , ..., x n ) и x = (x 1 ,x 2 ,...,x n ) — вектор-функции состояния и скорости изменения состояния измерительного устройства соответственно; u = (u i ,u 2 ,..., u n ) и У = 1 2 ,... ,y m ) — вектор-функции измерений и наблюдений измерительного устройства соответственно; y d = (y di , y d 2 , ..., У dm ) — наблюдение, полученное в ходе натурного эксперимента; n – число параметров состояния системы; L и M – квадратные матрицы порядка n (det L = 0), предстваляющие собой взаимовлияние скоростей изменения состояния и собственно состояния измерительного устройства, при этом скалярная функция a : (0, т ) ^ R + , описывает изменение во времени параметров системы этих взаимовлияний; квадратная матрица D порядка n и прямоугольная матрица N размера m x n, характеризуют взаимовлияние параметров измерения и связь между состоянием системы и наблюдением соответственно, функция a : (0, т ) ^ R n будет описана ниже.

Отметим, что представленная модель датчика, описываемая системой леонтьевского типа (1), содержит мультипликативное воздействие a(t) на измерительное устройство, то есть система (1) нестационарна (разрешимость таких систем в более общем случае рассматривается, например, в [7]). Кроме того, системы леонтьевского типа являются конечномерным аналогом уравнений соболевского типа [8], и при изучении задачи оптимального измерения воспользуемся результатами о существовании решения задачи оптимального управления для (1), полученными в [9].

2.    Точное и приближенное решениязадачи оптимального измерения

Пусть L и M — квадратные матрицы порядка n, det L = 0. Следуя [8], будем называть множества pL(M ) = { р Е C : det(pL M ) = 0 } и a L (M ) = C \ pL(M ) соответственно L- резольвентным множеством и L- спектром матрицы M . Нетрудно показать, что либо p L (M) = 0 , либо L-спектр матрицы M состоит из конечного множества точек [8]. Кроме того, множества p L (M ) и a L (M) не изменяются при переходе к другим базисам.

Для комплексной переменной р Е C определим матрично-значные функции (pL M ) - RL(M ) = (pL M ) - 1 L, L L (M) = L(pL M ) - 1 с областью определения pL(M ) и будем их называть соответственно L- резольвентой, правой и левой L- резольвентами матрицы M .

Определение 1. Матрица M называется L-регулярной, если p L (M ) = 0 и (L,p) -регулярной, при p равном порядку полюса в го для функции det(pL M ) - 1 .

Замечание 1. Если бесконечность является устранимой особой точкой L-резольвенты матрицы M , то p = 0. Для квадратных матриц параметр p не может превосходить размерности пространства n.

А.В. Келлер, М.А. Сагадеева

В силу результатов [9] справедлива следующая

Теорема 1. Пусть матрица M (L,p)-регулярна и det M = 0. Тогда для любых x g G R n , u G U и a G C p+1 ([0, т]; R + ), отделенной от нуля, существует единственное решение x G №

задачи Шоуолтера – Сидорова (3) для (1) , имеющее вид

x(u,t) = lim x k (u,t) = lim k ^^         k ^^

t

+/I(L

^^^^^^^^.

1 M k

t

o

j a(z)dz

L

s

L

^^^^^^^^.

L

1 M k

^^^^^^^^.

t

к

j a ( z )d z

L

x o +

o

1   \ - 1

- M\  (kL^M )) p Du(s)ds+

+

£ MM - 1 ((kL f (M)) P+1 - I^l/ M - 1

q =0

( i . -№(M)W J- d у Duo a ( t ) dt     a ( t )

причем выражение

(—-У a ( t ) dt

в последнем слагаемом означает последовательное приме-

нение q раз данного оператора.

Выражением (5) определены точное x(u, t) и приближенное X k (u, t) решения задачи (1), (3). Решением задачи оптимального измерения является функция v G U g такая, что

J (v) =     min    J (u),

(u,x(u))eUa xR где функционал J(u) имеет вид (4), и пара (u, x(u)) G Ug x № удовлетворяет системе (1), (2) с начальным условием (3).

