Задача с внутренними условиями для псевдопараболического уравнения

Установлены существование и единственности решения задачи с внутренними условиями для псевдопараболического уравнения.

Пусть D = Дх,Д : 0 < х < Н, 0 <  t < Т} — конечная односвязная область евклидовой плоскости независимых переменных х и t, D — замыкание D, J — интервал 0 <  t < Т прямой х = Xq G]0, Нф Do = D\J.

Для общего псевдопараболического уравнения [1]

L(u) = u_xxt + Дх, t)u_t + О^Е ^u_xx + Дх, Ди_х + Цх, Ди = -q(x, Д (1)

рассматривается следующая

Задача. Найти регулярное в Do решение Дх,Д уравнения (1) из класса Дх,Д, иДхдД G C(D), и_ху G C(D₀), удовлетворяющее условиям

Дх, 0) = Дх) \/хб\0,Щ,(2)

иДх0,Д = ДД Vte[0,T],(3)

Дх-1,Д = ^Дх^Д VtG[0,T],(4)

где a?i < а?о < $2 — произвольно фиксированные точки из интервала ]0, Н), Дх) и ДД — заданные функции, у = const.

Отметим, что условия (3) и (4) являются внутренними, причем внутреннее нелокальное условие (4) относится к типу нелокальных граничных условий Би-цадзе — Самарского [2], которое естественным образом возникает при решении многих прикладных задач и обобщено А. М. Нахушевым в [3].

Имеет место следующая

Теорема. Если коэффициенты уравнения (1) и условий (2)-(4) удовлетворяют требованиям тьДсД), ДД,Д, аДх,Д, Дх,Д, q(x,t) Е СДО),(5)

Дх)еС>Щ, ДДеСДДТ),(6)

Дх,Д<0 Дх,у) G Do, у ^ 0,(7)

то задача (1)-(4) разрешима и притом единственным образом.

<1 Справедливость сформулированной выше теоремы докажем методом функции Римана, разработанным в [4].

Предположим, что решение задачи (1)-(4) существует в области

Di = руд!) : 0 < х < Ху 0 < t < Т} и и(жоД) = ^рЩ Vt Е [0,Т],   (8)

где ip(t) Е C^OjT] — неизвестная пока функция. Тогда, интегрируя тождество

Э г тЩи) - uM^ = — qu_xt + ud_xt

+ ?/и_ж^ — (?,$)_жи + ail'd

а

+—\cluO - u_x0_x\ (9)

по области Qi = VI^х,t) : 0 < a < х <  Xq, 0 < t < р^ с использованием свойств функции Римана w_x(x, t; a, р) [4] и условий (2), (3), (8), имеем

ЦобР) = FPcyP) + ip(P)wx(x0,p-a,

0 №₊/ о

ki (а, р, t)

где (а, р) — произвольная точка Dy ki(a,p,t) = wxPx0,t-cy Р) - т]Дху t)w(x0, t; а, р)

— ipxo, t)w(xy t; а, p) + a(xyt)w(xyt-, a, p),

Ж₀ 0

Fi

E,m=ll a 0

w(x, t; ct, Д)д(ж, t)dxdt

Жо

+ I ^d(x, 0)h(x)w(x, 0; a, P) — w_x(x, 0; ct, /З)Д'(ж)] dx

Ct

- I ^(xo^-a^^fpt) + T](x₀,t)w(x₀,t-a,P)f(t)]dt. о

Переходя в (9) к пределу при а ^ Ху получим

u(xi,P) = Fi(xi,P) + <р(р)тих(х0, p;xi,

ki(xi, Р, t)

(П)

о

Для нахождения неизвестной функции ippp рассмотрим в области D^ = {(жД) : а?о < ж < жо, 0 < t< Т} характеристическую задачу Гурса (2), (3), (8) для уравнения (1).

Интегрируя тождество (9) по области П₂ = VaA) "• Xq< х < £, 0 < t < т< Т} с учетом свойств функции Римана ^(х, t; ф т) [4] и условий (2), (3) и (8)

имеем

т

Ц^ т) = ^(Ф т) + ^(т)^_ж(ж₀, т; Ф т

н

^К, т. I'wWdt,

о

где (ф т) — произвольная точка Do.

кэ^, т, t) = 19_х1(х₀, т; ф т) - i]_x(x₀, t)d(x₀, t; ^ т)

- nxOlt^xOl t; ф т) + а(ж, t^xo, t; ф тУ1у

С т

F<^ = J J q(x, t^d^xo, t\ ф T^dxdt

Xo 0

^^^^^^^^™

^(WW^W.r)

^^^^^^^^™

iM$Mr) dx

^^^^^^^^™

Xo

T

У d(x₀, t; Ф T)f(t) - ?^(жо, t)d(x_Ol t- Ф T)/(t) dt. 0

Переходя в (12) к пределу при ^ —> ж2, получим

т

u(x₂, t) = F^x^, т) + ^т^Дх_й1t; x₂, t

-I

k2(x-2, T, t)

о

Принимая во внимание (11), (13) и пользуясь внутренним нелокальным условием (4) при 3 = т, получим для нахождения неизвестной функции интегральное уравнение типа Вольтерра ст

т ^т>^ = У о

k(T,t>(tyit + Ф₀(т),

где

<т(т) = шж(ж0,т;Ж1,т) - 7^ж(ж0,т;Ж1,т),

Ф₀(т) = АР₂(ж₂,т) + Р1(а?1,т), к(т, t) = ^k₂2l т, t) - ку (жц т, t).

Из построения функций Римана т!(ж,рфт) и ш(ж,^а,/1) следуют неравенства

^Ж(жо,т;ж2,т) > 1, шж(ж0,т;Ж1,т) > 1,                (15)

если только d^x,!)< 0 V(a?,t) G Do, которые являются прямым следствием леммы из [4].

Тогда, с учетом (5)-(7), (15) и свойств функций Римана ^(жД;фт) и ыУх,1; а, р) характеристических задач, единственное регулярное решение ф(т) интегрального уравнения Вольтерра второго рода (14) из класса С1[0,Т] пред ставимо в виде

^И

т

Ф(т) + j о

К^т, 1)Ф(т^1,

где <р(дУ = Фо(т)/сг(т), R^t, t) — резольвента ядра к(т, t)/cpTY

После определения и($оУ) = vW формулой (16), исследуемая задача для уравнения (1) распадается на две характеристические задачи в Dy и D^, единственные регулярные решения которых даются, соответственно, формулами (10) и (12).

Из единственности решения указанных характеристических задач Гурса для псевдопараболического уравнения (1) следует справедливость теоремы. >