Задача стартового управления и финального наблюдения для системы уравнений Фитцхью-Нагумо с условием Дирихле-Шоуолтера-Сидорова

Бесплатный доступ

Исследуется стартовое управление и финальное наблюдение решениями задачи Дирихле-Шоуолтера-Сидорова для вырожденной системы уравнений Фитц Хью-Нагумо. Эта система относится к классу уравнений реакции-диффузии и описывает распространения волн в активных биологических средах, таких как сердечная мышца или мозговая ткань. Система уравнений Фитц Хью-Нагумо является, с одной стороны, развитием известной модели Колмогорова-Петровского-Пискунова, а с другой стороны - упрощением модели Ходжинса-Хаксли. При построении математической модели учитывая, что скорость одной искомой функции системы уравнений Фитц Хью-Нагумо значительно превышает скорость другой, было предложено исследовать вырожденный случай. Изучаемая задача стартового управления и финального наблюдения моделирует ситуацию, когда после кратковременного управляющего воздействие ожидается требуемый результат за некоторый период времени, т. е. в начальный момент времени посылается импульс большой мощности в систему нервов и ожидается требуемое состояние системы через некоторое установленное время. На основе методов Галеркина и компактности доказана теорема существования задачи стартового управления и финального наблюдения в слабом обобщенном случае.

Еще

Полулинейные уравнения соболевского типа, задача шоуолтера-сидорова, задача стартового управления и финального наблюдения, система уравнений фитц хью-нагумо, слабое обобщенное решение

Короткий адрес: https://sciup.org/147232781

IDR: 147232781   |   DOI: 10.14529/mmph180302

Текст научной статьи Задача стартового управления и финального наблюдения для системы уравнений Фитцхью-Нагумо с условием Дирихле-Шоуолтера-Сидорова

Пусть Qc Rn - ограниченная область с границей 3Q класса C . В цилиндре Q = Qx (0, T ) рассмотрим вырожденную систему уравнении Фитц Хью - Нагумо:

'0 = «jAv + Д w - П1 v + fi,(1)

‘ d w      „ оз

— = « 2 A w + p Tw - % v - w + f 2

l О t с краевым условием Дирихле

v(s,t) = 0,w(s,t) = 0,(s,t)e dQ x(0,T)

и начальным условием Шоуолтера-Сидорова w (s ,0) = u (s), s eQ.(3)

Искомые функции w=w(s,t) и v = v(s,t) описывают динамику мембранного потенциала и поведение натриевого и калиевого токов; в2 e R- , «,в1,«1,«2,П1,П2 e R + - характеризуют порог возбуждения, скорость порога возбуждения, электропроводность и реполяризацию среды; f = ( f1, f 2) - источник возбуждения. Первоначально в работах [1, 2] была получена невырожденная система уравнений Фитц Хью-Нагумо, зависящая от двух искомых функций v и w, мо- делирующих поведение химических элементов в мембране. Скорость искомой функции w увеличивается по мере ее роста, что привносит в систему сильную нелинейность. Невырожденная система уравнений Фитц–Хью в двухкомпонентном и многокомпонентном случаях изучалась подробно в работах [3-5]. Нулевое решение невырожденной системы при в2 < 0 асимптотически устойчиво, а при в2 > 0 неустойчиво [6]. В связи с тем, что скорость искомой функции w существенно превосходит скорость изменения v, в случае устойчивости решения (при в2 < 0) в работе [7] было предложено рассматривать именно вырожденную систему уравнений вида (1). Нами будет рассмотрен случай асимптотически устойчивой задачи, когда в2 < 0 и Р1 = п2 .

Начально-краевая задача (2), (3) для системы уравнений (1) в специальным образом подобранных функциональных пространствах редуцируются к задаче Шоуолтера–Сидорова для абстрактного полулинейного уравнения

Lx + Mx + N ( x ) = f , ker L Ф {0}                             (5)

и относится к широкому классу уравнений соболевского типа [8, 9]. При рассмотрении классического условия Коши в случае уравнений соболевского типа решение задачи существует лишь при начальном значении u ( s ) взятом из фазового пространства уравнения (5). Рассматриваемое в работе условие Шоуолтера–Сидорова (4) является более общим по сравнению с условием Коши и позволяет снять данное ограничение. Впервые задача управления для уравнений соболевского типа была поставлена и изучена в конце XX века, задачи же стартового управления и финального наблюдения исследуются сравнительно недавно. Задачи управления для полулинейных уравнений соболевского типа с условием Шоуолтера–Сидорова рассматривались в [10, 11]. В работе [12] была исследована задача оптимального управления для вырожденной системы уравнений (1), а также рассмотрены и доказаны существование и единственность решения задачи (1)–(3) в слабом обобщенном смысле. Впервые задача стартового управления и финального наблюдения для системы уравнений (1) рассматривалась в работе [13].

