Задачи Шоуолтера-Сидорова и Коши для линейного уравнения Дзекцера с краевыми условиями Вентцеля и Робена в ограниченной области

• 1.    Постановка задачи

Пусть Q с > n , n g N \{1} - ограниченная связная область с границей 5Q класса C ” . В цилиндре Q T = Qx ( 0, T ) , T g>₊ , рассмотрим линейное уравнение Дзекцера

(Я-A)ut (x,t) = а0Au(x,t)-в0A2u(x,t)- yu(x,t) + f (x,t), (x,t)gQt,(1)

моделирующее эволюцию свободной поверхности фильтрующейся жидкости [1], решения которого должны удовлетворять краевым условиям Вентцеля du

Au(x,t) + а1 — (x,t) + P1u(x,t) = 0, (x,t)g5Qx(0,T)

и Робена а2 — (x, t) + в2 u (x, t ) = 0, (x, t )g9Qx( 0, T),(3)

а также либо начальному условию Шоуолтера-Сидорова lim (Я -A)(u (x, t)- u0 (x)) = 0, x gQ,(4)

t—>0+ или начальному условию Коши lim (u (x, t) - u0 (x)) = 0, x gQ.(5)

t ——0+

Здесь параметры 2 gR , a k , в_к , Y g R ₊ , k = 0,1 характеризуют среду; функция f ( x,t ) - источник жидкости, а v = v ( x ) - внешняя единичная нормаль к dQ .

Краевое условие (3), начальные условия (4) и (5) изучались ранее в различных ситуациях [2], поэтому приведем лишь краткую историю условия (2). Впервые оно возникло в [3] при построе- нии генератора полугруппы Феллера [4] для многомерных диффузионных процессов в ограниченной области Q. В [5] впервые было показано, что (2) естественным образом возникает в биофизике для описания диффузии внутри клетки и на ее мембране. Позже в [6] список математических моделей, где (2) описывает процессы на границе области Q, существенно пополнился. Такой подход к изучению задач, где краевые условия трактуются не как предельные значения искомой функции и ее производных, а как описание неких процессов на границе, возможно лишь частично зависящих от процессов внутри области, привел к построению нового направления в теории потенциала [7, 8], где получены решения однофазной и двухфазной задач Вентцеля с использованием повторных потенциалов двойного и простого слоя.

Другой подход основан на идеях и методах теории полугрупп операторов. В [9] впервые показано, что оператор, включающий в себя оператор Лапласа А внутри области Q и оператор Лапласа-Бельтрами А на ее границе cQ , является генератором C ₀ -полугруппы. В [10] этот результат был использован при решении ряда прикладных задач. Первые итоги исследований в данном направлении были подведены в [11]. Кроме того, в [12] найдены условия аналитичности разрешающих C ₀ -непрерывных полугрупп операторов. Наконец, в [13] рассмотрен случай, когда оператор А заменен на А ² в области Q , на границе же по-прежнему оператор Лапласа-Бельтрами А .

Наш подход к исследованию задачи (1)-(3) традиционен. Во-первых, используя классическую теорию эллиптических операторов [14, гл. 5] мы редуцируем ее к линейному уравнению соболевского типа

Lu = Mu+f(6)

и показываем, что оператор M сильно (L,0) -секториален. Во-вторых, используя теорию вырожденных голоморфных полугрупп операторов [15, гл. 3], мы строим решение как задачи Шоуолтера-Сидорова lim P (u (t) - и0) = 0,(7)

t—>0+ так и задачи Коши lim (и (t) - и0) = 0(8)

t——0+ для уравнения (6). Подчеркнем, что во всех этих построениях (2) понимается как краевое условие. Наконец, в-третьих, мы рассматриваем стохастическую версию задач (6), (7) и (6), (8), где вместо «обычной» производной U понимается производная Нельсона-Гликлиха и . Заметим, что исследования в данном направлении начаты сравнительно недавно [16–19]. Статья кроме вводной части и списка литературы содержит два параграфа: в первом рассмотрен детерминированный, а во втором - стохастический случай.

