Задачи Коши и Гурса для уравнения 3-го порядка

Рассмотрим уравнение третьего порядка следующего вида ж³-.           u

L(D ) u ( x ) = D x ³ ) u + V a i ( x )-- + c ( x ) u = f ( x ), x e G ,

i=1        Гxi где x = (x1,x2,x3), Dx-- = d3/dx1dx2dx-, f e C(G), а необходимая гладкость коэффициентов и область G будут конкретизированы ниже. Очевидно, что характеристиками уравнения (1) являются плоскости xi = const. Введем следующие обозначения. Пусть о(x) = 0 - некоторая поверхность в R3 класса C4 и x0 e R3. Область, ограниченную поверхностью сг(x) = 0 и плоскостями xi = x0, i = 1,2,3, обозначим через G, а пересечение G с этими плоскостями через Si. Пусть также Ti = ^n Si• Вектор, получающийся из вектора x отбрасыванием i -ой компоненты, обозначим x(i) . Исследуем для уравнения (1) следующие задачи.

Задача Коши . Найти функцию u ( x ), такую, что u e C ²( G ) и D x ³u e C ( G ), удовлетворяющую уравнению (1) и следующим условиям

Г^кu     _ / x 7

—r = ^ ( ^ ), ^ e ^ , k = 0,2, Г l^k ^

где l e R³, || 1 1| = 1, l ( x ) e C ³( ^ ).

Рассмотрим область D = { x e R³: x⁰ <  x i <  x ¹, i = 1,3 } . Пусть

k = 0,1. В соответствии с предыдущими обозначениями S i = S i ( x ⁰),

Задача Гурса. Найти функцию u (x), такую, что u e C 1(D) и удовлетворяющую уравнению (1) и следующим условиям u (x ^S, (x 0) = фi(x (i)), i = 1,2,3.

S i ( x ^k ) = D n { x i = x k } , где

^ = (J S i ( x 1 ).

i = 1

D x ₍ ² ) u e C (D), D x³⁾ u e C (D),

Функцию u ( x ) , если она существует, будем называть регулярным решением сформулированных задач. Уравнения, содержащие операторы вида D_x ^{( n )} , и их итерации принято называть в литературе уравнениями Манжерона. Если a i = 0, i = 1,3 , c ( x ) = const, то решение задачи Гурса получено, как пример, в [1]. В данной постановке задача Гурса рассматривалась также в [2, 3]. В [2] исследовалось существование решения, а в [3] строилась функция Римана. Путем применения методики исследования задач Коши и Гурса для уравнений 2-го порядка гиперболического типа, изложенной в [4, 5], получим условия разрешимости сформулированных задач.

1. Функция Римана

Введем оператор L^* ( D ) , сопряженный с L( D ) :

3 д

L ( D ) v ( x ) = D x ³ v ( x ) + E—( a i ( x ) v ( x ) ) - c ( x ) v ( x ). i = 1 ^д x i

Очевидно, что оператор L ( D ) определен на функциях v ( x ), имеющих следующую гладкость: v е C 1 (D), D ^ ²) v е C (D) и D ^ ³v е C (D). Обозначим через x k и x j- первую и вторую компоненты вектора x ( _i ) .

Определение. Назовем функцией Римана уравнения (1) функцию, являющуюся регулярным решением следующей задачи

L * ( D ) v ( x ) = 0, x е D, ^{v ( x} )xi _ x 1 = w i ^(x ( i ) ), i = ^1,3 где функция w i ( x _{( i} ) ) удовлетворяет условиям

D^ w i ⁽ x ( i ) ) ⁺ a i ⁽ x V^ ^ w i ⁽ x ( i ) ) = ⁰, x ( i ) ^е S i ⁽ ^ )’ w i ^{( x} ( i ) )_к = x l = ¹ s = k , j , x S <  ^x s <  x .

Обозначим функцию Римана уравнения (1) через R . Очевидно, что R = R( x , x 1 ).

Теорема 1. Пусть выполнены условия c , a , д a i / д x_i е C (D). Тогда функция Римана уравнения (1) существует и единственна.

Доказательство. Пусть решение задачи (3)-(4) - функция R(x, x 1) существует. Тогда, при меняя к уравнению L* (D)R(x, x 1) = 0 оператор [ . d£ , где x е D , получим

x

V'ft?/'v1                      у1^^

^{R( x} , ^x ) ^- E ^{R( x} 1 , ^x ) ^{- R( x}   1 , ^x ) ^{- R( x} , ^x ) ⁺

I xi = xi                   I xi = xi i=1

+ Ef ^{1 i} )( a ^M_?, x 1 ) - a^R ^ = x , x ¹) ) d ^ ₍ i ) - f 1 c ( £ )R( £ x ¹) d § = 0. x_UX \               ^i = xi                          vDl l /            J x

I = 1 ⁽ )

Здесь и в дальнейшем под выражением вида a ( ^ )R( ^^^ 1 = _{x 1} , y ) будем понимать следующее выражение a ( x 1 , ^ ₂, ^ ₃)R( x₁, ^ ₂, ^ ₃;y 1 , y ₂, y ₃). Учитывая условия (6), налагаемые на граничные функции задачи (5), найдем 3                         3 ._х 1                                                                                ._х 1

R(x, x1)=Ё w(x(i))- 2+Ef(,) (ai(^)^=x, w(x(i))-ai(^) R(^i^=x,, x 1)) d^

Нетрудно видеть, что wi(x(i))+L(i)ai(^>^=x,wi(x(i))d^

Поэтому

v n ⁽ x ) = ¹ - EJ x ⁽ ' ) a i ⁶ v n - 1 ^{( 6} Ь = x i d 6 i ) - J 1 c ( ^ ) v n - 1 ^{( 6 )} d ^{6 ,} i = 1 ⁽ i )