Данная работа посвящена исследованию задачи стартового управления и финального наблюдения

J ( x ( T ) ,u ) ^ inf                                     (6)

решениями задачи (1)–(3) в слабом обобщенном смысле [8, 14]. Задача стартового управления и финального наблюдения моделирует ситуацию, когда после кратковременного управляющего воздействие ожидается требуемый результат за некоторый период времени, т. е. в начальный момент времени посылается импульс большой мощности в систему нервов и ожидается требуемое состояние системы через некоторое установленное время. В работах [15–17] изучались задачи стартового управления и финального наблюдения для различных математических моделей, основанных на уравнениях соболевского типа.

  • 1.    Задача стартового управления и финального наблюдения o

Положим H i = W 2 1 ( Q ) и B i = L 4 ( Q ) , i = 1,2. Рассмотрим гильбертово пространство A = L 2 ( Q ) x L 2 ( Q ) со скалярным произведением

[ x Z ] = vV , ^ l 2 ( q ) + ( w , ^ L 2 ( Q ) , где x = ( v , w ), Z = ^ ).

Определим пространства H = H 1 x H 2 и B = B 1 x B 2 , а через H * , B * обозначим сопряженные пространства к пространству H , B относительно скалярного произведения в A , соответственно. В силу теоремы Соболева в случае n 4 имеют место плотные и непрерывные вложения

H с B с A с B * с H *, причем вложение H с A компактно согласно теореме Реллиха-Кондрашева.

Определим операторы L,M,N следующим образом:

[ Lx,Z ] = к w,n ) ,x,Z g H ,

Замечание 1. Операторы L,M e L ( H;H * ) линейные непрерывные операторы. Справедливость данного утверждения является классическим результатом.

Рассмотрим пространство

X = { x | v e L 2 ( 0, T ; H 1 ) , w e L _ ( 0, T ;coim L ) n L 4 ( 0, T ; B 2 ) }.

Определение 1. Вектор-функцию x e X при T e R+ назовем слабым обобщенным решением задачи Шоуолтера-Сидорова (1)-(3), если она удовлетворяет

T

И t ) I LdX , 0 VL d

Z + l Mx +

T

Теорема 1. [13] Пусть a 1, a 2, Р 1, П 1 e R + , P 2 e R - и n - 4 , тогда при любых x 0 e H , T e R + f _ e L 2 ( 0, T ; H w * ) , f , e L 4 ( 0, T ; B 2 ) , u e H 2 существует единственное решение x e X задачи (1)-

(3), причем

IIw (t )l IL 2W

t

t

t

+ C W f Ll V T )| Hh , +l l w )| B 2 ] d T - C 2 fl k w Т )| H * d T + C 3 ill f 2 Т )| I B 2 d T + l l u l ^( П ) ,

' 2

C i > 0 ,i = 1 , 3 .                                                  (7)

Пусть J ( x ( T ) ,u ) - ограниченный снизу, полунепрерывный снизу, коэрцитивный функционал; u e U ad , где U ad - некоторое замкнутое и выпуклое множество в пространстве управлений U = H 2 . Рассмотрим задачу стартового управления и финального наблюдения (6) решениями (1) - (3) в слабом обобщенном смысле.

Определение 2. Пару ( x ( T ) ^U ) e X х U ad будем называть решением задачи (1)-(3), (6), если J (, x ( T ), Ui) = inf J ( x ( T ), u ),

( x , U )

и пары ( x,u ) удовлетворяют задаче (1)-(3) в смысле определения 1. Вектор-функцию и будем называть стартовым управлением задачи (1)-(3), (6).

Теорема 2. Пусть a 1, a 2, Р 1, П 1 e R + , Р 2 e R - , T e R + и n - 4 , тогда существует решение ( ( T ) ) задачи (1)-(3), (6).

Доказательство. В силу теоремы 1 для задачи (1)-(3), (6) для любого u e U ad существует единственное слабое обобщенное решение. Следовательно, можно считать, что

J (x (T) ,u) = J (u).