2.    Детерминированный случай

Пусть U и F - вещественные банаховы пространства, операторы L е L(U, F) (т. е. оператор L линеен и непрерывен, причем domL = U), M е Cl (U,F) (т.е. оператор M линеен, замкнут и плотно определен). Напомним [15, гл. 1], что множество pL (M) = {ре С :(pL -M)-1 е L(F,U)} называется L -резольвентным множеством оператора M , а множество aL (M) = С \ pL (M) его L -спектром. Операторы RL (M) =(pL - M)-1 L е L(U) и LL (M) = L(pL - M)-1 е L(F), называются правой и левой L-резольвентой оператора M соответственно. Пусть рL (M)^0, p е {0} u N, тогда можно построить правую и левую pp Rpр)(M)=ПRPk (M)"LL„)(M)=ПLP (M) k=0                            k=0

( L,p ) - резольвенты оператора M соответственно.

Определение 2.1 [15]. Оператор M называется ( L,p ) -секториальным , если

• (i)    существует константа 0 el — , п I такая, что сектор

S^L _e ( M ) = { ц e С :| arg ц | < 0 } с p^L ( M ) ;

• (ii)    существуют константы K e R ₊ и p e {0} uN такие, что

• x {|К,.) (M) I ( u ) -IILLH-p)(M) L(5)} < vK-
• П1 Hk 1 k=0

при любых ц ₀, Hv--- , H _p ^e P L ( ^M ) .

Лемма 2.1 [15, гл. 3]. Пусть оператор M ( L,p ) -секториален, тогда

• (i)    U ⁰ n U ¹ = {0}, F ⁰ n F ¹ = {0};

• (ii)    существует оператор M - ¹ e L ( F ⁰; Я ⁰ ) , причем операторы M 0"¹ L ₀ e L ( Я ⁰ ) и L ₀ M 0"¹ e L ( F ⁰ ) нильпотентны степени не больше p .

  Здесь     U ⁰ = ker R ^, p ) ( M ) , F ⁰ = ker L ^ u , p _} ( M ) , U ¹ ( F ¹ )

  
  

  _–

  
  

  замыкание   im RL^p ) ( M )

  
  

( dom M n U^k ), k = 0,1.

Определение 2.2. Пусть B - вещественное банахово пространство. Оператор-функция V ' : к. ^ L ( B ) называется вырожденной голоморфной полугруппой операторов , если (i) V^s V¹ = V^{s +} t при всех s , t e R ₊ ;

• (ii)    V ' голоморфно продолжима в сектор, содержащий полуось R ₊ ;

• (iii)    ker V t ^ {0} при некотором t e R ₊ .

Лемма 2.2 [15, гл. 3]. Пусть оператор M ( L,p ) -секториален. Тогда существует вырожденная голоморфная полугруппа операторов U ': R₊ ^ L ( U ) ( F ': R₊ ^ L ( F ) ), имеющая вид

U =    J R H ( M ) e ^H d p f F t =    J L^Lh ( M ) e ^H d ц ,

2-Ki г               ^     2ni г               J где контур Г с SQ (M) такой, что | arg ц |^ 0 при д ^ ^ и це у.

Обе полугруппы U" и F' голоморфны в секторе |arg ц| < 0 -П , причем ker U = U0 и ker Ft = F0 при всех t e R+ . Кроме того, imU с U1 и imFt с F1 при всех t e R+ .

Определение 2.3. Оператор M называется сильно ( L,p ) -секториальным справа (слева) , если он ( L,p ) -секториален и

I R^ p , ( M )( ^ L - M ) - ¹ Mu |u < —

K

—, X , H k e S Q ( M ), k e {0,1,..., p },

^H k ¹

при любом u e dom M и некоторой константе K e R₊ , зависящей от u .

