Задачи теории вероятностей на пространствах с порядковой единицей

В работе изучены условные ожидания и марковские операторы на пространствах с порядковой единицей. Примерами этих пространств являются в коммутативном случае M -пространства и полуполя ограниченных элементов, в некоммутативном случае — эрмитова часть C ^∗ - или W ^∗ -алгебр, в неассоциативном случае — JB- и J B W -алгебры. Условные ожидания на перечисленных алгебрах изучены многими авторами [1–4], а марковские операторы рассмативались в работах [5–10]. Так как пространства с порядковой единицей являются обобщением этих пространств, и элементы пространства с порядковой единицей истолковываются как пространство случайных величин, то естественно ставится задача: изучить условные ожидания и марковские операторы на пространствах с порядковой единицей.

Пространство с порядковой единицей представляет собой некоторую статистическую модель [11], как пространство аффинных функций на пространстве состояний. В классической модели пространством состояний является симплекс, а в общем случае — пространство состояний — произвольное выпуклое множество в некотором локально выпуклом пространстве.

Будем придерживаться терминологии работ [12, 13].

1. Предварительные сведения

Пусть A — действительное линейное упорядоченное пространство. Через A+ обозначим множество положительных элементов A. Элемент e ∈ A+ называется порядковой единицей, если для каждого a ∈ A существует число λ ∈ R+ такое, что -λe 6 a 6 λe. Если порядок архимедов, то отображение a ^ kak = inf{^ > 0 : -^e 6 a 6 ^e}

является нормой в A. В случае, когда A — банахово пространство относительно этой нормы, говорят, что (A, е) — пространство с порядковой единицей е .

Пусть V — действительное линейное пространство с порождающим конусом V + , обладающим базой, т. е.

V = V + - V + , V + = [ XK, XK П K = 0 при А = 1.

А > 0

Будем предполагать, что множество B = conv(K U — K ) радиально компактно, т. е. B П L является замкнутым ограниченным отрезком для любой прямой L, проходящей через нулевой элемент V . В этом случае функционал Минковского

||pk = inf{X > 0 : р G XB} превращает V в нормированное пространство, называемое пространством с базовой нормой; будем обозначать его в дальнейшем через (V, K).

Пусть (A, е ) — пространство с порядковой единицей, (V, K ) — пространство с базовой нормой. Предположим, что эти пространства находятся в отделимой, порядковой и нормированной двойственности. Двойственность между этими пространствами обозначим через h· , ·i .

Известно [12], что сопряженное к (V, K) пространство является пространством с порядковой единицей и, наоборот, сопряженное к (A, е ) пространство является пространством с базовой нормой. Поэтому, если не оговорено противное, то обычно в качестве двойственного пространства для A берут пространство V = A * .

В дальнейшем, проектором в A будем называть линейное, положительное, ∗ -слабо непрерывное отображение R : A ^ A, удовлетворяющее условию R ² = R.

Проектор R называется гладким, если условие р G V+, ha, р) = 0 при a G ker+ R = A+ П ker+ R влечет ha, р) = 0 при a G ker R.

Проектор Q называется квазидополнением проектора R, если ker+ R = im+ Q, im+ R = ker+ Q.

Проектор R называется P - проектором , если он по норме не превосходит 1, гладкий и обладает гладким квазидополнением с нормой, не превосходящей 1.

Заметим, что гладкое квазидополнение к P -проектору R всегда единственно, и в дальнейшем будем обозначать его через R ⁰ .

Множество всех P -проекторов в A обозначим через P.

Элементы множества U = { u = R e : R G P } называются проективными единицами.

Точно так же можно определить аналогичные понятия в V , так как по формуле h Ra, р) = h a, R*р ) для всех a G A, р G V, определяется сопряженное к R отображение на V .

Грань G С K называется выставленной, если G = { р G K : h a, р ) = 1 } для некоторого a G A; проективной, если a = u = R e для некоторого R G P.

Множество всех проективных граней K обозначим через F.

Определение 1.1 [13]. Говорят, что (A, е ) и (V, K) находятся в спектральной двойственности , если выполнены следующие условия:

• (i)    Каждая выставленная грань K проективна.

• (ii)    Каждый элемент a Е A допускает единственное разложение a = a + — а - такое, что a + , a - Е A + и a + X a ^- .