  • I.    Множество значений функционала ограничено снизу, значит, существует минимизирующая последовательность {u m } с U ad , такая что

  • lim J (um ) = C,

m ^^

где C - точная нижняя грань множества значений функционала J ( x ( T ) ,u ) . Последовательность { J ( um ) } [ m = 1 ограничена в R, следовательно, в силу коэрцитивности функционала J ( u ) , последовательность { um } [ m = 1 ограничена в U. Согласно теореме Банаха-Алаоглу из { um } можно извлечь слабо сходящуюся подпоследовательность um ^ й в U. В силу теоремы Мазура точка ui e U ad .

  • II.    Обозначим за xm=x ( um ) = ( vm,wm ) = ( v ( um ) ,w ( um ) ) последовательность слабо обобщенных решений задачи

Lx^ m + Mxm + N ( xm ) = f , L ( xm ( 0 ) - um ) = 0 .

Гаврилова О.В.

В силу теоремы 1 и оценки (7) и, ввиду рефлексивности бохнеровских пространств L4 (0,T; B*), L* (0, T; H1) и L4 (0, T; B*) существуют слабые пределы vm ^ V слабо L* (0, T; H1), Wm ^ W *-слабо L_(0, T; L*(Q)), wm ^ W слабо L4 (0, T; B*).

В силу ограниченности операторов L и M получим

[ Um ( t ) , x m ( t ) ] < | Lx m ( t )| H* ||xm ( t )| H C L || x m ( t )| H ,

[Mm (t ), xm ( t)] < |Mxm ( t)|H* ||xm (t )|H < CM ||xm ( t)|H , значит {Lxm},{Mxm} ограничены в L„ (0,T;H ).

По построению оператора N получим, что

TT

J[N(xm ),xm ] dT = j||wm|B*|wm ||B* dT и {N(xm)} ограничена в L4 (0,T;B*) следовательно,

N ( x m ) ^ M слабо в L 4 ( 0, T ; B *) .

  • III.    Покажем, что ц = N ( X ) , где X = ( V,w ) . Так как пространство H c A компактно, то последовательность w m ^ w в пространстве L * ( 0, T ; L * ( Q ) ) . Получим, что

  • в силу единственности предела.
  • IV.    Так как пространство A сепарабельно, то выберем в нем счетную всюду плотную орто-нормированную систему функций { ф } } = { ( ф 1 , ф * ) } . Тогда в силу основной леммы вариационно-

  • го исчисления

T

Зафиксируем j и перейдем к пределу при m ^ +^

T

Тогда получим, что

Следовательно, 5c = x (й) и в силу полунепрерывности снизу функционала J, получим lim inf J(um) > J(й). Значит u есть стартовое управление в задаче (1)-(3), (6). Таким образом, m ^” Uad теорема доказана.

Рассмотрим задачу стартового управления и финального наблюдения (1)–(3), (6), где функционал штрафа задается формулой

J ( X ( T ) , u ) = ^|| v ( T ) - vf ||H 1 + ^| w ( T ) - w f I B * + M u i H * .                      (8)

Здесь X f ( s ) = ( V f ( s ) ,W f ( s ) ) - требуемое состояние системы, которого достигается при минимальном начальном воздействии по прошествии времени t = T .

Лемма 1. Функционал J ( x ( T ) ,u ) , заданный в виде (8), является ограниченным снизу, полунепрерывным снизу, коэрцитивным функционалом.

Доказательство. Покажем, что функционал J ( x ( T ) ,u ) , заданный в виде (8), является коэрцитивным

  • 5 C l ( T ) - / 1 , 1 + C 2I I » ( T ) - » / 1 С 2 + C з +1 м H 2 =- , и С 2 + C i ^ ,1- иt 2 =

  • = C , ( , V ( T ) - V y|, + , » ( T ) - » y|, 2 + ( 1 - в )| и , 2 ) + C 6 = C , ( J ( x , u ) ) + C 6 , C, > 0, i = 1,6, C 3 3 при C 2 = 4| »z|s 2 .

Очевидно, что функционал J ( x ( T ) ,u ) непрерывный, а значит, и полунепрерывный снизу. Таким образом, лемма доказана.

В силу теоремы 2 и леммы 1 справедлива

Теорема 3. Пусть а , , а 2, в 1, П 1 е R + , Р 2 е R - , T е R + и n 5 4 , тогда существует решение (. x ( T ) /ui ) задачи (1)-(3), (6), где функционал J ( x ( T ) ,u ) принимает вид (8).

Автор выражает признательность профессору Н.А. Манаковой за постановку задачи и плодотворные дискуссии, а также профессору А.В. Богомолову за интерес к работе. Кроме того, считает своим приятным долгом поздравить профессора А.В. Богомолова с юбилеем.

