Задача оптимального управления для эллиптического уравнения с условиями периодичности и с управлением при решении

Задачи оптимального управления для эллиптических уравнений при классических граничных условиях изучены в работах [1–6] и др. Однако эти задачи при граничных условиях периодичности исследованы существенно слабее [7, 8]. Задачи оптимального управления для эллиптических уравнений с периодическими краевыми условиями встречаются в различных областях, таких как инженерия, физика, медицина и другие. Эти задачи обычно связаны с управлением или оптимизацией физических процессов, и периодические краевые условия используются для моделирования повторяющихся процессов или условий. Они также находят применение в обратных задачах, например, медицинской визуализации и геофизической разведке, а также в оптимальном проектировании форм и управлении распределением нагрузок. [9, 10].

В настоящей работе изучается задача оптимального управления для эллиптического уравнения с условиями периодичности. Исследованы вопросы корректности постановки рассматриваемой задачи, получена формула для градиента целевого функционала и установлено необходимое условие оптимальности.

1 . Постановка задачи и его корректность

Пусть Q = { x = (x1,.. ., xn ) e Rn : 0 < x i< li, (i = 1, n)} -параллелепипед в Rn . Рассмотрим следу- ющую задачу оптимального управления для эллиптического уравнения: требуется минимизиро- вать функционал J(v) = j u(x,v)-u0(x) dx                                      (1) a на множестве V = {v = v(x) e Ls (Q): ^1 < v(x) < ^2 п.в.на О}                         (2) при условиях, что u = u (x) = u (x, v) является решением краевой задачи

- Е т[ k ( x )f u V v ( x ) u = f ( x ),   x eQ                      (3) i = 1 d x i I      d x i J u l x , .=0 = uL i = l i’ i = 1, n ,                                                    (4)

Тагиев Р.К., Мамедова А.К.

к \ ⁶ u k ( x )

d x i

к \ ⁶ u = k ( ^x ) — d x

Xi = 0                i

, i = 1, n.

x i = l i

Здесь s >  2 при n = 2 и s >  n при n >  3, ц 1 , ц ₂ >  0 - заданные числа, k ( x ), f ( x ), u o ( x ) - заданные измеримые функции удовлетворяющие следующие условия:

0 <  ^ <  k ( x ) <  ц , x gQ , f ( x ), u ₀( x ) g L ₂ ( Q ) ,                        (6)

где v , ц >  0 - заданные числа.

Обозначения используемых в работе функциональных пространств соответствуют принятым в [11, с. 23]. Ниже положительные постоянные, не зависящие от оцениваемых величин, обозначим через M.

Обозначим через W ₂ 1 ( Q ) подпространство пространства W 2 ( Q ) , состоящее из элементов

W2 (Q) удовлетворяющих условия периодичности (4). Пусть v = v(x) g V фиксированное управ ление. Обобщённым решением из W2 (Q) краевой задачи (3)-(5) назовем функцию u(x) = u(x,v)

из W 2 ( Q ) , удовлетворяющую интегральному тождеству

n

J E k ( x )

Q I i =1

d u dn d x i d x i

^

+ v ( x ) u n dx = J f ( x) n dx

J

Q

при V n = n ( x ) g W 2 ( Q ) .

Теорема 1. Краевая задача (3)-(5) при каждом заданном v = v ( x ) g V однозначно разрешима в W 2 ( Q ) и верна априорная оценка

II u I2'L< MfI.

где M >  0 не зависит от f .

Доказательство. Введем в W ₂ 1 ( Q ) новое скалярное произведение

[ u, w 1=[ V k (x) JuJw + v (x) uw dx.(9)

QIi=1    dxdxJ

В силу предположения 0 < ^ < k(x) < ц, 0 < ц1 < v(x) < ц2, x g Q, норма ||u||1 ^ ^[u,u]. эквивалентна исходной норме ||u||21Q пространства W2 (Q) [12, с.149]. Поэтому тождество (7) можно переписать в виде

[ u ,n ] = (f ,П).(10)

При фиксированном f из L ₂ ( Q ) выражение ( f , n ) определяет линейный функционал по n на W 2 ( Q ) . Кроме того, так как

I ( f , n )| <| | f || И <  M|| f|| M 1 , то этот функционал ограничен и его норма не превосходит M||f 11, где постоянна M >  0 не зависит от f и n . Тогда, по теореме Рисса [12, с.75], существует единственная функция F g W 2 ( Q ) для которого [ u , n ] = [ F , n ] при всех m g W 2 ( Q ) , и эта функция удовлетворяет неравенству ||F ||₂Q <  M||f ||. Следовательно, в W 2 ( Q ) существует единственная функция u = F , удовлетворяющая тождеству (10) или (7). Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Пусть выполнены условия (6). Тогда задача (1)–(5) корректно поставлена в слабой топологии пространства L_s ( Q ), т. е. множество оптимальных управлений V * = { v * g V : J ( v * ) = inf { J ( v ): v g V } } не пусто и любая минимизирующая последовательность { v m } c V функционала J ( v ) слабо в L_s ( Q ) сходится к множеству V * .