если ряд (9) равномерно сходится в области D . Аналогичный результат получим после применения метода нормированных функций [6] к задаче (5)-(6). Оценим члены ряда (9). Пусть | c |,| a i | < M , в области D и K = max i { x¹ - x_z °,1}. Для сокращения дальнейших записей введем следующие обозначения | x - y | ( i ) = x j - y j + x k - y k ,| x - y | = x i - y i + x j - y j + x k - y k , где i , j , k различные числа, принимающие значения 1, 2, 3. Так как при x е D

( x 1 - x )( x j - x j ) < K /2| x ¹ - x | ( k ) , ( x¹ - x - )( x } - x j )( x k - x k ) < K ²/3| x ¹ - x |,        (10)

то для x е D справедлива оценка

I v ( x ) - v 0 ( x ) | < M ( ( x i - x i)( x 2 - x 2 ) + ( x 2 - x 2 )( x 3 - x 3 ) + + ( x j - x )( x 3 - x ^ ) + ( x - x )( x 2 - x 2 )( x 3 - x 3 ) ) <  4/ 3 MK | x ¹ - x |.

Предположим, что для x е D и некоторого n >  1 верно неравенство

| v n + 1 ( x ) - v n ( x ) | < K /3(4 KM ) ⁿ I x ¹ - x |^{2 n - 1!} .                             (11)

Подставляя в (11) вместо n значение n + 1 , после несложных преобразований находим

| v n _{+ 1} ( x ) - v n ( x ) | < K /3(4 KM ) ⁿ M ( 31 x ¹ - x |^{2 n + 1,!} + 1 x ¹ - x |^{2 n + 2,!} ) <

< K /3(4 KM ) ⁿM | x ¹ - x |^{2 n +1J} ( 3 + 1 x ¹ - x I /(2 n + 2) ) .

Так как 3/(2 n + 2) <  1, при n >  1, то

| vn+1 (x) - vn (x) |< K /3(4KM)n+1 I x1 - x |2n+1,!, т.е. равенство (11) справедливо для любого значения n > 1 и x е D . Применяя оценку (11) к формуле (9), убеждаемся, что функция v(x) существует, непрерывна в D и удовлетворяет неравенству

| v ( x ) | < 1 + 2/3V MK ³ sh (V 4 MK | x ¹ - x | ) .

Докажем единственность решения уравнения (8). Пусть имеется два решения. Разность этих решений обозначим w ( x ). Очевидно, что w ( x ) должна удовлетворять следующему уравнению

w ( x ) = -J x c ( 6 ) w ( 6 ) d ^ - Ej x ⁽ i ) a i 6 ) w ( ^ > 6 = x d ^ ( i ) .

xx

Учитывая сделанные выше обозначения, найдем (»1              «1.^

I ^{w ( x} ) <  M J w ^{( 6 )} I d ^{6 +} E J w ^{( 6 )} 6 i = x i d ⁶ ( i ) .

< x                   i=1 x(i)

Из полученного неравенства при W = sup | w ( x ) | будем иметь | w ( x ) | < 4/ 3 MWK ² | x ¹ - x |.

x e D

Используя найденное неравенство, из оценки для w ( x ) , аналогично (11), можно получить

I w ( x ) <  W / 3(4 KM ) n K I x ¹ - x I² n ^{- 1J}, x е D.

Очевидно, что если n ^ ^ , то правая часть найденного неравенства стремится к 0, а так как левая его часть не зависит от n , то w ( x ) = 0 для x е D . Что и требовалось установить.

Итак, если функция R( x , x ¹) существует, то ее можно найти из интегрального уравнения (7). Если теперь мы покажем, что решение уравнения (8) имеет следующую гладкость: v е C 1 (D), D x ² ) v е C (D), dx⁵⁾ v е C (D), и удовлетворяет задаче (5)-(6), то функция Римана уравнения (1)

существует и единственна.

Сначала докажем, что функция v ( х ) обладает в D непрерывными производными первого порядка. Для этого исследуем дифференцируемость ряда (9), например по х 1 • Очевидно, что функции v n ( х ) дифференцируемы в D и справедливо равенство

^"( v n + 1 ^{( х} ) ^- v n ^{( х} )) = ^-J ^{Х 2} a 3 ^{( х} ) ( v n ^{( х} ) ^- v n - 1 ^{( х} )), , д х 1                             ^Jx 2                                 ^{1 х 2 52}

d ^

^х 3

4 a 2 ^{( X} ) ⁽ v n ^{( X} ) ^- v n - 1 ^{( X} )к = A

*X3                                          I 3 ^3

. 1

. 1 (

^d 6 - J ,’ ² J ^ [ c ^{( х} ) ⁺

Й 1 ( ^{х )} | ( v n ^{( х} ) ^- v n - 1 О Х 1       у

d ^ 3 d ^ 2

- J ^Х 2 J ^Х 3 a 1 ( х ) V“( v n ( х ) - v n - 1 ( х ))| ^х 2 = ^ 2 d ^ 3 d ^ 2

^{2 Хх}3          д х 1                        1 х ₃ =5₃

Пусть M 1 = sup(M, дai /дхi), тогда, используя (10), нетрудно убедиться, что хeD

^{- х} 3 ^{) + | х} 1 ^{- х} | (1) ) ,

( v 1 ( x ) - v 0 ( x )) <  M 1 ( 2( x 2 - Х 2 )( Х 3 о Х 1

и значит

Теперь оценим

^{( v} 1 ^{( X} ) ^{- v} 0 ^{( X} )) <  ^M 1 ⁽ K ⁺ 1) I ^X 1

О X 1

-

^x 1(1) •

—— ( v_{n + 1}( х ) - v_n ( х )) • Воспользовавшись (10), найдем д х 1

( v n + 1 ( х ) - v n ( х )) < 2/3 K ( K + 1) M 1 (4 KM 1 ) ⁿ | х 1 и Х 1

х |^{2 n ,!} +

+ M f ²J x

• ^x 2 f ^x 3 d ,

( v ^х 2 ^jx 3 d Х 1

n

v n - 1 ) d £ d^

Отсюда нетрудно получить цепочку неравенств

( v n ₊ 1 ( х ) - v n ( х )) < 2/3 K ( K + 1) M 1 (4 KM 1 ) ⁿ | х ¹ и Х 1

х I^{2n ,!} +

Хз х *2                                    2 n 2,!