В силу результатов, полученных в [10], справедлива следующая

Теорема 2. Пусть матрица M (L, p)-регулярна, p G { 0 }U N и det M = 0. Тогда при любых x g G R n , u G U и a G C р+1 ([0,т];R + ), отделенной от нуля, существует единственная пара (v,x(v)) такая, что x(v) — сильное решение задачи Шоуолтера - Сидорова (3) для системы (1) , (2) , а функция v минимизирует (6) c функционалом (4) , причем они связаны формулой

x(v) = lim x k (v,t).

k ^^

Следуя [10], опишем приближенные решения задачи оптимального измерения. Заменим пространство управлений U на конечномерное пространство U £ = H j+1 (R n ) вектор-

(£          £              £ многочленов вида u£

У^ C1j tj,     C2j tj, . . . УУ Cnj tj j=o      j=0          j=0

Учитывая вид (5), необходимо чтобы £ > p. Подставляя u£ вместо u в (5) и (4), будем рассматривать задачу минимизации функционала J(v£) = min J(u£ ), в результате получим u^eUd решение (v£,x£), причем x£ = x(v£,t) = lim xk(v£,t).

k ^^

Приближенным решением задачи оптимального измерения (1) – (4), (6) является функция v k (t), минимизирующая функционал

1 т

J k (u £ )= £ /hNx kq) q=g0

(u £ ,t) - y dq) (t) H 2 dt-

Сходимость таких приближенных решений к точному доказана в [10].

Список литературы Задача оптимального измерения для модели измерительного устройства с детерминированным мультипликативным воздействием и инерционностью

  • Куропатенко, В.Ф. О моделировании динамических процессов в сферических и цилиндрических оболочках/В.Ф. Куропатенко, Ю.Н. Андреев//Вычислительная механика сплошных сред. -2010. -Т. 3, № 4. -С. 53-67.
  • Шестаков, А.Л. Коррекция динамической погрешности измерительного преобразователя линейным фильтром на основе модели датчика/А.Л. Шестаков//Известия высших учебных заведений. Приборостроение. -1991. -Т. 34, № 4. -С. 8-13.
  • Шестаков, А.Л. Новый подход к измерению динамически искаженных сигналов/А.Л. Шестаков, Г.А. Свиридюк//Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. -2010. -№ 16 (192), вып. 5. -C. 116-120.
  • Келлер, А.В. Задача оптимального измерения: численное решение, алгоритм программы/А.В. Келлер, Е.И. Назарова//Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. -2011. -Т. 4, № 3. -C. 74-82.
  • Свиридюк, Г.А. Численное решение систем уравнений леонтьевского типа/Г.А. Свиридюк, С.В. Брычев//Известия вузов. Математика. -2003. -№ 8. -C. 46-52.
  • Свиридюк, Г.А. Задача Шоуолтера -Сидорова как феномен уравнений соболевского типа/Г.А. Свиридюк, С.A. Загребина//Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. -2010. -Т. 3, № 1. -С. 104-125.
  • Сагадеева, М.А. Исследование устойчивости решений линейных уравнений соболевского типа: дис.. канд. физ.-мат. наук/М.А. Сагадеева. -Челябинск, 2006. -119 c.
  • Свиридюк, Г.А. К общей теории полугрупп операторов//Успехи математичеких наук. -1994. -Т. 49, № 4. -С. 47-74.
  • Сагадеева, М.А. Оптимальное управление решениями нестационарных уравнений соболевского типа специального вида в относительно секториальном случае/М.А. Сагадеева, А.Д. Бадоян//Вестник МаГУ. Математика. -2013. -Вып. 15. -C. 68-80.
  • Келлер, А.В. Численное решение задач оптимального и жесткого управления для одной нестационарной системы леонтьевского типа/А.В. Келлер, М.А. Сагадеева//Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. -2013. -Т. 32, № 19. -C. 57-66.
Еще
Краткое сообщение