(Существует плотный в F линеал F такой, что ( X L - M ) ^{- 1} f e dom M при всех f e F , причем

I M( X L - M ) ^{- 1} l L _u , p ) ( M ) f || < — , X , H k e S Q ( M ), k e {0,1,..., p },

F    ^{| X} H k = 0 ^{l H} k ¹

при любом f е F и некоторой константе K е R ₊ , зависящей от f .)

Лемма 2.3 [15, гл. 3]. Пусть оператор M сильно ( L,p ) -секториален справа (слева), тогда существует проектор P е L ( U ) ( Q е L ( F ) ), имеющий вид P = s - lim U ( Q = s - lim F¹ ).

t ——0+                 t ——0+

Значит, если оператор M сильно (L,p) -секториален справа и слева, то существуют расщеп- ления пространств

U = U ⁰ Ф U ¹, F = F 0 Ф F ¹.                            (9)

Определение 2.4 [15]. Оператор M называется сильно ( L,p ) -секториальным , если он сильно ( L,p ) -секториален справа и

• II RL,  ( MX^L - M ) ^-11|      <--- K---

• II (",рЛ А           ||L(5;U)   wnр=0ы

при некоторой константе K е R+ и любых, Я , p _k е S g ( M ), k е {0,1,..., p } .

Заметим, что если в определении 2.4 мы заменим слово «справа» словом «слева», то мы получим эквивалентное исходному определение.

Теорема 2.1 [15, гл. 3]. Пусть оператор M сильно ( L,p ) -секториален. Тогда

• (i)    существует оператор L - ¹ е L ( F 1 ; U ¹);

• (ii)    оператор S = L - ¹ M 1 е С1 ( U ¹ ) секториален.

Полученные в леммах 2.1-2.3 и теореме 2.1 необходимые условия сильной (L,p) - секториальности оператора M являются достаточными, т. е. справедлива

Теорема 2.2 [15, гл. 3]. Пусть существует расщепление (9) пространств U и F • Пусть существуют операторы L_k е L ( F ^k ; U^k ) и M_k е С1 ( F k ; U k ) , k = 0,1 , причем существуют операторы M - ¹ е L ( F ⁰; U ⁰) и L - ¹ е L ( F 1 ; U ¹) . Пусть оператор M 0" ¹ L ₀ (или L ₀ M - ¹ , что эквивалентно)

нильпотентен степени p, а оператор L ^- M 1 секториален. Тогда оператор M ₀ (Н- P ) + M 1 P сильно ( L ₀ (I - P ) + L 1 P , p ) -секториален.

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение соболевского типа

Lu=Mu+ f.

Пусть т е R ₊ , вектор-функцию u : ( 0, т ) — dom M назовем решением уравнения (10), если u е С 1 ((0, т ); U ) и u = u ( t ) удовлетворяет уравнению (10). В дальнейшем вектор-функцию f : ( 0, т ) — F удобно представить в виде f = f ⁰ + f ¹, где f ⁰ = (I - Q ) f и f ¹ = Qf .

Теорема 2.3 [15, гл. 5]. Пусть оператор M сильно ( L,p ) -секториален. Тогда

• (i)    для любой вектор-функции f : [ 0, т ] — F такой, что f ⁰ е С ^{р + 1}((0, т ); F ⁰) , f ¹ е С ⁰ ( [ 0, т ] ; F ¹ ) , и любого вектора u ₀ е U существует единственное решение u е С 1 ((0, т ); U ) п С ⁰ ( [ 0, т ] ; U ) задачи Шоуолтера-Сидорова

lim P ( u ( t ) - u ₀ ) = 0, t —0+

для уравнения (10);

• (ii)    для любой вектор-функции f : [ 0, т ] — F такой, что f ⁰ е f ¹ е С ⁰ ( [ 0, т ] ; F ¹ ) , и любого вектора u ₀ е U такого, что

• (I-P) u 0 = j^ (M0-1 L) kM0-1 f 0(k )(0), k=0

существует единственное решение u е C1 ((0, т); U) n C0 ([0, т]; U) задачи Коши lim (u(t)-и0) = 0                                     (12)

t ^0+ для уравнения (10);