Математика

Доказательство. Покажем, что функционал J ( v ) слабо в L s ( Q ) непрерывен на множестве

• V . Пусть последовательная { v m } с V такова что

• vm ^ v слабо в Ls (Q),                                (11)

где v е V фиксированный элемент.

Обозначим um = um (x) = um (x, vm). Тогда, из оценки (8) при u = um, следует, что последовательность    {um}    равномерно ограничена в    W2 (Q).    B силу теоремы вложения [11, с.83], не ограничивая общности, можно считать, что um ^ и слабо в W2 (Q) и сильно в Ls (Q),

где и = и ( x ) - некоторая функция из W 2 ( Q ) .

Полагая в (7) v = v_m , и = u_m получим тождества

( n

J Ё k ⁽ x )

Q \ i =1

^д u m дy д x i д x i

Л

+ v m ( x ) U m n dx = J f ( x) y dx ,

) Q

( m = 1,2,...), V y = y ( x ) e W ₂ 1 ( Q ).                              (13)

Нетрудно видеть, что

J v m u m y dx - J vu y dx

Q         Q

J v m ^{( U} m

Q

^- u y dx + J ⁽ v m

Q

- v)uydx < ^21|um

^- u ll H

+

J ⁽ v m ^{- v} ) u y dx

Q

. (14)

Используя теоремы вложения [11, с.83] и условия s >  2 при n = 2, s >  n при n >  3 можно показать, что и у е L s /( s _{- 1} ) ( Q ). Тогда из (11), (12), (14) следует что,

J v_mu_m y dx - J vu y dx

Q         Q

^ 0, при

m ^» .

Теперь переходя к пределу в (13) и учтя соотношения (11), (12), (15) получаем, что функция и ( x ) удовлетворяет тождеству (7), т. е. и ( x ) = и ( x , v ).

Таким образом, соотношение (12) справедливо с функцией и = и (x, v) и в частности и (x, vm) ^ и (x, v) сильно в Ls (Q). (16)

Тогда из (1) и (16) следует, что J ( v_m ) ^ J ( v ) при m ^» т.е. функционал J ( v ) слабо непрерывен на V . Кроме того, так как множество V определяемое равенством (2) замкнуто, ограничено и выпукло на рефлексивном банаховом пространстве L s ( Q ) оно слабо компактно [13, с.51]. Поэтому, утверждения теоремы 2 следует из теоремы Вейерштрасса [13, с. 49]. Теорема 2 доказана.

• 3. Дифференцируемость целевого функционала и необходимое условие оптимальности.

Пусть и(x) = и(x,v) е W21(Q) является обобщенным решением из W2 (Q) сопряженной крае- вой задачи:

^^^^.

' Ет [ ^к ( x ) ^И 1 + v ( x ) и = 2 [ и ( x , v ) - и о ( x ) ] , ^дЧ   ^{д x} i )

n

д

i = 1

д x i

И x i =0 = И x i = li ’

i = 1, n ,

x eQ ,

k ( x ) ^{И д} x i

x i = 0

= k ( x ) ^{И д} x i

,

i = 1, n ,

^xi = l i

Обобщенное решение задачи (17)–(19) удовлетворяет интегральному тождеству

<

J Ё ^{k ( x} )

Q I i =1

д и ду д x i д x i

Л

+ v ( x) иу dx = 2 J [ и ( x , v ) - и ₀( x) ] y dx , ) Q

Vy = y(x) e W2 (Q).

Тагиев Р.К.,                   Задача оптимального управления для эллиптического уравнения

Мамедова А.К.                      с условиями периодичности и с управлением при решении

В силу теоремы 1 краевая задача (17)-(19) однозначно разрешима в W21 (Q) и справедлива оценка

I И 21,0 - ² MWu ⁽ x ^, v ) ^- u о⁽ x )Ц.