+ 2/3 K ( K + 1) M 2 (4 KM 1 ) ^{n - 1} J _х ² J _х ³ ( | х ¹ - х |₍ 3) + х 3 - ^ 3 )      d ^ ₃d ^ 2 +

1 ,_Y1 ,_Y1 ,_Y1 2 f ^x 2 f ^x 3 f ^x 2 f ^x 3 о ,

- X 2 J ^x 3 ^J < 2 ^J & d Х 1 n ¹

+ m 2 г² г³ г² г ¹ J x? J x t J &

v_{n - 2}) d T ₃d T ₂d < ₃d ^ ₂ <<  4/3 K ( K + 1) M 1 (4 KM 1 ) ⁿ | х ¹

х |^{2 n ,!} +

₊ M ₂ x 2 x 3 x 2

¹ J x? J x t J &

2 c ^x 2 f ^x 3 f ^x 2 p3 d ,

- ^х 2 ^{J x} 3 ^J < 2 ^J 6 d Х 1 n ¹

v n - 2 ) d ^T 3 d ^T 2 d £ d k

Если данный процесс повторить n - 2 раз и использовать неравенство (13), то получим

3^d-( v n + 1 ( X ) - v n ( X )) < 2/3 nK ( K + 1) M 1 (4 KM 1 ) ⁿ |х ¹ u X 1

-

х |^{2 n} , ^! + ( K + 1) M n ^{+ 1} | х ¹

-

12 n + 1,! x | (1)

•

Следовательно, если ряд (9) продифференцировать по 1 , то полученный таким образом ряд будет равномерно сходиться в области D • Значит, по известной теореме сумма ряда (9) - дифференцируемая по х1 в области D функция^ Аналогичное утверждение можно сделать и относи тельно переменных х2 и х3 • Итак, v e C1 (D) • Очевидно, что более этого, v e C1 (D) •

Исследуем возможность применения операторов D Х 2 ) и D Х ³^ к функции v ( х ) в области D •

Легко видеть, что правая часть уравнения (8) допускает применение к ней операторов D ⁽²⁾ при ^х ( i )

i = 1,3, а также оператора D x ³ , и полученные в результате этого функции будут непрерывны в

D . Поэтому D ⁽²⁾ v , D ⁽³⁾ v е C (D). Далее нетрудно подсчитать, что ^x ( i )

г

D ⁽²⁾ v + av ^x ( i )            ^-

= ) X ^х L < a j v )

к j = i

xj

^ cv d ^ i ,

а значит

D ⁽²⁾ v + a.-v,     i = 0, x е S .

^x ( i )         ⁱ l x = x                ⁱ

Поскольку кроме этого v x = x = 1 для i , j = 1,3 ( i = j ) и d X² v е C (D), то функции

w(x(iJ = v(x) i удовлетворяют условиям (6). Для окончательного доказательства теоремы по-(-)'             х- = х- действуем на равенство (15) оператором Dx . Получим L* (D)v(x) = 0 . Итак, функция v(x), находимая из (8), удовлетворяет задаче (5)-(6). Теорема доказана.

Замечание 1. Если c , a_i е C ¹(D), d ² a_i I d x - е C (D), тогда функция Римана дважды дифференцируема и R( x , x ¹) е C (D).

Исследуем теперь свойства функции U ( x ) = R( x ⁰, x ).

Теорема 2. Пусть коэффициенты уравнения (1) обладают гладкостью, требуемой в теореме 1. Тогда U ( x ) имеет следующую гладкость: U е C ¹(D), D xx^ U е C (D), D^U е C (D), а также удовлетворяет однородному уравнению (1) и условиям (6)

^D x ² ) w i ⁽ x ( i ) ) ⁺ a i ⁽ x^ x = _x 0 w i ⁽ x ( i ) ) = ⁰, x ( i ) ^е S i ⁽ x ⁰ )’ w i ^{( x} ( i ) )_к = _x 0 = ¹ s = k , j , ^x S <  ^x s <  ^{x 1},

где w i ^{( x} ( i ) ) = U ^{( x} ), _х__х 0.

Доказательство. Положим x = x ⁰ и x ¹ = x в уравнении (7). Его решение представляется рядом (9), который перепишем в виде

U ( x ) = £ U n ( x , x ⁰),   x е D,

n = 0

где U ₀( x , x ⁰) = 1, а при n >  1

x ¹

U n ^{( x} , ^{x 0)} =-J ^c( ^ ^)U n - 1 ^{( x , Ь )} d < - ЁК xx ^x                                   i = 1 ^{x ( i )}

^x (-)

_ 0

a b U _ 1 ( x ,^_ _x 0 d^y

Пусть U n ( x , x ⁰) обладает гладкостью, требуемой в теореме 2 от функции U ( x ). Тогда из формулы (18) сразу следует, что U_{n + 1}( x , x ⁰) также обладает этой же гладкостью. Это видно из того, что порядок производных справа от U_n ( x , x ⁰) не может быть выше порядка производных слева от U_{n + 1}( x , x ⁰). Оценим члены ряда (17). Из (11) следует, что

( 36 Mk ³ ) n

| U (x, x0)|< 5^, n 9(2n -1)!