• (iii)    решение и = и ( t ) задач (10), (11) и (10), (12) имеет вид

и ( t ) = Uu 0 - j ( M 0 ^{- 1} L ) ^kM 0 ^{- 1} f ^{0( k} ) ( t ) + -Ц j ds J ( ц Ц - M 1 ) ^{- 1} e ^s ^- t ) f ¹ ( s ) d ц . к =0                           ^{2 n} i 0 у

Приступим к редукции задачи (1)–(3) к уравнению (10). Поскольку в дальнейшем рассматривается стохастический случай, то мы ограничимся гильбертовыми пространствами. Именно, в качестве пространства F возьмем пространство Соболева W2l (Q) при некотором l е {0} uN, а в качестве пространства U = {и е W1+2 (^):

d U

^ F плот

а2 ^ (x) + Р2и (x) = 0, x е dQ}. Вложение U но и компактно, а лапласиан А: U ^ F - топлинейный изоморфизм, если | а2 | +| в2 | > 0 [14, гл. 4 и 5]. Далее в пространстве F рассмотрим билапласиан А2 c областью определения ди dom А2 = {и е W2l+ (Q): Аи (x) + а1 —(x) + Р^и (x) = 0} n U . Вложение dom А2 ^ F плотно и ком пактно, а билапласиан А2 :dom А2 ^ F - топлинейный изоморфизм при тех же условиях на пространство U, что и выше. Причем оба спектра ст (А) и ст (а 2) дискретны, конечнократны и сгу щаются только к го.

Заметим, что в рассматриваемом случае собственные функции лапласиана А , вообще говоря, не являются собственными функциями билапласиана А ² . Это существенно усложняет наше исследование, но только технически. Ради технической простоты и идейной ясности мы упростим условия (2) и (3), заменив их на условия

А и ( x , t ) = 0, ( x , t ) едОх ( 0, T )                               (13)

и

и ( x , t ) = 0, ( x , t ) едОх ( 0, T )

соответственно.

Пространство F остается тем же, что и выше, а области определения лапласиана А и билапласиана А2 (U и dom А2 соответственно) мы будем обозначать теми же символами, но пола гать, что а1 = Рх = а2 = 0 и в2 = 1. Теперь пусть фе U - собственная функция лапласиана А , тогда Аф = Хф, откуда в силу (13), (14) феdomА2 и А2ф = Хф, т. е. ф - собственная функция билапласиана А2 . Итак, U = {U;(-, •)} и F = {F; <*, •)} - вещественные сепарабельные гильбертовы пространства со скалярными произведениями (•,•) и <•,•) соответственно, причем линейная оболочка собственных функций лапласиана А плотна как в U, так и в F . Лапласиан А: U ^ F и билапласиан А2 :dom А2 ^ F - самосопряженные операторы.

Положим, т(А) = {Хк}, где собственные значения {Хк} занумерованы по невозрастанию с учетом их кратности. Через {фк } с C” (Q) обозначим семейство собственных функций лапласиа на А , ортонормированных в смысле пространства F . Положим, L = Х - А и M = а0 А - Р0 А2 - у .

Тогда

( ^l - м ) ^{- 1} = z ;=1

___________ <- , ф к > ф к ___________ ^в 0 ^Х к ^{- а} 0 ^Х к ⁺ ^v^{X - Х} к ) ⁺ Y

Ряд в (15) сходится абсолютно и равномерно на любом компакте в С , не содержащем точек L -спектра оL (M) оператора M p = ^ - аЯ + Y, k е N.                    (16)

^k       λ k - λ

Если λ ∈ σ ( ∆ ) , тогда из (15) получим

( p L - M ) ^{- 1} = £ ” '-- < ^{ФФ к} ---+ V  .    ^ФФ --,

^^к = ( Я - Я к )( p - Ц к ) ^ ^Я в о ^ - а _о я + у

R p ( м ) = S :V^ = L „ ( м ) • ^{( p - p} k )

( v L - M ) - L p ( M ) = Z P =1 '

<- , Ф к > Ф к

(Я - Як )(p - Рk)(v - Рk)

где штрих у знака суммы означает отсутствие слагаемых с номерами к такими, что X = Хк . Если λ∉ σ(∆) , то второе слагаемое в (17) и штрих у знака суммы в (17)–(19) следует убрать. Введем условие коэффициенты (а, Y) е М2 и в е^ + таковы,что ни одно собственное 0/0      +                                                 I                 (*)

значение Я _к е ст ( А ) не является корнем уравнения в о ^ ² - а ₀ ^ + Y = 0.

