Задачи сопряжения для псевдо-гиперболического уравнения четвертого порядка с разрывными коэффициентами

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice

УДК 517.956                                       

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 10. №12 2024

Задачи сопряжения для дифференциальных уравнений частных производных играют важную роль в теории и практике моделирования сложных процессов. В частности, исследование задач сопряжения для псевдо-гиперболических уравнений с разрывными коэффициентами имеет важное значение для описания процессов, характеризующихся резкими изменениями параметров в различных областях. Такие уравнения находят применение в механике, физике, инженерных науках и многих других областях, где встречаются неоднородные среды с различными физическими свойствами, а также границы раздела, на которых происходят скачки коэффициентов.

В частности, численные решение краевых задач для гиперболического уравнения четвертого порядка и обзор методов решения дифференциальных уравнений частных производных с использованием языка программирования Python рассмотрены в работах [3, 4].

Материал и методы исследования

В области D = {(x,t): —^2 < x <£р0 < t < h}  (/p^,h > 0) рассмотрим псевдо- гиперболическое уравнение четвертого порядка с разрывными коэффициентами на линии x = 0:

aiUxxtt - um + bi (x, t)utt + с, (x, t)u = fi (x, t), (x, t) e Di (i = 1,2), где     a = const, b (x, t), c (x, t), f (x, t )(i = 1,2)     —     заданные     функции,а

D = D n ( x >  0), D ₂ = D n ( x <  0).

Задача 1. Найти функцию и(x,t) e C(D) nC'(D), удовлетворяющую уравнению (1) в областях D(. (i = 1,2) , краевым и начальным условиям и (£1, t) = ^1(t), u (—£ 2, t) = ^2( t ),0 < t < h,

и(x, 0) = v (x), ut (x, 0) = v2 (x), utt (x, 0) = v3 (x), 0 < x <£ p(3)

и(x, 0) = v4 (x), ut (x, 0) = v5 (x), utt (x, 0) = v6 (x), — £2< x < 0, где ^ (t ),Vj (x)(i = 1,2; j = 1,6) заданные функции, причем

^1(0) = ^#1), ^2 (0) = V 4 (—^ 2 ), ^'(0) = V2(/1X

^ 2 (0) = V ₅( —^ 2 ), V 1 (0) = V 4 (0) = 0, V 1 (0) = V 4 (0),

V 2⁽⁰⁾ = V ₅ ( ⁰⁾ , V 3⁽⁰⁾ = V 6⁽⁰⁾ .

Из постановки задачи 1 заключаем, что на линии x = 0 выполняются следующие условия сопряжения: и ( + 0, t ) = и ( — 0, t ) = T (t ), и_х ( + 0, t ) = и_х ( — 0, t ) = v (t ),0 <  t <  h , т ( t ), v ( t ) — пока неизвестные функции.

Решение задачи 1 можно свести к решению двух вспомогательных задач.

Задача 2. Найти функцию и(x, t) e C(Dx), удовлетворяющую уравнению a2Uxxh — ит + b1 (x, t)un + c1 (x, t)и = f (x, t), (x, t) e Д,                         (6)

начальным условиям (3) и краевым условиям

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 10. №12 2024 ux (0, t) = v(t), u(^,1) = y^t),0 < t < h,

Причем

v(0) = ^,'(0)X(0) = V.(Q-(8)

Задача 3. Найти функцию u(x,t) e C(D2), удовлетворяющую уравнению a2uxxtt - um + b2 (x, t)utt + c2 (x, t)u = f, (x, t), (x, t) e D2, начальным условиям (4) и краевым условиям

u(—12, t) = ^2 (t), u(0, t) = T(t),0 < t < h,(10)

причем

^2(0) = V6(-'2),^,(0) = t(0) = 0.(11)

Сначала рассмотрим задачу 2. Дважды интегрируя уравнение (6) по t от 0 до t и учитывая начальные условия (3) имеем:

t

a 2 u„ - u_t xx      t

= - b (x, t) u (x, t) - j с**( x ,n) u (x, n) dn + f *( x, t), где

C*(x, n) = -2bin(x, n)+ (t- n)[ C1(x, n) + binn (x, n)], f (x, n) = [aV2(x) - V (x) + bi (x.0)^2 (x) - bit (x, 0) V (x)]t +

t

+ a V i^ x ) - V ( x ) - b ( x , 0) V ( x ) + j ( t - n ) f ( x , n )d n -

Решая смешанную задачу для уравнения (12) с краевыми условиями (7) и начальным условием u (x, o) = V (x), убеждаемся в том, что u (x, t) является решением интегрального уравнения tt

u ( x , t ) = - a 2 J G ₂ ( x , t ;0, n ) v ( n ) d n - a 2 j G 2 Д x , t ;^i, n ) ^ ( n ) d n +

£ 1                                                           t^1

+ J G₂ ( x , t ; £ , 0) v ( £ ) d £ - j d n J G 2 ( x , t ; £ , n ) f 1* ( £ , n ) d £ +