Отсюда и из (8) следует, что

I И 'i- 2 м ( Mf |+| u o( x )| I).                            (21)

Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда функционал (1) непрерывно дифференцируем на множестве V по норме L s ( Q ) и его градиент в точке v е V имеет вид

J '( v ) = u ( x , v И ( x , v ), x gQ.                                 (22)

Доказательство. Пусть v е V - фиксированное управление, A v е L s ( Q ) - его приращение такое, что v + A v е V . Обозначим A u = A u ( x ) = u ( x , v + A v ) - u ( x , v ), x gQ. Из (7) следует, что функция A u е W 2 ( Q ) удовлетворяет интегральному тождеству

n j Sk (x)

Q L i =1

dA u dn d x i d x i

+ ( v ( x ) + A v ( x )) A u n = - j A v ( x ) u n dx , - Q

V n = n ( x ) е W 2 ( Q ) . (23)

Кроме того, в силу (8) для A u верна оценка:

II^A u lfw < M ll^{A vu} lI-

Тогда, используя неравенство (1.7 ' ) из [14, с.75] и ограниченность вложения

^W 2 ^{( Q} ) ^ L 2 s /( s - 2) ^{( Q )} Получаем

I A u | £- M ||A v i s. qI H2 s л- M |A v i s , _o| H l^                    (24)

s -2

Приращение A J ( v ) = J ( v + A v ) - J ( v ) функционала (1) представим в виде

A J ( v ) = 2 j [ u ( x , v ) - u ₀( x )] A u ( x ) dx + ||A u ||².                           (25)

Q

В тождестве (20) положим n = Au, в (23) n = И, вычтем полученные равенства и придем к равен- ству

2 j [ u ( x , v ) - u o ( x ) ] A u ( x ) dx = j ( u w + A u w ) A vdx .

Q	Q
Отсюда и из (25), получим	A J ( v ) = j u wA vdx + R ,                                 (26) Q
где	R = |A u 2 + j A u wA vdx .                                (27) Q

Используя неравенство (1.8) из [14, с.75], ограниченность вложения W^Q) ^ L2s/(s-1)Q и оценки (24), имеем j A uWAvdx < ||A u|| 2sL ,Q I^H 2У ,Q ||A vs ,Q < M ||A u| ^ ЦgQ ||A vs ,Q < M ||u| I^q I HI 21,0 (IIA vlls ,Q ) • (28)

Q                      s-1

Кроме того, используя неравенство Коши–Буняковского и оценки (24), имеем

IR|

2,Q 2,Q       2,Q

Тогда из (26), (29) следует, что функционал J (v) (5) дифференцируем и его градиент имеет вид (22).

Покажем, что отображение v ^ J (v) непрерывно действует из V в Ls,(Q), где Ls,(Q) - со пряженное пространство к Ls (Q), s' = s / (s -1). Пусть

Математика

Ay = y(x, v + Av) - у (x, v),   у = y(x) = у (x, v).

Из (17)-(19) следует, что Ay является обобщенным решением из W2¹(Q) краевой задачи

n -E— trdx	k (x) dy ^ i      dxi)	+ (v + A v )Ay = 2 A и (x, v),  x eQ,	(30)
	Ayl x;=0	= Ay|xi = li,              i = 1, n,	(31)
adAy        5Ay        . — k (x)------ = k (x)------ , I = 1, n, 5x          3x i x; =0                   i x; = l i			(32)

Рассуждая аналогично выводу оценки (21) и используя оценки (24), можно показать, что для решения задачи (30)–(32) верна оценка

II^АУ 21^ 2 M²Il^A<.J Н £ •                       (33)

Используя неравенство (1.7 ' ) из [14, с.75] и оценки (24), (33), и рассуждая аналогично работе [15] можно показать, что

|| J'⁽v^{+ A}v) - ^J(v )||^ < M ^||^u| |« + ^y 1|« +||^Av J|^Avs ,_n.

Отсюда следует, что v ^ J (v) есть непрерывное отображение из V в Ls,(Q). Теорема 2 до- казана.

С помощью формулы градиента (22) и теоремы 5 из [13, с. 28] можно установить необходимое условие оптимальности управления в задаче.

Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 2 и v* = v*(x) е V - решение задачи (1)-(6), т. е. оптимальное управление. Тогда выполняется неравенство

| и(x, v*)y(x, v*)[v(x) - v*(x)]dx > 0, Vv = v(x) е V.

n