Задача оптимального управления для одной модели динамики слабосжимаемой вязкоупругой жидкости

Пусть Ω ⊂ R ⁿ – ограниченная область с границей ∂Ω класса C ^∞ . В цилиндре Ω× R ₊ рассмотрим систему уравнений движения жидкости Кельвина–Фойгта, которую принято называть системой уравнений Осколкова

(1 - κ ∇ ²) x_t = ν ∇ ² x - ( x ⋅∇ ) - p + u , ∇ ( ∇⋅ x ) = 0,                       (1)

где p = ∇ p – градиент давления; вектор-функция x = x ( s , t ) = ( x ₁, x ₂,..., x_n ) – вектор скорости жидкости; u = u ( s , t ) = ( u ₁, u ₂,..., u_n ) – вектор объемных внешних сил, характеризующий внешнее управляемое воздействие; коэффициент системы κ ^{- 1} ≥ λ ₁ – время ретардации, характеризующее упругие свойства жидкости ( λ ₁ – наименьшее собственное значение спектральной задачи - ∇ ² x + ∇ p = λ x , ∇ ⋅ x = 0, x | _∂Ω = 0 в области Ω ); ν ∈ R ₊ – кинематический коэффициент вязкости, характеризующий вязкие свойства жидкости Кельвина–Фойгта нулевого порядка. Система уравнений (1) с условием Коши–Дирихле рассматривалась в работах А.П. Осколкова [1, 2] в случае κ ^{- 1} >  λ ₁ , и в них было показано существование единственного глобального по времени решения в слабом смысле. Систему (1) можно рассматривать как предельный случай системы

(1 - κ ∇ ²) x_t = ν ∇ ² x - ( x ⋅ ∇ ) - ∇ p + u , ε p_t = - ∇ ⋅ x ,                      (2)

моделирующей динамику слабосжимаемой вязкоупругой жидкости типа Кельвина – Фойгта. Подействовав на второе уравнение в (2) оператором ∇ и сделав замену p = ∇ p , положив ε = 0, придем к системе (1). Как было отмечено в работе [3], несмотря на то, что оператор ∇ имеет ядро, натянутое на константу, мы не получим в задаче Дирихле–Шоуолтера–Сидорова

x ( s , t ) = 0, ( s , t ) ∈ ∂Ω× R ,                                       (3)

(1 - κ ∇ ²)( x ( s , 0) - x ₀( s )) = 0, s ∈ Ω ,                                 (4)

для системы (1) новых решений по сравнению с задачей (2), (3), (4) при ε = 0 , благодаря краевому условию (3). В различных аспектах система уравнений Осколкова изучалась в работах Г.А. Свиридюка и его учеников [3, 4]. Исследование начально-краевых задач для моделей динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина–Фойгта ненулевого порядка были продолжены в [5]. В работе М.О. Корпусова, А.Г. Свешникова [6] рассмотрен вопрос разрушения решения системы уравнений Осколкова с кубическим источником в классе слабых обобщенных решений.

Манакова Н.А.                    Задача оптимального управления для одной модели динамики слабосжимаемой вязкоупругой жидкости

В подходящим образом подобранных функциональных пространствах редуцируем задачу (1), (3), (4) к задаче Шоуолтера-Сидорова

L (x (0) - x 0) = 0(5)

для полулинейного уравнения соболевского типа

Lx + Mx + B (x, x ) = u.(6)

Рассмотрим задачу оптимального управления

J(x, u) ^ inf, u e Uad,(7)

решениями задачи (5), (6). Здесь J ( x , u ) - некоторый специальным образом построенный функционал качества; управление u e U ad , где U ad - некоторое замкнутое и выпуклое множество в пространстве управлений U . Задача оптимального управления для линейного уравнения соболевского типа с условием Коши рассматривалась в монографии [7]. В работе [8] было показано, что рассмотрение условия Шоуолтера-Сидорова (5) для уравнений соболевского типа позволяет уйти от феномена несуществования решения задачи Коши при произвольных начальных данных и позволяет значительно упростить численные алгоритмы нахождения приближенных решений [9]. Задачи оптимального управления для полулинейных уравнений соболевского типа с s-монотонным и p-коэрцитивным оператором рассматривались в [10]. Целью данной работы является исследование существования оптимального управления (7) решениями задачи (1), (3), (4) в классе слабых обобщенных решений в пространстве соленоидальных функций.