Здесь a + X а - означает, что

{ р Е K : -a + , р® = 1 } П { р Е K : -a - ,р® = 1 } = 0.

Если A и V находятся в спектральной двойственности и A = V * , то множества U , P, F являются попарно изоморфными логиками ([12; следствие 12.5]).

∞

В этом случае любой элемент a Е A имеет спектральное разложение: a = J Xdu \ .

-∞

Здесь { u _λ } — спектральное семейство проективных единиц для a.

Две проективные единицы u = R e и v = Q e называются совместными, если R и Q коммутируют: RQa = QRa для всех a Е A.

Два элемента a, b ∈ A называются совместными , если их спектральные семейства попарно совместны. Как и в случае йордановых алгебр, совместность a и b обозначим через a ↔ b.

Напомним, что замкнутое по норме подпространство M ⊂ A называется абелевым, ∞ если оно замкнуто относительно отображения a ^ a(2) = J X^du\ и любые два элемента -∞ в M совместны.

P -проектор R называется центральным, если R + R = I . Проективная единица и = R e называется центральной , если R — центральный P -проектор.

Пространство (A, е ) с порядковой единицей называется фактором, если оно не содержит центральных проективных единиц, кроме 0 и e .

Проективная единица и = R e называется абелевой, если im R = R(A) — векторная решетка. Пространство A с порядковой единицей имеет тип I , если для любого центрального P -проектора R в A подпространство im R содержит абелеву проективную единицу. Элемент u ∈ U называется атомом , если u — минимальный элемент логики U . Проективная единица u называется конечной , если она является супремумом конечного числа атомов.

Минимальное число атомов, супремум которых равен u, называется размерностью u. Фактор A назовем фактором типа I _n , если размерность единицы e равна n. Если e является супремумом только n ортогональных атомов, то назовем A однородным фактором типа I n .

Элемент р Е V называют положительным, если р(a) >  0 для всех a Е A + , в этом случае пишут р >  0. Положительный функционал р называется состоянием, если ||р || = 1. Это равносильно равенству р( е ) = 1. Множество состояний на A обозначим через S (A). Известно, что S (A ) — * -слабо замкнутое подмножество V.

Определение 1.2. Состояние τ на A называется следом , если

т (a) = т ( Ra ) + т ( R'a ) , a Е A, R Е P.

Условные ожидания на J B W -алгебрах определены следующим образом [3].

Пусть A — J B W -алгебра с единицей 1 , A 1 — ее JBW-подалгебра, содержащая 1 .

Определение 2.1. Линейное отображение E : A ^ A i называется условным ожиданием относительно A 1 , если

• (i)    E ( 1 ) = 1 ;

• (ii)    x >  0 ^ E ( x ) >  0;

• (iii)    E (ax) = aE(x) для любых x G A и a 6 A i .

Известно [3], что если A — J B W -алгебра типа I, то относительно произвольной подалгебры A 1 ⊂ A существует условное ожидание.

Теорема 2.1. Пусть M : A ^ A i — линейное отображение со свойствами:

• 1)    м ( 1 ) = 1 ;

• 2)    x >  0 ^ M (x) >  0;

• 3)    M ( U _p ( x )) = U _p ( Mx ) для любых элемента x G A и идемпотента p G A i .

Тогда M является условным ожиданием относительно A 1 .

• <1 Проверим выполнение условий (i)-(iii) определения 2.1. Первые два условия очевидны. Поэтому проверим выполнение условия (iii).

Пусть M ( U _p ( x )) = U _p ( Mx ) для любых идемпотента p в JBW-подалгебре A i и элемента x G A. Тогда имеем U _p o ( Ex ) = E ( U _p o x), x G A, где p = 1 — p G A i .

Известно [14], что имеет место пирсовское разложение x = Upx + 2Up,p x + Upo x элемента x ∈ A относительно идемпотента p. Поэтому имеем

Mx = M ( U p x ) + M (2 U p,p o x ) + M (U p o x).

С другой стороны, пирсовское разложение элемента Mx есть

Mx = U _p ( Mx ) + 2 U _p,_p o ( Mx ) + U _p o ( Mx ) .