(Понятно, что корни этого уравнения могут быть комплексными, в то время как спектр

с ( А ) с!_ в силу самосопряженности лапласиана А : U ^ F ).

Лемма 2.4 [15, гл. 7]. Пусть выполнено условие (*), тогда оператор M сильно (L,0) - секториален.

Доказательство заключается в тривиальной проверке определений 2.1–2.4.

Теорема 2.4. Пусть Я ^ с (А) и выполнено условие (*). Тогда для любых f е C ([0,т]; F) и и о е U существует единственное решение u е C1 (( 0,т); U )n C ([0,т]; U), u = u (t) задач (1), (4),

(13), (14) и (1), (5), (13), (14), которое к тому же имеет вид

∞

u(t) = ЕеХР((Рк )

∞^t

£ (я - Як )^-1J ^4

2ni                  J к=1             0 у

exp⁽p⁽t^-S))<f⁽5)>Фк Ф µ-µ_k

dµ.

Для доказательства заметим, что если λ∉σ( ∆) , то условия (4) и (5) совпадают. Затем сошлемся на лемму 1.4 и теорему 2.3. Заметим еще, что теорема 2.4 остается верной, если условие (*) заменить на его частный случай в₀е М- . Далее, пусть Я е с(А), введем в рассмотрение расщепление F = F⁰Ф F¹ , где F⁰= spanя=я {ф_к }, а F¹= (F0)^±. В силу теоремы 2.3 справедлива

Теорема 2.5. Пусть Яес (А) и выполнено условие (*). Тогда

(i) для любых f е C1 ((0,т);F0)nC0 ([0,т];F1) и u0 е U существует единственное решение u е C1 ((0,т);U)nC([0,т];U) задачи (1), (4), (13), (14);

• (ii)    для любых f е C¹((0,т);F⁰)n C⁰([0,т];F¹) и u₀е U такого, что

  Е <^u0,Фк)Фк λ_k=λ

  
  

у  < f (⁰) ,Фк >к

Я=Яа0Я - в0Я - Y ’

существует единственное решение u е C¹((0,т);U)n C⁰([0,т];U) задачи (1), (5), (13), (14);

• (iii)    решение u = u (t) обеих задач имеет вид

  ^exp⁽p( t^{- s} ))< f^(s), Фк >Фк_йц

  
  
3. Стохастический случай

i'exp (щ_к )< u 0,Фк>Фк + Е 1£(£)1^Фк2^Ф- + X ЕЕ '(Я - Як)- J^s / к=1                      Я_к =Я^а0^{Я - в}0^{Я -}Y ^2п1к=1          0 Y

µ-µ_k

где штрих у знака суммы означает отсутствие слагаемых с номерами к такими, что X = Х_к .

Пусть П = (П,Л, P) - полное вероятностное пространство с вероятностной мерой P , ассоциированной с g -алгеброй А подмножеств множества Q, а R - множество действительных чисел, наделенное борелевой g -алгеброй. Измеримое отображение 5: Q ^R называется случайной величиной. Множество случайных величин, математическое ожидание E которых равно нулю, а дисперсия D конечна, образует гильбертово пространство L₂= {5: Е^ = 0, D^<+^} со скалярным произведением (51,52 ) = Е5152 и нормой || 5 ||^ = D^ . Заметим, что в L₂ ортогональность векторов $ и п (т. е. (5,р) = 0) эквивалентна некоррелированности случайных величин $ и п . Действительно, 0 = cov(5,р) = Е§П = (5,п) = 0 .