0                                    00

t

+j dn J G2 (x, t; £, n) b (£, n) u (£, n) d £ + tЛ

⁺j d n j [ G 2⁽ x , t ^nd ^d n 1 ] c * ( ^ > n ) u (^ n ) d £ ,

G(x, t; £, n) = У [U(x, t; 4n^j + £, n) + U(x, t; 4n£! - £,7) - U(x, t; 4n^j + 2^, + £, n) -где

-U (x, t ;4 nl j+ 2^ j- £,n)] - функция Грина смешанной задачи для уравнения теплопроводности [1], а и (x, t ;t,n)

2 уП^-п

exp

(x - t)2

⁴ a^ t ^-n )

, t > n ,

V

, t < n-

Пусть tt

Ф 1 ( x , t ) = j G 2 ( x , t ; t , 0) ^ 1 ( t ) d t - a ^ j G 2 ^ ( x , t ^i , n ) ^ i (n) d n -

0                                       0

t

- j d n J G 2 ⁽ x , t ; ^t , n) f * ^{( t} , n) ^{d t} ,

0      0

t

K 2 ( x , t ; t , n ) = C i ( t ,n) j G 2 ( x , t ; ^ , n i) d n i + b 1 ( t , n ) G 2 ( x , t ; t , n )- n

Тогда уравнения (13) запишется в виде t                            t A                                          (14)

u ( x , t) = Ф; ( x , t ) - a 2 j G ₂ ( x, t ; 0, nV ( n )d n + J d n j K 1 ( x , t ; t , n )u ( t , n ) d t - 0           00

Уравнение (14) можно рассматривать как интегральное уравнение типа Вольтера второго рода относительно u ( x , t ) . Поэтому, обращая интегральное уравнение (14) второго рода относительно u(x , t ), будем иметь:

t

u (x, t) = Ф2 (x, t) + j H (x, t; nV(n) dn, где t

Ф 2 ( x , t ) = Ф 1 ( x , t ) + j d n j R 1 ( x , t ; % , n ) ® 1 ( t , n ) d t ,

0     0

tt

H 1 ( x , t ; n ) = a 1 G ( x , t ; 0, n ) - a 2 j d t j G 2 ( t , n 1 ; 0, n ) R 1 ( x , t ; t , П 1 ) d П 1 , 0      n

R₁ ( x , t ; t , n ) — резольвента ядра К ( x , t ; t , n )-

Полагая x = 0 в (15), получаем соотношение между т ( t ) и v ( t ), принесенные из области D_} :

t

т ( t ) = Ф 2 (0, t ) + j H 1 (0, t ; n ) v ( n ) d n -

Далее переходим к вспомогательной задаче 3. Как и в задаче 2, интегрируя уравнения

(9) дважды по t от 0 до t и с учетом начальных условий (4), имеем:

t

a 2 u^ - ut =- b2 (x, t )u (x, t) -jc *( x ,n) u (x ,n) dn + f*( x, t), где c2 (x, П) = -2b2n (x, n) + (t - n)[c2 (x, n + b2n (x, nL

f * ( x , t ) = [ a fy” ( x ) - ^ ₆ ( x ) + b 2 1 ( x , 0) ^ ₄ ( x )] t +

t

+ a I^ 4 ( x ) - ^ ₅ ( x ) + b 2 ( x , 0) ^ 4 ( x ) - J ( t - n ) f ₂ ( x , n ) d n .

Решая первую краевую задачу для уравнения (17) с начальным условием u ( x ,0) = ^ ( x) и краевыми условиями u(-1 ₂, t ) = ^ ₂ ( t ), u (0, t ) = T (t ),0 <  t <  h, имеем [2]:

tt

u ( x , t ) = a ² J G ^( x , t ; -1 ₂, n ) ^ ( n ) d n - a ² J G Д x , t ;0, п ) т ( п ) d n +

0                                            t0

+ J G ! ⁽ x , t ; ^ ^,0) ^ 4 ⁽ ^ ) d ^- J ^d n J G ! ⁽ x , t ;^n)f^rf ) ^{d i +}

-t2                                       0

t          0

+ J d n i J G 1 ( x , t ; ^ , n i ) J c * (.^n ) u ( i , n ) d n +

0      -£ 2

+Jdn J G1(x,t;^,n)b2(i,n)u(^,n)di, 0

где

G i ( x , t ; i , n ) = E [ U ( x , t ; 2 n^ 2 + i , n ) - U ( x , t ; 2 nt 2 - i , n ) ] n =-^

Функция Грина первой краевой задачи для уравнения теплопроводности, а

	i	( x - i )2 '
	1—;----- exp		, t >  n ,
U ( x , t ; i , n ) = <	2 ^na 2 ( t -n)	4 a 2 ( t - n )
	0,		, t <  n .