если I x, - x ⁰ | < k , I a , |,| c | < M . Аналогичные оценки имеют место и для D_Y U„ , D ⁽²⁾ U„ , D ⁽³⁾ U„ . i i i                                                               xn x n x n

-(

Значит, сумма ряда (17) обладает гладкостью, требуемой от функции U ( x ). Положим в формуле (18) x- = x ⁰. Тогда, обозначая U ( x )    ₀ = wv ( x_(i ), x ⁰) будем иметь

^{-      -}                                      nx x = x i         n z ^{( -} )

^wn (x(i),x0) = - C-) ai (^)lwn-1(x(i), ^>1 = _d d^(i). v 7                 x(i)                       v '      Ь/ = xi

Положим x j = x 0 , для j = i . Тогда W n ( x ( _i ) , x ⁰) | x = x ₀ = 0 для n >  1. Значит, w , ( x ( _i ) ) x = x ₀ = 1. Подействуем на равенство (19) оператором D_x . при j = i . Если n >  1, будем иметь

D x W n ^{( x} ( i ) , ^{x 0)} = ^-J x k a i ^{( J ) W} n - 1 ^{( x} ( i ) , ^{J )}i£ 0 d ^J k ^- JT ) a i ^{( J )} D x, ^W n - 1 ^{( x} ( i ) ^{, J}k-_x 0 d ^J ( i ) , j                          x kk                      ^v '     | S t = ^x i             xx ( i )               j                    bi = ^x i      ^v '

5 J = x j

или при n >  2

D x j ^W n ⁽ x ( i ) , x ⁰ ) = - J x T a i ( ^J D x j ^W n - 1 ⁽ x ( i ) , ^ = _x 0 d ^J (i ) .

Действуя на полученное равенство оператором D_x k , найдем

D^ ^W n ^{( x} ( i ) , ^{x 0)} = J x a i ( ^J D^ ^W n - 1 ⁽ x ( i ) , ^)^ d ^J (i ) . ^(,)                                    * x ( i )                     ^(,)                            O i ^i

Если n = 1, то будем иметь D(2) W] (x( • , x0) = - a ■ (x)   0 и значит x (i) 1 (i)                   i       xi = xi

D^, ) ^W 1 ⁽ x ( i ) , x ⁰⁾ = - a i ⁽ x^ x = x 0 w ^o( x ( i ) , x ⁰⁾ .

Отсюда, используя (19) и (20), нетрудно получить

D x ² ) ^W n ⁽ x ( i ) , x ⁰⁾ =- a i ⁽ x ) к = _x 0 ^W n - 1 ⁽ x ( i ) , x ⁰⁾ .

Переходя к пределу при n ^^ и учитывая, что lim Wn(x(i),x0) = wi(x(i)), убеждаемся в n ^~ справедливости (16).

Выпишем рекуррентное дифференциальное соотношение для функций Un(x,x0). Подсчет показывает, что если i, j, k - не равные между собой числа, принимающие значения 1, 2, 3

D x3 U_n ( x , x ⁰) =

3-^ Г^ xx,,                          xx,                          xX,A              A

= ^-^ I L 0 a j ^{( J )}k^ ^{0 d J} k ⁺ L 0 a k ^{( J )} |&^ ⁰ d ^J j ⁺ L 0x c ^{J )d J} t.i ) j D x₍,) ^U n - 1 x ^J ) j = x ^{+ (22)}

1   ^* ^xk           jj   J           *^xj           k^   k           *^x ( i )                   J    ^(<)

+ Г0 ⁱ ) a i ( J ) D x³⁾ U n - 1 ( x , J ) j = x_; d J ₍ i ) x ( i )                                                         ^{i i}

- Го c ( J ) D Г) U _] ( x , J ) d J - c ( x)U_n _] ( x , x ⁰) x

Очевидно, что U_n ( x , x ) = 0, если n >  1. Положим n = 1 в (22). Тогда, так как U ₀( x , x ⁰) = 1, получим

D x³⁾ U n + 1 ( x , x ⁰) =- Z a i ( x ) D x U n ( x , x ⁰) - c ( x ) U n ( x , x ⁰) i = 1

при n = 0 . Далее из (21) следует, что при J = x_i

D x ^) ^U n ⁽ x , ^{J )} = ^{- a} i ⁽ x^)U n - 1 ⁽ x , ^{J )} .

Предположим, что формула (23) верна при n = m - 1. Докажем ее справедливость и при n = m . Для этого, подставим значения из (23) и (24), взятые при n = m , в формулу (22), в которой n = m + 1 . Получим

3 Г       x X

D^U m + 1 ^{( x} , ^{x 0)} = Z a i ⁽ x ) I J _x 0 k a j ^{( J )}"| i = 1 L        V

- _ d ^{d J} k ⁺ J x jj a k ^{( J )} _ d ^{d J} j ⁺ J x 0 ⁱ ) c ^J ) ^{d J} ( i ) ^{2 U} m - 1 x ^J ) j. = x, ⁺

^IJj = ^xj xjj ^Jk = ^xk ^J xx ( i )              ^v' j               ^1 I

x

( 3

A

+ J xo ) a i ( J ) Z a j ( x ) Dx, U m - 1 ( x , J ) + c ( x )U m - 1 ( x , J )