Возьмем множество T cR и рассмотрим два отображения: f: T ^ L₂ , которое каждому t е T ставит в соответствие случайную величину 5 еL₂ , и g:L₂xQ ^ R , которое каждой паре (ро) ставит в соответствие точку $(to)eR. Отображение р: TxQ^R , имеющее вид П = п(t,^to) = g(f (t),to), назовем (одномерным) стохастическим процессом. При каждом фиксированном t е T значение стохастического процесса п = П(t,*) является случайной величиной, т. е. п(t, *)е L₂ , которую назовем сечением стохастического процесса в точке t е T. При каждом фиксированном toeQ функция п = п(*to) называется (выборочной) траекторией случайного процесса, соответствующей элементарному исходу to еО. Траектории называются также реализациями или выборочными функциями случайного процесса. Обычно, когда это не приводит к неясности, зависимость п (tto) от to не указывается и случайный процесс обозначается просто п⁽t).

Считая T cR интервалом, назовем стохастический процесс п = п (t), t е T, непрерывным, если п.н. (почти наверное) все его траектории непрерывны (т. е. при п. в. (почти всех) to е А траектории п(*to) являются непрерывными функциями). Множество непрерывных стохастических процессов образует банахово пространство, которое мы обозначим символом C (T; L2) с нормой

• ^||7^||cl₇ = sup(Dn( t -to))¹².

• ²    te I

Пусть Л0 - g -подалгебра g -алгебры А. Построим подпространство L2 c L₂ случайных величин, измеримых относительно Л₀ . Обозначим через П: L₂^ L0 - ортопроектор. Пусть 5е L₂, тогда П5 называется условным математическим ожиданием случайной величины $ и обозначается символом Е (5 |Л0). Зафиксируем ре C (T; L₂) и t е T, через Л/^ обозначим g -алгебру, порожденную случайной величиной п (t), и обозначим Еп = Е (* | Л4^п).

Пример 3.1. Винеровский процесс, описывающий броуновское движение в модели Энштей-на–Смолуховского [18]

в(t,to) = ^5 (to)sinП(2k +1)t, t е{0} uR k=0             2X                           , является непрерывным стохастическим процессом. Здесь коэффициенты {5k = 5k (to)} c L2 - по-

Г           I —2

, такие, что D52 = П ( 2 k +1)

парно некоррелированные гауссовы случайные величины

,

k е {0} uN.

Определение 3.1 [20, 21]. Пусть пе C (T; L2)• Производной Нельсона -Гликлиха п стохас тического процесса п в точке t е T называется случайная величина

п(t,■) =¹f lim E^п f ^П(t^{+ &}*^a— ^П(t^ 1 + lim E/ f ^П(t^ — ^П(t^V'^)),

• 2 [ &i'■ t к         At         J   at^0+ t к         At         JJ

если предел существует в смысле равномерной метрики на .

Если производные п(t,■) Нельсона-Гликлиха стохастического процесса п(t,■) существуют во всех (или п. в.) точках интервала T, то мы говорим о существовании производной Нельсона-Гликлиха п(t,*) на T (п. н. на T). Множество непрерывных стохастических процессов, имею щих непрерывные производные Нельсона-Гликлиха п , образуют банахово C1 (T; L2) пространство с нормой

/                 °А1/2

|| п IL1. = sup Dn(t,w) + Dn(t,to)

CL2  teT кJ

Определим далее по индукции банаховы пространства Cl (T; L2), l eN , стохастических процессов, чьи траектории п. н. дифференцируемы по Нельсону–Гликлиху на T до порядка l e {0} uN включительно [22]. Нормы в них задаются формулами f i о1

• 11 n LL = sup ZDn(k)(t,to)

• 2   tET кk=0

Здесь будем считать производную Нельсона–Гликлиха нулевого порядка исходным случайным процессом, т. е. п⁽⁰⁾= П. Отметим еще, что пространства C^l (T; L₂), l е {0} uN , для краткости будем называть пространствами «шумов» [17-19].