• 1.    Существование нелокального слабого обобщенного решения

Пусть H = ( H ; (>^ ) - вещественное сепарабельное гильбертово пространство, отождествленное со своим сопряженным; ( A , A ) - дуальная (относительно двойственности (• , •) ) пара рефлексивных банаховых пространств, причем вложения

A с H с A *                                 (8)

плотны и непрерывны, а вложение A с H компактно. Пусть L e L( A ; A ) - линейный, непрерывный, самосопряженный, неотрицательно определенный фредгольмов оператор, чей ортонормальный (в смысле H ) набор собственных векторов { ф к } образует базис в пространстве A ; M e L( A ; A *) - линейный, непрерывный, 2-коэрцитивный оператор (т.е. Я C M , C M >0, такие, что Mx, , x ) >  CM || x| A и || Mx || A * < xC^M || x || A V x e A ); билинейный непрерывный оператор

• B :    A x A ^ A*         такой,         что         |< B ( x , y ), z >| < CB ||x||_A ||y||_A ||z||_A          V x , y , z e A ;

< B ( x , y ), z >= - <  B ( x , z ), y >  V x , y , z e A ; <  B ( y , x ), x >= 0 V y , x e A .

Ввиду самосопряженности и фредгольмовости оператора L отождествим A з ker L = coker L с A*. Поскольку coker L конечномерно, то A* = coker L © im L. Значит, существует проектор Q вдоль coker L на im L. Введем в рассмотрение множество coimL = {xe A: (x,ф = 0 Vфe kerL\{0}}.

Обозначим через P проектор вдоль ker L на coim L , тогда A = ker L © coim L .

Построим пространство

X = { x | x e L (0, T ;coim L ) n L ₂(0, T ; A ), x e L_ (0, T ; coim L ) n L ₂(0, T ; A )}.

Определение 1. Слабым обобщенным решением уравнения (6) назовем функцию x e X, удовлетворяющую условию

T

\                             1 T w\ + (Mx,w) + (B(x,x),w^ dt = |ф(t)(u, w^dt

J 0

V w e A , V ф e L ₂(0, T ).

Решение уравнения (9) назовем решением задачи Шоуолтера-Сидорова , если оно удовлетворяет (5).

Замечание 1. В работе [6] показано, что слабое обобщенное решение уравнения (6), удовлетворяющее (9), эквивалентно решению, удовлетворяющему

Математика

T Г/ d

J ( L—x , w\ + Mxx , w ) + ( B ( x , x ), w )- Uu , w) dt = 0, V w e A.

0 L\ dt                                          J

В дальнейшем мы будем отождествлять эти решения.

Система {фк} собственных векторов оператора L тотальна в пространстве A, а значит, в силу вложений (8) тотальна в пространстве H. Построим галеркинские приближения решения задачи (5), (6). Для этого выберем в A ортонормальную (в смысле H) тотальную систему {фi} так, чтобы span{ф|,ф2,..., Ф|} = kerL, dimkerL = l. Построим галеркинские приближения решения задачи (5), (6) в виде:

m xm (t) = £ai (t)фi, m > l,(10)

i =1

где коэффициенты a i = a i ( t ), i = 1,..., m в силу основной леммы вариационного исчисления определяются следующей задачей

L Lxm ф + Mxxm ф + (b (xm, xm \ф^ = (u ,ф^,(11)

(L(xm(0)-x0),ф^ = 0, i = 1,...,m.(12)

Уравнения (11) представляют собой вырожденную систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Пусть T_m e R ₊ , T_m = T_m ( x ₀), A ^m = span{ ф _l, ф ₂,..., ф, _и }.

Лемма 1. При любых x0 e A и m > dimkerL существует единственное локальное решение xm e Cr (0,Tm; Am) задачи (11), (12).

Доказательство. В силу работы [11] для разрешимости задачи (11), (12) достаточно установить невырожденность матрицы

—/Mx^m + B ( x ^m , x ^m ) ∂ x j

- u , ф i) , i , j

=1

m ,

в точке x ₀=( x 1 (0),..., x_m (0)) или, что то же самое, невырожденность оператора

( I - Q )( M + B ) _x 0 ( I - P ). Однако V v e ker L , v * 0, имеем

^ ( I - Q )( M + B ) x 0 ( I - P ) v , ^ = ^Mv + B ( v , x ^m ) + B ( x ^m , v ), v ^ = Mvv + B ( v , x ^m ), v ) * 0 ввиду положительной определенности оператора M и конструкции проектора ( I - Q ) вдоль im L на coker L и проектора ( I - P ) вдоль coim L на ker L .