^Jx ( i )          ^ j = 1             ^j

^{d J} < i ) ⁺

^J J i = x f        _

3 _x

⁺Z £ 0 ( a i ⁽ x ) c ^{( J ) D} x_i U m - 1 ^{( x} , ^{J ) +} c ^{( x} ) c ^{( J ) U} m - 1 ^{( x} , ^{J )} ) ^{d J} .

i = 1 x

Обозначим коэффициент при ai (x) через bi (x). Применяя равенство (18), получим bi (x) = f G aj (6)"l£ —d d^k + G ak (6)V _d d6j + Кi) c 6d6ii) 'I Um-1 x 6 6 = x, +

^ Xk bj = xj xXj hk = xk xx(i)            V,Ji

• 3 Xx

⁺ E j _x j a j ^{( 6 )}D x i U m - 1 ^{( X} , ^{6 )} _{6 j} = _X 0 d ⁶ ( j ) ⁺ J _x 0 c^{( 6 )}D x . U m - 1 ^{( x} , ^{6 )} = ^- D x i U m ^{( x} , ^x ° )-

Аналогично, обозначая коэффициент при c(x) через d(x) получим 3xx d (x) = E 0 i) a, (6)Um -1( x ,6L _d d6( i) + J ° c (6)Um-1( x 6 d6 = ~Um (x, x °).

• *™1 wx(i)                           19/ = xixx

• 2.    Задача Коши

Подставляя полученные значения коэффициентов b i ( x ) и d ( x ) в формулу (25) получим (23) при n = m . Значит, формула (24) верна для любого n е N . Для окончательного доказательства теоремы перейдем в формуле (23) к пределу при n ^ ^ . Тогда будем иметь L( D)U ( x ) = ° . Теорема доказана.

Замечание 2. Если коэффициенты имеют гладкость c , a i е C 1 (D), д ² a i / д x i ² е C (D), тогда R^x ° , x ) е C (D).

Исследуем задачу Коши. Рассмотрим следующие тождества для функций u , v е C ³( G ) v L( D ) u + u L * ( D ) v =

= ut^vv + auv

\ ^x 2 ^x 3        ¹

= ( uv_{x x} + a,uv

\ ^x 2 ^x 3       ¹

) _{x 1} ⁺ ( ^{- u} x ₃ v x 1 ⁺ a 2 ^uv ) _{x 2} ⁺ ( ^uv x 1 x ₂ ⁺ a 3 ^uv ) _x 3 , ') _{x 1} ⁺ ( ^u x 1 x ₃ v ⁺ a 2 ^uv ) _x 2 ⁺ ( ^{- u} x 1 v x ₂ ⁺ a 3 ^uv ) _x 3 ,

= ( ^{- u} x ₂ v x ₃ ^{+ a} 1 ^uv ) _{x 1} ⁺ ( ^uv x 1 x ₃ ⁺ a 2 ^uv ) _{x 2} ⁺ ( ^u x 1 x ₂ v ⁺ a 3 ^uv ) _{x 3} .

Складывая их, найдем uv x 2 x 3

u_Y v_Y + uv_{Y x} + 3 auv ) + x ₂ x ₃        x ₂ x ₃       1 _{x 1}

+ ( u _rv v

\ ^x 1 ^x 3

u_Y v_x + uv_YY + 3 a₇uv) + \u_YYv x ₃ x ₁ x ₁ x ₃ 2 _x x ₁ x ₂

u_Y v_x + uv_YY + 3 a₃uv ) . x ₁ x ₂ x ₁ x ₂ 3 _{x 3}

Из обозначений, сделанных в начале статьи, следует, что область G определяется точкой x ° , если поверхность a ( x ) = ° фиксирована. Поэтому G = G ( x ° ). Вернемся к предыдущему тождеству (26) и заменим в нем x на 6 , вместо v ( 6 ) подставим R( 6 , x ) и проинтегрируем по G ( x ). Обозначим интегралы от каждой скобки через J ₁, J ₂ и J ₃ соответственно. Компоненты вектора внешней нормали к поверхности a ( x ) = ° обозначим i 6 , i = 1,2,3 . Вычислим J ₁. Имеем

J ¹ = J G ( _x ) [ ^u 6 2 6 3 ^{R - 1/2 ( u} 6 2 ^R 6 3 ^{+ u} 6 3 ^R 6 2 ^{) + u R} 6 2 6 3 ^{+ 3 a} 1 ^{u R} ] ₆ d ⁶ =

+ u R 6 2 6 3 + 3 a 1 u R " n ^ 1 d a .

= J a u S [ ^u 6 2 6 3 ^R - ^{1/2 ( u} 6 2 ^R 6 3 ^{+ u} 6 3 ^R 6 2 ^)-

Используя свойства функции Римана (6), найдем

• ^{J 1} = J a ( x ) [ ^u 6 2 6 3 ^{R - 1} / ^{2 ( u} 6 2 ^R 6 3 ^{+ u} 6 3 ^R 6 2 )

  + u R 6 ₂ 6 ₃ + 3 a 1 u R ] i 6 1 d a -

  
  
  
  

  J _S( x ) { ( u ^3 ^{- 3/2} [ ( u ^R 6 , ) ₆ + u ^R 6 3 ) ₆ _

  
  

  + 3 ( R 6 2 6 3 + a 1 R ) u > ds .