Пример 3.2. В [20, 22] показано, что в eC¹ (IR₊;L₂), l е {0} uN , причем в(t) = в(t)/2t, t е R₊ .

Итак, построены пространства случайных величин L2 и пространства «шумов» Cl (T; L2), l е {0} uN . Перейдем к построению пространства случайных K -величин. Возьмем H - вещест венное сепарабельное гильбертово пространство с ортонормированным базисом {^k}, монотон- ную последовательность K = {Xk }еК+ такую, что ^к_^2 <+да, а также последовательность {^k} = ^k (то) с L2 случайных величин такую, что || ^k ||L < C, при некоторой константе C е R+ и при всех k е N. Построим H -значную случайную K -величину да

^(то)=Е xk^k (®)Фк • k=1

Пополнение линейной оболочки множества {Xk^kфk} по норме да

х 1/2

^{11 п} ||н _Kl₂

называется пространством (H -значныгх) H_KL₂. Как нетрудно видеть, пространство

= Z 2k2 D^k к k=1        J случайных K -величин и обозначается символом

' HKL₂ - гильбертово, причем построенная выше

случайная K -величина ^ = ^(^)eHKL₂ . Аналогично банахово пространство (H -значных) K -«шумов» C^l (T;H_KL₂), l е {0} uN определим как пополнение линейной оболочки множества ^{^kWk^{} по} норме

(—     i     ₍m)V/²

I и

CHK L2

^2 L Dnk te I V k=1 m=1       )

где последовательность «шумов» {^_k } c Cl (T; L₂), l e {0} uN Как нетрудно видеть, вектор

n( t N = E ^zk^k (t * k=1

лежит в пространстве Cl (T;H_KL₂), если последовательность векторов {p_k } c Cl (T; L₂) и все их производные Нельсона-Гликлиха до порядка l e {0} uN включительно равномерно ограничены по норме || • || i_T.

c L2

Пример 3.3. Вектор, лежащий во всех пространствах Cl (R₊; H_KL₂), l e {0} uN ,

WK (tN = £ ^kPk (t,*k, k=1

где {pk} c Cl (T; L2) - последовательность броуновских движений, называется (H -значным) винеровским K -процессом.

Пусть теперь U ( F ) – вещественное сепарабельное гильбертово пространство с ортонорми-рованным базисом  {^_k} ({^_k}). Введем в рассмотрение монотонную последовательность

K = {Xk} c {0} uR такую, что ^^ 2^ <+к . Символом UKL2 (FKL2 ) обозначим гильбертово пространство, являющееся пополнением линейной оболочки случайных K -величин

-            Г   А)

S = Е^kVk, ^k^{e L}2, ^Z = EMkVk, ^Zk^eL2

k=1                      V     k=1

по норме да           Л           даЛ

UnbU=E^M || HF=EXdz.

k=1         V          k=1

Заметим, что в разных пространствах (U_KL₂ и F_KL₂ ) последовательность K может быть разной (K = {X_k} в U_KL₂ и K = {p_k} в F_KL₂ ), однако все последовательности, отмеченные символом K , должны быть монотонными и суммируемыми с квадратом. Все результаты, вообще говоря, будут верны при разных последовательностях {X_k} и {p_k}, однако простоты ради мы ограничимся случаем λ_k= μ_k.

Пусть A: U ^ F - линейный оператор. Формулой

А^ = Х-ММ                  (20)

зададим линейный оператор A :U_KL₂^F_KL₂ , причем если ряд в правой части (20) сходится (в метрике FKL₂) то ^ e dom А, а если расходится, то ^ ^ dom А. Традиционно определяются пространства линейных непрерывных операторов L (U_KL₂;F_KL₂) и линейных замкнутых плотно определенных операторов (подробности см. в [16–19]). Справедливы

Лемма 3.1. (i) Оператор A e L(U;F) точно тогда, когда A eL(U_KL₂;F_KL₂).