Теорема 1. При любых x₀ e A , T e R ₊ , u e L ₂(0, T ; A *) существует единственное решение x ∈ X задачи (5), (6).

Доказательство. Доказательство теоремы проводится в несколько этапов.

Существование. Введем в coim L норму | x |² = LLx , x ^. В силу принципа Куранта эта норма эквивалента норме, индуцированной из надпространства H . Умножим i -ое уравнение (11) на a i ( t ) соответственно, результаты сложим по i = 1,..., m , проинтегрируем на (0, t ) и получим

L Lxm (t), xm (t)} + 2 j (Mxm, xm^dT + 2 j (B (xm (t \ xm (t )), xm (t)) dT = 00

= ²1( “ ( T ), x m ( T )) d T + { Lx m (0), x m (0)} < E ²1 u i| L _{2(0> r} ; A * + - 12 || x " 11 L 2 ₍₀ T _; A ) ₊ I x m (0) |²

В силу свойств оператора M и того, что для любого x e A имеет место равенство < B(x, x), x >= 0, получим t            2             T1

|xm ( t^ + C 1 J|| x m ( t )|| d T < E ²J| u(T +|xm(0)|²,C1=2Cm --2>0.

0        A         0

Манакова Н.А.                    Задача оптимального управления для одной модели динамики слабосжимаемой вязкоупругой жидкости

Из оценки следует, что все Tm, гарантированные леммой 1, можно взять равными друг другу: Tm = T. Кроме того, в силу рефлексивности бохнеровских пространств L2(0,T; A) и L2(0,T; A*) существуют слабые пределы xm ^x *-слабо в Lro(0,T;coimL);

x m ^ x слабо в L ₂(0, T ; A );

x " ^ x_t слабо в L ₂(0, T ; A ).

В силу свойств билинейного оператора B получим

|< B(xm,xm),y >|< CB||xm||A||y||A, и, следовательно, B(xm,xm) ограничены в Lro(0,T; A*). Поскольку вложение A c H компактно и выполнено < B(xm, xm), y >= - < B(xm, y), xm > Vy e A, получим, что

B(xm, xm) ^ B(x, x) *-слабо в Lro (0, T; A), где  xm: m e N  - некоторая подпоследовательность последовательности галеркинских приближений, гарантированных леммой 1.

Теперь мы можем при фиксированном i перейти к пределу в

LLx " ( t ), ф^ M m" ( t ) + B ( x ^m ( t ), x ^m ( t )), Ф ^ ) = Uu ( t ), Ф ^)

и получим

Lx + Mx + B (x, x) = u, откуда Lxe L2(0,T; A*) n L^(0,T; A*), следовательно, Lx(0) имеет смысл.

Единственность. Пусть x1 = x1(t) и x2 = x2(t) - два решения задачи (5), (6). Тогда для их разности w = x1 - x2 получим

t

(Lw , w ) + 2 J ( Mw + ( B ( x 1 , x 1 ) - B ( x ₂, x ₂)), w^d T = 0,

tt

(Lw , w ^ + 2 J Mw , w^d T = 2 J ^ B ( x ₂, x ₂) - B ( x 1 , x 1 ), w^d T .

В силу неотрицательной определенности оператора L , 2-коэрцитивности оператора M , свойств билинейного оператора B ( x , y ) и того, что ( B ( x ₂, x ₂) - B ( x 1 , x 1 ), w ) = ( B ( w , x ₂), x 1) , получим

t

I ^w 1 12(0, T ; coi"L ) < ²J|| ^{w ( t )}| a ll x 2^{( t )}I I A II ^x 1^{( t )}I A d ^T

Откуда в силу теоремы Гронуола-Белмана следует, что w = 0.

2.    Задача оптимального управления

Построим пространство управлений U = L ₂(0, T ; A *) и определим в пространстве U непустое замкнутое и выпуклое множество U ad . Рассмотрим задачу оптимального управления (5)-(7), где функционал качества зададим формулой

TT

J ( x , u ) = a J|| x ( t ) - z_d ( t )|| A dt + в J || u ( t )|| A* dt , a + в = 1,                      (15)

где z_d = z_d ( t ) - желаемое состояние.

Определение 2. Пару (. x , i/ ) e X x U_ad назовем решением задачи оптимального управления (7), если

J (. x , й) = inf J ( x , u ), ( x , u )

где пары ( x , u ) e X x U ad удовлетворяют (5), (6) в смысле опеределения 1; вектор-функцию u назовем оптимальным управлением в задаче (5), (6).