Задача Трикоми - Неймана для трехмерного уравнения смешанного типа с сингулярными коэффициентами
Автор: Уринов Ахмаджон Кушакович, Каримов Камолиддин Туйчибоевич
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 4 т.25, 2023 года.
Бесплатный доступ
В работе исследована задача Трикоми - Неймана для трехмерного уравнения смешанного типа с тремя сингулярными коэффициентами в смешанной области, состоящей из четверти цилиндра и прямоугольной призмой. Доказана однозначная разрешимость поставленной задачи в классе регулярных решений. При этом использован метод Фурье, основанный на разделение переменных. После разделения переменных в гиперболической части смешанной области, появляются задачи на собственные значения для одномерных и двумерных уравнений. Решая эти задачи, находим собственные функции соответствующих задач. Для решения двумерной задачи использована формула, дающая решения задачи Коши - Гурса. В результате найдены решения задач на собственных значений для трехмерного уравнения в гиперболической части. С помощью этих собственных функций и условия склеивания получена нелокальная задача в эллиптической части смешанной области. Для решения задачи в эллиптической части, она была отражена в цилиндрической системе координат, а потом путем разделения переменных получены задачи на собственные значения для двух обыкновенных дифференциальных уравнений. На основании свойства полноты систем собственных функций этих задач доказана теорема единственности. Решение исследуемой задачи построено в виде суммы двойного ряда. При обосновании равномерной сходимости построенных рядов использовались асимптотические оценки функций Бесселя действительного и мнимого аргумента. На их основе получены оценки для каждого члена ряда, что позволило доказать сходимость полученного ряда и его производных до второго порядка включительно, а также теорему существования в классе регулярных решений.
Задача трикоми - неймана, задача коши - гурса, сингулярный коэффициент, функция бесселя, гипергеометрический функция гаусса и гумберта
Короткий адрес: https://sciup.org/143180936
IDR: 143180936 | УДК: 517.956.6 | DOI: 10.46698/n1128-9779-9257-d
The Tricomi-Neymann problem for a three-dimensional mixed-type equation with singular coefficients
In this paper, we study the Tricomi-Neumann problem for a three-dimensional mixed-type equation with three singular coefficients in a mixed domain, for which the elliptic part consists of a quarter of a cylinder, and the hyperbolic part of a rectangular prism. The unique solvability of the formulated problem in the class of regular solutions is proved. In this case, the Fourier method based on the separation of variables was used. After the separation of variables in the hyperbolic part of the mixed domain, eigenvalue problems for one-dimensional and two-dimensional equations appear. By solving these problems, the eigenfunctions of the corresponding problems are found. To solve the two-dimensional problem, the formula that gives the solution to the Cauchy--Goursat problem is used. As a result, solutions of eigenvalue problems for the three-dimensional equation in the hyperbolic part are found. With the help of these eigenfunctions and the gluing condition, a non-local problem appears in the elliptic part of the mixed domain. To solve the problem in the elliptic part, the problem was reflected in the cylindrical coordinate system, and then, by separating the variables, the eigenvalue problems for two ordinary differential equations were obtained. Based on the property of completeness of systems of eigenfunctions of these problems, a uniqueness theorem is proved. The solution of the problem under study is constructed as the sum of a double series. When substantiating the uniform convergence of the constructed series, asymptotic estimates for the Bessel functions of the real and imaginary arguments were used. Based on them, estimates were obtained for each member of the series, which made it possible to prove the convergence of the resulting series and its derivatives up to the second order inclusive, as well as the existence theorem in the class of regular solutions.
Список литературы Задача Трикоми - Неймана для трехмерного уравнения смешанного типа с сингулярными коэффициентами
- Франкль Ф. И. Избранные труды по газовой динамике. М.: Наука, 1973. 712 с.
- Векуа И. Н. Обобщенные аналитический функции. М.: ГИФМЛ, 1959. 628 с.
- Бицадзе А. В. Об одном трехмерном аналоге задачи Трикоми // Сиб. мат. журн. 1962. Т. 3, № 5. С. 642-644.
- Ежов А. М., Пулькин С. П. Оценка решения задачи Трикоми для одного класса уравнений смешанного типа // Докл. АН СССР. 1970. Т. 193, № 5. С. 978-980.
- Нахушев А. М. Об одном трехмерном аналоге задачи Геллерстедта // Дифференц. уравнения. 1968. Т. 4, № 1. С. 52-62.
- Пономарев С. М. К теории краевых задач для уравнений смешанного типа в трехмерных областях // Докл. АН СССР. 1979. Т. 246, № 6. С. 1303-1306.
- Салахиддинов М. С., Исломов Б. Краевые задачи для уравнения cмешанного эллиптико-гиперболического типа в пространстве // Узб. мат. журн. 1993. № 3. С. 13-20.
- Уринов А. К., Каримов К. Т. Задача Трикоми для трехмерного уравнения смешанного типа с тремя сингулярными коэффициентами // Вестн. НУУз. Ташкент. 2016. № 2/1. С. 14-25.
- Уринов А. К., Каримов К. Т. Задача Дирихле для трехмерного уравнения смешанного типа с тремя сингулярными коэффициентами // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2017. Т. 21, № 4. С. 665-683. DOI: 10.14498/vsgtu1559.
- Назипов И. Т. Решение пространственной задачи Tрикоми для сингулярного уравнения смешанного типа методом интегральных уравнений // Изв. вузов. Матем. 2011. № 3. С. 69-85.
- Сабитов К. Б., Карамова А. А. Спектральные свойства решений задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с двумя линиями изменения типа и их применения // Изв. РАН. Сер. матем. 2001. Т. 65, № 4. C. 133–150. DOI: 10.4213/im351.
- Каримов К. Т. Задача Келдыша для трехмерного уравнения смешанного типа с тремя сингулярными коэффициентами в полубесконечном параллелепипеде // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки. 2020. Т. 30, № 1. С. 31-48. DOI: 10.35634/vm200103.
- Капилевич М. Б. Об одном классе гипергеометрических функций Горна // Дифференц. уравнения. 1968. Т. 4, № 8. С. 1465-1486.
- Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрические функции. Функции Лежандра. М.: Наука, 1973. 296 c.
- Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций. Т. 1. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1949. 798 с.
- Салахитдинов М. С., Уринов А. К. К спектральной теории уравнений смешанного типа. Ташкент: Изд-во Mumtoz So'z, 2010. 355 с.
- Мамедов Я. Н. К задаче на собственные значения для уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29, № 1. С. 95-103.
- Моисеев Е. И. О базисности синусов и косинусов // Докл. АН СССР. 1984. Т. 275, № 4. С. 794-798.
- Киприянов И. А. Сингулярные эллиптические краевые задачи. М.: Наука, 1997. 204 с
- Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Т. 3. Специальные функции. Дополнительные главы. 2-е изд., исправ. М.: Физматлит, 2003. 688 с.