• (ii)    Оператор A e Cl (U; F) точно тогда, когда A e Cl(U_KL₂;F_KL₂).

Лемма 3.2. Оператор M e Cl (U; F) сильно p -секториален относительно оператора L e L(U;F) точно тогда, когда M e Cl(U_KL₂;F_KL₂) сильно p -секториален относительно оператора L e L(U_KL₂;F_KL₂). Причем относительный спектр в обоих случаях один и тот же.

Итак, пусть операторы L, N е L( U_KL₂;F_KL₂) , а оператор M е Cl(U_KL₂;F_KL₂) , причем оператор M сильно (L,p) -секториален, p е {0} uN . Рассмотрим линейное эволюционное стохастическое уравнение

Lp = Mn + NS,(21)

где п = П (t) — искомый, а 5 = 5 (t) - заданный стохастический K -процесс, t е R+ . Процесс П = п (t) назовем решением уравнения (21), если при подстановке его в (21) он обращает уравнение (21) в тождество. Решение п = П (t) уравнения (21) назовем решением задачи Коши lim (n(t)—% ) = 0, t —>0+ если равенство (22) выполняется для некоторой случайной K -величины n0 eUKL2 . Аналогично определяется решение задачи Шоуолтера - Сидорова lim P(n(t)-n0 ) = 0.

t ——0+

Ясности и простоты ради мы не будем исследовать задачи (21), (22) и (21), (23) столь же детально, как их детерминированные прототипы (см. теорему 2.3). Тех читателей, которые интересуются подробностями, отсылаем к [16, 19]. Мы же перейдем сразу к интерпретации задач (1)-(4) и (1)-(3), (5) в виде задач (21), (22) и (21), (23) в нашей упрощенной постановке. Итак, положим F = L2 (Q),U = W2 (Q): u(x) = 0,x eSQ}, а оператор L = Я-A, L e L(U;F). Оператор M = a0A-в0А2 - у, dom M = {W4 (Q): Au (x ) = 0, x edQ} n U, M e Cl (U; F). Оператор N - это оператор вложения N: U ^ F . Далее по рецептам, изложенным выше, построим пространства случайных K -величин U^L2 и FKL . Случайная K -величина ^ eU^L2 имеет вид го

^ = £ Я^, к=1

где {^_к} - семейство собственных функций оператора Лапласа А: U — F ортонормированных в смысле скалярного произведения (•, •) из L₂(Q). (Напомним, что {ф_к} с C^ro(Q)). Рассмотрим линейное эволюционное стохастическое уравнение соболевского типа

Ln = Mn + Wк.                               (24)

Здесь операторы L и M определены выше, а Wk=Wk (t) - производная Нельсона-Гликлиха винеровского K -процесса, которая называется «белым K -шумом». Отметим, что «белый K - шум» Wк более соответствует теории Эйнштейна-Смолуховского, нежели традиционный белый шум (см. детали в [23]).

Теорема 3.1. Пусть выполнены условия (*) и

• (i)    Я фа(А). Тогда для любого n₀ eU_KL₂существует стохастический K -процесс Пе C' (Ж₊;U_KL₂), каждая траектория которого является единственным решением задач (23), (24) и (22), (24). Причем стохастический K -процесс п = п (t) имеет вид

t

n(t) = Un0 +JUt^-sWk (s)ds ;

• (ii)    Яе^ (A). Тогда для любого n₀ eU _K L₂существует стохастический K -процесс ne C^го(Ж₊;U _K L₂), каждая траектория которого является единственным решением задач (23), (24). Причем стохастический K -процесс п = п (t) имеет вид

t

n(t) = - £ ^ Pk (t) + Uno + JUt-⁵ Wk (s)ds.

• ^{л v}k                          0

Для доказательства отметим эквивалентность в (t) ~ t”12 . Кстати сказать, по этой же причине ни одна траектория стохастического K -процесса не может быть решением задачи Коши (22).

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований в Челябинской области (код проекта 20-41-740010).