Пусть t0

Ф3(x,t) = a22 JGii(x,t;-t2,nWn)dn + J Gi(x,t;i,0)^4(i)di - t

^- J d n J G 1 ⁽ x , t^ n ) f f^ n ) ^{d i} ,

t

K 2 ( x , t ; i , n ) = c * ( i , n ) J G i ( x , t ; i , n i ) d n i + b ₂ ( i , n ) G i ( x , t ; i , 7 ).

n

Тогда уравнения (18) запишется в виде t                                                 t         0

u ( x , t ) = Ф₃ ( x , t ) - a 2 J G ^ ( x , t ;0, n ) r ( n ) d n + J d n J K ( x , t ; i , n )u ( i , n ) d i .

0                                    0     -^ 2

Обращая уравнение (19) относительно u ( x , t ) будем иметь

t u (x, t) = Ф4 (x, t) + j H2 (x, t ;n)r(n) dn,

где t        0

Ф ₄( x , t ) = Ф ₃( x , t ) + j d n j R ₂( x , t ; ^ , п ) Ф ₃( ^ ,n)d ^ ,

0      -I

H 2 ( x , t ; n ) = a 2 ² G^ ( x , t ; 0, n ) - a 2 j d ^ jG ^ ( ^ , n ; 0, n ) R i ( x , t ; £ , n ) d 7 i ,

-t 2      n

R ₂ ( x , t ; ^ , n ) — резольвента ядра К ₂ ( x , t ; ^ , n ).

n

В силу того, что т (0) = 0, функцию т ( п ) можно представить в виде т ( п ) = j т' ( s ) ds.

Тогда соотношение (20) запишется в виде

t u (x, t) = Ф4 (x, t) + j I (x, t; n)T( s ) ds,

где

t

I ( x , t ; n ) = j H₂ ( x , t ; n ) d n .

s

Функцию G_x ^( x , t ;0, n ) представим в виде

G^ (x, t; 0, n) =-------x-----3- exp

2 -Jna 3 (t - n)2

4 a 2 (t -n)

+ Pi( x, t ;n),

где P ( x , t ; n ) =

^ x - 2lnt

( x - 2ln^₂)^{2 4} a ₂ ⁽ t ^-n )

У -------^Г^ехР

n ;-°⁰ 2 ^a 3( t - n )²

Тогда функцию (22) с учетом представления (23) можно записать в виде

x                                                          (24) ~   2 a 2 4t - s 2             - zv2 I (x, t; s ) = —t=   I   e da + Ix (x, t; s ), dn L t                                    t         0

где 11( x, t; s ) = j P( x, t ;n) dn - a 22 j dn j d^jGi^ (£,ni;0,n) R2( x, t ;^,7i) dni. s                             s     -£ 2

Дифференцируя по x соотношение (21), затем полагая x = 0 и с учетом представления (24) будем иметь функциональное соотношение между функциями т ( t ) и у ( t ), принесенные из области D ₂:

_   _ .     1 г Т(s),

v ( t ) = Ф₅ ( t ) +-- т= I   ,—— ds + j | _x ( x , t ; s T ( s ) ds ,

a2 dn о dt - s о где ф5(t) = ф 4 x (0, t).

Исключая v ( t ) из (16) и (25), получим интегро-дифференциальное уравнение

т( t) = Ф 6 (t) + -Д= f H1 (0, t ; n) dn f^sdsds + a 2 dn о          о П - s tη

+ f H 1 (0, t ; n ) d n J 1 1 x (0, n ; s ) t '( s ) ds ,

0                     0

t где Ф 6 (t) = Ф 2 (0, t) + f Hi (0, t; п)Ф 5 (n) dn-

Дифференцируя уравнение (26) будем иметь т‘( t) = Ф7 (t) + fH (t, s )t'( s ) ds, 0

где a                   r    H*( t ,n) dn ф 7 (t) =--— Ф6( t), H (t, s) = f ----1777= - ai + a2                 s(ai + a2)Vn(n - s)

• ¹    aaH, (0, s + ( t - s) a , s ) ,       a₂    t

-J       '    /-^—  d^ + — J Hit(t,n)11 x(0,n;s)dn-

0   2( a i + a 2 ) yjn(1 - a )          a i + ^a 2 ^J0

• - J Г^ ^ Г тШт H 1 x n (0, s + ( t - s ) 8 , s ) d 8 .

^ ( a 1 + a ₂)^(1 - £ )

Обращая уравнение (27), найдем т'( t ) и тем самим из 25 функцию v ( t ) .

Тогда по формулам (15) и (20) определим решения вспомогательных задач 2 и 3 .

Таким образом, доказана

Теорема 1. Пусть

^ 1 ( x)^₂(x ) e C ²[0,^], ^ 4 ( x ), ^ ₅( x ) e C ²[ -^ 2 ,0],

^3(x) e C[0ЛШ(x) e C[^,0Шt),^2(t) e C'[0,h], ci(x, t), fi(x, t), bi(x, tb binn (x, t) e C(Di)(i = 1,2)

и выполняются условия (5), (8) и (11). Тогда решение задачи 1 существует и единственно.

Заключение

Методом функции Грина и интегральных уравнений доказаны существование и единственность решений задачи 2 и 3, и тем самим установлены справедливость теоремы 1.