  
  

Здесь a ( x ) - часть поверхности a ( x ) = °, находящаяся в области G ( x ). Обозначим P i ( x ) = т j ( x ) n T _k ( x ). Интеграл по S 1 ( x ) обозначим через 1 1 и вычислим его. Опять используя свойство функции Римана (6), найдем

' 1 = ¹ J S l ( x ) {[ ( u ^R) 6 2 ^{- 3} ( u ^R 6 ) ] _{6 3} ⁺ [ ( u ^R) 6 3 ^{- 3} ( u ^R ₅ 3 ) ] ₆ 2 ds =

= 2 J r^R X ) { [ ⁽ u ^R) 5 2 ^{- 3} ( u 4 ) ] 4 ⁺ [ ⁽ u ^R) 5 3 "  ³ ( u ^R 5 3 ) ] n 5 2 } ds -

1 P ₂( x )                     1 P ₃( x )

• ^- 2 J. . ₂ ⁽ u R 5 d ^{5 -} 2 J. . 3 ⁽ u ^R) ₆ d ⁵ 3 =

= 2 J r 1 ( . ) { [ ⁽ u ^R) 5 2 ^{- 3} ( ^{u R} 5 2 ) ] n ‘ 3 ⁺ [ ^{( u R} 5 - ³ ( ^{u R} 5 3 ) ] ⁿ 5 2 } ds ^-

- 1/2 u ( P ₂)R( P₂, x ) - 1/2 u ( P ₃) R( P ₃, х ) + u ( х ), где n 5. — компоненты вектора внешней нормали к кривой т ₁ ( х ) в плоскости 5 ₁ = х ₁. Итак, J ₁

имеет следующее значение

J 1 = J ( ) [^ U 5 2 5 3 R - 1/2 ( u 5 2 R 5 3 + U 5 3 R 5 2 ) + u R 5 2 5 3 + 3 a ^ R ] П 5 1 d , -

• ^- 2 J _{T 1 ( х} ) { [ ⁽ u ^R) 5 2 ^{- 3 ( u R} 5 2 ) ] ⁿ 5 3 ⁺ J ^{u R} 5 ^{- 3 ( u} R 5 3 )] ⁿ 5 2 } ds ⁺

+ 1/2 u ( P ₂) R( P ₂, x ) + 1/2 u ( P ₃) R( P ₃, x ) - u ( X ).

Аналогично вычисляются интегралы J2 и J3 . Складывая значения J1 , J2 и J3 , получим u (X) = 3 u (P1)R( P, X) + 3 u (P,)R( P2, X) + 3 u (P,)R( P3, X) -

2 U< x ) [ (

i = 1

u 5 j ^{R -} 2 u ^R 5 j ) n 5 k ^{+ ( u} 5 _k ^{R -} 2 u ^R 5 _k ) n 5 j d T i ⁺

+

J , ( X ) ^{T u} 5 j 5 k ^R- 2 ( ^u 5 j ^R 5 k ^{+ u} 5 k ^R 5 )

^{+ u R} 55 ^{+ 3} a i ^{u R n} 5 _i ^{d , -} J _{G ( X} ) ^{R( 5 , X} ) f^{( 5 )}d ^{5 (27)}

Для того, чтобы полученная формула давала решение задачи Коши, необходимо выразить значения uXk, uXkXi на ,(x) = 0 через данные Коши. Покажем, что это возможно, когда направление l(х) не касается поверхности ,(х) = 0 ни в одной точке. В случае, когда уравнение имеет второй порядок, это известно [5].

Пусть поверхность ,(х) = 0 на некоторой своей части задается уравнением х1 = ,(х2, х3) и , е C4 . Можно считать, что фк = фк (х2, х3). Легко показать, что на поверхности ,(х) = 0 верны равенства

du      дu   д^.    дu      дu   д^.   , дu   , дu   , дu

^, 2 ⁺Ч- = ^0, Ч- ^, 3 ⁺Ч-= ^0, l1^- ^{+ 1} 24- ⁺ l 34- = 9 1 , д X 1       д х 2    д х 2     д X 1       д х 3    д X 3 д X 1      д х 2      д х 3

в которых , i - =д , / д x i . Полученная система уравнений для определения д u / д X i , разрешима при любой правой части, если А = ( 1 , n ) == 0 в произвольной точке поверхности , ( х ) = 0. Далее из (28)

нетрудно получить систему уравнений для определения д2u / дxiдх,. Если неизвестные записать в виде вектора X = (ux х , ux х , ux х , ux х , ux х , ux х ) , то матрица этой системы г \ х1 х1 ’ х1х2 х1х3 х2х2 х2х3 х3х3 I,            г

AX = b, будет иметь вид ",2,3 СУ3 ,2 0 1 0 ) ,22 2,2 0 1 0 0 A = ,32 0 2,3 0 0 1 11,2 l1 + l 20-2 13,2 l2 l3 0 11,3 12°3 11 +13,3 0 l2 13 V l1 2l1l2 2l1l3 2 l2 2l2l3 12 13 7 а вектор правой части записывается в форме

^дФ 1 д x 2

-

( a2„

д Фо vдx2дx3

^Ux_x\a ° 23

д 2 Ф о ^{д x} 2

-

^ux 1 (a- ^ 22

д ² ф о dx 2

- ^u x 1 O ° 33 »

^n d lj д u дф 1 i =1 ^д x 2 ^д x ^ ’ ^д x з

-

3 z i = 1

∂li ∂u дx3 дxi о

Ф - Z li i, j=1

* j .u

дx, дx i j ° 7

После элементарных преобразований определитель матрицы A примет вид det A = А ⁴.

Сформулируем основной результат для задачи Коши.

Теорема 3. Задача Коши (1)-(2) имеет единственное решение, если c , a i е C 1 ( G ), д ² a i / д x ² е C ( G ), ф _к е C^{4 - k} ( а ) и векторное поле l ( x ) не касается поверхности ое C ⁴ ни в одной точке. Это решение можно найти по формуле (27), если д и / д x i ^ определить из системы (28), а д ² и / д x i д x ^ из системы (29).