Список литературы Задача стартового управления и финального наблюдения для системы уравнений Фитцхью-Нагумо с условием Дирихле-Шоуолтера-Сидорова

  • Fitzhugh, R. Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane / R. Fitzhugh // Biophysical Journal. - 1961. - Vol. 1, no. 6. - P. 445-466.
  • Nagumo, J. An active pulse transmission line simulating nerve axon / J. Nagumo, S. Arimoto, S. Yoshizawa // Proceedings of the IRE. - 1962. - Vol. 50. - Issue 10. - P. 2061-2070.
  • Wu, D. Stochastic resonance in Fitz Hugh-Nagumo system with time-delayed feedback / D. Wu, S. Zhu // Physics Letters A. - 2008. - Vol. 372. - Issue 32. - P. 5299-5304. DOI: 10.1016/j.physleta.2008.06.015
  • Polymorphic and regular localized activity structures in a two-dimensional two-component reaction diffusion lattice with complex thresholdex citation / V.I. Nekorkin, A.S. Dmitrichev, J.M. Bilbault, S. Binczak // Physica D: Nonlinear Phenomena. - 2010. - Vol. 239. - Issue 12. - P. 972-987.
  • Weber, S. Multicomponent reaction-diffusion processes on complex networks / S. Weber, M. Porto // Physical Review E. - 2006. - Vol. 74. - Issue 4. - P. 046108.
  • Борина, М.Ю. Пространственно-временные структуры в многомерной активной среде, обусловленные многомодовым взаимодействием вблизи волновой бифуркации / М.Ю. Борина, А.А. Полежаев // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. - 2012. - Т. 20, № 6. - С. 15-24.
  • Бокарева, Т.А. Сборки Уитни фазовых пространств некоторых полулинейных уравнений типа Соболева / Т.А. Бокарева, Г.А. Свиридюк // Математические заметки. - 1994. - Т. 55, № 3. - С. 3-10.
  • Al'shin, A.B. Blow-up in nonlinear sobolev-type equations / A.B. Al'shin, M.O. Korpusov, A.G. Sveshnikov. - Berlin; N.Y.: Walter de Gruyter GmbH and Co. KG, 2011. - 648 p.
  • Свиридюк, Г.А. Фазовое пространство задачи Коши-Дирихле для уравнения Осколкова нелинейной фильтрации / Г.А. Свиридюк, Н.А. Манакова // Известия вузов. Серия: Математика. - 2003. - № 9. - С. 36-41.
  • Сагадеева, М.А. О задаче оптимального измерения динамически искаженных сигналов с учетом мультипликативного воздействия / М.А. Сагадеева // Математические методы в технике и технологиях. - 2016. - № 2(84). - С. 13-15.
  • Замышляева, А.А. Оптимальное управление решениями начально-конечной задачи для уравнения Буссинеска-Лява / А.А. Замышляева, О.Н. Цыпленкова // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование и программирование». - 2012. - № 5(264), вып. 11. - С. 13-24.
  • Манакова, Н.А. Оптимальное управление для одной математической модели распростренения нервного импульса / Н.А. Манакова, О.В. Гаврилова // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование и программирование». - 2015. - Т. 8, № 4. - C. 120-126.
  • Гаврилова О.В. Задача стартового управления и финального наблюдения задачи Шоуолтера-Сидорова для модели Фитц Хью-Нагумо / О.В. Гаврилова // Материалы международной конференции «Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейена-2016». - Воронеж: Научная книга, 2016. - С.115-118.
  • Лионс, Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейные краевые задач / Ж.-Л. Лионс. - М.: Мир, 1972. - 588 p.
  • Manakova, N.A. Mathematical model of the start control of electric field potential in conducting medium without dispersion considering relaxation / N.A. Manakova, E.A. Bogatyreva // 2016 2nd International Conference on Industrial Engineering, Applications and Manufacturing (ICIEAM). - Chelyabinsk, 2016. - P. 1-5.
  • Подвальный, С.Л. Стартовое управление параболической системой с распределенными параметрами на графе / С.Л. Подвальный, В.В. Провоторов // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10 «Прикладная математика информатика процессы управления». - 2015. - № 3. - C. 126-142.
  • Manakova, N.A. Numerical Investigation for the Start Control and Final Observation in Model Of- and I-beam Deformation / N.A. Manakova, K.V. Vasiuchkova // Journal of Computational and Engineering Mathematics. - 2017. - T. 4, № 2. - С. 26-40.
Еще
Статья научная