Доказательство. Единственность решения задачи (1)-(2) следует из представления (27). Для доказательства существования решения сделаем в уравнении (1) замену переменных v = u-u а-(x1 - °) u^ - (x1- а)2 ux x1a, где uxo и ux1 x^ находятся через фi из (28) и (29). Тогда, уравнение (1) примет вид L(D)v = f1, а условия (2) станут однородными. В силу замечаний к теоремам 1 и 2 имеем ux x, е C(G). Ясно, что f1 е C(G(x0). Если теперь показать, что функция

v ( x ) = —L ( R^’ x ) f ^ d ^ J G ( x )

является решением однородной задачи (1)-(2), то теорема будет доказана.

Нетрудно подсчитать, что

7=Ishx R- x)f'-x d^- JG(x) ^ '-x) л®d^’ д2 v

∂ x ∂ x_k

—jjx>R<5.x)f1(^>.t=, d^, + J   |R(^x)f (^ = „ d.. + x.                              <          Si, (x)^                  Ixl

ξ k = x k               x ^k

+L ,„|^( ^ , x ) j r1 (Й_Ь =„ d ^ < k ) - L.T^ r-f ^ ' x ) f 1 ( ^ ) d ^ .

J Sk (x) дxi             kk             G3 (x) дxi дxk д3 v              x r- < x Ф Г Pi (x) д Rze

d2R                              d3R

+ZIS,( x)     (^’ x) f^=-. ^(i) - ^G (x) 5j (^’ x) f1(^) d^’ а поэтому

L(D ) v = J 1 ( x ) - ]T J p⁽ x ) | R( ^ , x ) f , ( ^ )| _{5 k} = x_k d ^ i + i = 1 ⁱ        x ⁱ                 \ ^ '= x .

3      ( д2 n                      A

+ZL, . T^( ^ , x ) + a i ( x )^R( ^ , x ) f . ( ^ ) fe = x, d ^ ( i ) "L ₍ L xx ( D )^R( ^ , x ) f X ^ ) d ^ . S i ( ^x ) д x_tоx,-                                           ^{i i            JG} ( ^x )

ⁱ = 1         v ^k j                             7

В силу свойств функции Римана L(D)v = f1. Легко видеть, что у„ = vx о = vx. о = 0 для лю-i ik бых, значений i, k = 1,2,3 , не обязательно различных. Теорема доказана.

(^^tuvA-vD^^^u+uD^^^v

Dx (uv) = VDX u + UDX v + A ( vX,DX(i) u + uXiDx (i) v )• i=1

Если теперь к обеим частям полученного тождества добавить следующее равенство vL(D)u + uL(D)v = vDx3)u + uD^3v + A(a=uv)x , i=1

справедливое в D , то будем иметь

DУ( uv) + У (a.-uv) = v L( D) u + u L*( D) v + У vvxD(2) u + uxD(2) v V(31)

x                        i                                                             x i x ( i )          x i x ( i )

i=1

Рассмотрим аналог тождества (30)

D ⁽²⁾ ( uv ) = vD ⁽²⁾ u + uD ⁽²⁾ v + u_x, v_x + u_x v_x, . ^x ( i )^{V 7         x} ( i )            ^x ( i )         x k x j       x j x k

Положим в нем v = v x, и просуммируем по i . Будем иметь

3                     3                                  3

У D ( ²⁾ ( uv_x ) = У v_x D ( ²⁾ u + 3 uD (3) v + 2У u_x D ( ²⁾ v .

x ( i ) ^v xi '           xi x ( i )               ^x Z-i x i x ( i )

i = 1                       i = 1                                      i = 1

Вычтем полученное тождество из равенства (31). Тогда, после некоторых простых преобразова ний, получим следующее тождество в D

^{( D} ) v ^- A [ u ( D x ² ) ^{v +} av )

i = 1                         ^J xi

D X^ ( uv ) - A D ^ ( uv x ) = vL(D ) u + uL

i = 1

Выберем вместо v(x) функцию Римана уравнения (1), т.е. положим v(x) = R(x, x1). Это возможно в силу теоремы 1 и включения D^'v е C(D). Тогда L*(D)v = 0. Затем положим x = § и проинтегрируем последовательно по § (i = 1,2,3) в пределах от x0 до xi. Получим

3 , u (x) R(x, x) - u (x0) R(x0, x) - A (u (x)R (xx = x0, x) - u (x0) R(xjx0=x , x i =1                     i i                                  i i

AI x i = 1 i

d § i =

= J x 0 R( § , x )L § ( D ) u ( § ) d § - A IT ( u ( § ) ( D <²) R( £ x ) + a i ( £ )R( £ x ) )),     d § ₍ i ) .

J x                                               x ( i )\        \ § ⁽ i )                                     //| ₆ = x i

Предположим, что

9 i ^(x ( i ) ⁾ x_j = x 0 = V j ^{( x} ( j ) ⁾ x i = x 0 = Vk ⁽ x k ^);

^i (0) = ^j (0) = Vk (0) = ^0, где i, j, k - различные числа, принимающие значения 1, 2, 3. Учитывая, что функция R(x, x1)

является решением задачи (5)-(6), получим

3 /                                                                  \

u ( x ) = A ( V i ( x ( i ) ) R( x _ 0 , x ) - V i ( x , ) R( x ⁰n , x ) ) + V 0 R( x ⁰, x ) -

\ ^x'         I x i = x i                              I x i = xi      /

I = 1

-

AI 0 x i = 1 ^{x i}

V ⁽ § - ^)R ^ ^{( x} ° x p = § , ^x ) ^- A ^V j ⁽x ( j ) ^)R § i ^{( x} | _Xj = x 0 , x ) d § i ⁺ (                                ^j "’ ^j                      'x =^ i )

3 x                                                         \

+AJ (i)V(^)) D(2) R(§,x) + az(§)R(§,x)    o d^ + J 0/(§)R(§,x)d§.(35)

=7^jx(i)       ()     §(i)                                /§=xi0

Итак, сформулируем основной результат для задачи Гурса.

Теорема 4. Пусть f,c,ai,dai IЭxi e C(D), (i = 1,3), а функции ф1(x(i)), удовлетворяющие ус ловиям согласования (34), имеют гладкость D(2) x(i)

Ф г

e C (D), тогда регулярное решение задачи

Гурса существует, единственно и записывается в виде (35).

Доказательство. Очевидно, что D x ³u e C (D), а поэтому единственность решения задачи Гурса в требуемом классе функций следует из представления (35). Докажем существование. Нетрудно видеть, что правая часть формулы (35) обладает гладкостью, необходимой для искомого решения. Проверим, что u ( x ), находимая из (35), удовлетворяет уравнению (1) и краевым условиям (3). Начнем с последнего. Если воспользоваться свойствами функции Римана (5)-(6) и условиями согласования (34), то нетрудно убедиться, что интегральные члены в формуле (35) при x i = x ⁰ обращаются в нуль, а сумма членов, не содержащих интегралы, будет равна ф ₁ ( x ( i ) ). Значит, условия (3) выполнены. Обозначим

x u о( x) = Jx 0 f (£)W, x) d^.(36)

Покажем, что L( D ) u ₀ ( x ) = f ( x ). Действительно,

3 xx

Dx3) u o( x) = f (x) + Yf 0 i) f (£) D(2) R(£ x )^=xd^( i) + J о f (^)Dx3)R(^, x) d^, x(i)                   (i)                    i ixx

и

Dxuo(x) = JxOi) f(^)R(^,x)^=xd^(i) + fx f(^)Dx R(£x)d^, i                xX(i)                          vsl I X / J x и значит, используя свойство функции Римана (16), получим

x

L( D ) u о ( x ) = f ( x ) + J x о f ( ^ )L x ( D ) R( £ x ) d £

Опять вспоминая теорему 2, убеждаемся в верности доказываемого равенства.

Обозначим u 1 ( x ) = u ( x ) - u ₀( x ). Покажем, что L( D ) u 1 ( x ) = 0. Очевидно, для u 1 ( x ) верна формула

(35), записанная при f ( x ) = 0. Если подставим в эту формулу выражения

V i ^{( x} ( i ) ) = ^{u ( x )} x_i = _x 0 , ¥ i ⁽ x ) = ^{u ( x} ). _x k = _x 0 ,

I 0

xj=xj где числа i, j, k не равны между собой и принимают значения 1, 2, 3, то в силу выполнимости условий (3) получим формулу (33) без слагаемого

x

J x 0 f (,^( D ) u ( £ ) d ^ .

Далее, проводя рассуждения, обратные сделанным при выводе формулы (33), найдем 3                                      3          ,Л

J x 0 ( /Y¹ ( u i ( x )R( ^ , x ) ) - ^ D g ) ( u i ( x ) R ^ ( ^ ,x ) ) + £ u i ( x ) ( D ^ R( ^ , x ) + a i ( ^ )R( ^ , x ) ) ) d ^ = 0.

x                                       i=1      '                                i=1          ' '

Положим x = x1, x0 = x, R(x, x1) = v(x) и применим к обеим частям полученного равенства опе ратор Dx3. Будем иметь 33 / ,

D(3)( uv) - Yd (2) Luvvx ) + Y uJD(2) v + aj (x) v)

x v 1 /           x(i) \ 1 xi ) M x(i)'

• i=1                        i=1

Вспоминая тождество (32) и рассматривая его при v ( x ) = R( x , x ¹), получим vL(D ) u 1 = 0. Так как

v ( x ) 5^ 0, то L( D ) u 1 = 0. Теорема полностью доказана.

Замечание 3 . Функция u ₀( x ) из равенства (36) является решением неоднородной задачи

Гурса с однородными краевыми условиями.

Пример . Исследуем задачу Гурса при a_i ( x ) = 0 для i = 1,2,3 и c ( x ) = X

D x ^{3u + X u} = f ^{( x} ), ^{u ( x} )_{| S i (} x 0 ) = Ф 1 ^(x ( i ) ), ⁱ = ^1,2,3

Функция Римана этого уравнения легко находится из формулы (7). Она имеет вид те

R ₂ ( x, 5 ) = XH) n ( * 1 - 5 1 ) n ,! ( x 2 - 5 2> n ,! ( x 3 - 5 з> n '! . n = 0

Решение задачи Гурса (35), которое с помощью метода нормированных систем функций [6] и операторов U ( D ) и V ( D ) из [6, теорема 4.13] можно также записать как решение задачи С р при в = (1,1,1), легко преобразуется к виду

( з

u ⁽ x ) = X ( V i ⁽ x ( i ) ) ^- V i ⁽ X i ) ) ⁺ V o ^{- Я} J xx 0 X ( V i T i ) ) - ^^(^i^^ + V o ^R ^(^T^x ) ^{d T +}

x

i = 1

x

V i = 1

x

J x o f^{( T )R} 7 ^{( T} , x ) ^{d T} ,

где функции v i ( x i ) необходимо брать из (34). Найденное решение совпадает с полученным другим путем в [1]. Метод нормированных систем функций [6], примененный к уравнению Лапласа позволяет строить специальные полиномы [7, 8] и решение задачи Дирихле [9], а примененный к линейным ОДУ – новое представление решений задачи Коши [10].