Исходя из этого, учитывая условие 3) теоремы, имеем

2 U _p,_p o ( Mx ) = M (2 U _p,_p o x ) .

Так как U _p,_p o = 2px — 2 p ( px ) по определению [14], то последнее означает, что

2 p ( Mx ) — 2 p ( p ( Mx )) = M (2 px — 2 p ( px )) .

Точно так же условие 3) теоремы означает, что

2 p ( p ( Mx )) — pM (x) = M (2 p ( px) — px ) .

Сложив эти равенства, получим pM(x) = M(px), x G A, p G Ai.

Так как линейные оболочки идемпотентов слабо плотны в JBW-подалгебре A1 и M слабо непрерывно, то заключаем, что aM(x) = M(ax'), x G A, a G Ai. B

• 3. Условное ожидание на пространствах с порядковой единицей

Пусть (A, e ) — пространство с порядковой единицей, B — его подпространство, являющееся пространством с порядковой единицей, содержащим e . Как было сказано выше, примером пространства с порядковой единицей является J B W -алгебра, поэтому теорема 2.1 подсказывает нам следующее

Определение 3.1. Линейное отображение E : A ^ B назовем условным ожиданием относительно B , если

• 1)    ^{E( e )} = e ;

• 2)    a >  0 ^ E(a) >  0;

• 3)    E ( Ra ) = R ( Ea ) для всех R E P таких, что Re E B и a E A.

Пример 1. Пусть (A, e ) — пространство с порядковой единицей, р — некоторое состояние на A. Для a E A положим E (a) = p(a) e . Тогда E — условное ожидание относительно подпространства B = { A e : A E R } .

Пример 2. Пусть Q E P. Положим E (a) = Qa + Q ' a, a E A. Тогда E — условное ожидание относительно подпространства

B = { a E A : a = Qa + Qa } = im Q + im Q'.

В самом деле, выполнение свойств 1) и 2) из определения 3.1 вытекает из свойств P -проектора Q .

Проверим свойство 3. Пусть R e E B, т. е. R e E im Q + im Q ' . Это означает, что R и Q совместные, т. е. RQ = QR и RQ ' = Q'R (см. [12; 5.26]). Следовательно, RE(a) = E (Ra).

Пример 3. Пусть A — J B W -алгебра с единицей 1 , B — ее J B W -подалгебра, содержащая 1 , и E — условное ожидание относительно B . Тогда E — условное ожидание в смысле определения 3.1.

Действительно, пусть выполнено условие (iii) в определении 2.1. Если p ∈ B — некоторый идемпотент, то P -проектор R, соответствующий р, имеет вид Ra = U p a. Тогда

E (U p a) = E (2p(pa) — pa) = 2p(pEa) — pEa = U p Ea.

Из теоремы 2.1 вытекает, что если пространство с порядковой единицей является J B W -алгеброй, то определение 3.1 совпадает с определением 2.1.

Пусть (A, e ) — пространство с порядковой единицей, B — его подпространство.

Лемма 3.1. Если E — условное ожидание относительно B, то ||E || = 1 .

C Пусть a E A и | a | 6 1, т. е. — e 6 a 6 e . Тогда, в силу положительности E , имеем, что E (a + e ) >  0 и E ( e — a) >  0. Так как E — линейное и E( e ) = e , то последние неравенства означают — e 6 E (a) 6 e . Следовательно, k E || 6 1. Но E ( e ) = e . Поэтому « =1. B

Лемма 3.2. Условное ожидание E относительно B является идемпотентным отображением, т. е. E ( E (a)) = E(a) для всех a E A.

C Если u E B — некоторая проективная единица, то u = R e для некоторого P -проектора R и, в силу условий 3) и 1) определения 3.1, имеем E (u) = E (R e ) = R e = u.

Далее, пусть a = P k₌₁ A i u i — простой элемент B. Тогда очевидно, что u i E B и E (a) = P k =i E ( A i u i ) = р ^к =! A i u i = a. Значит, E(a) = a для простых a E B. Так как произвольный элемент B есть предел по норме сходящихся простых элементов [12] и E непрерывно по норме в силу леммы 3.1, то имеем E ( a ) = a для любого a E B . Так как E (a) E B для любого a E A, то имеет место равенство E ( E (a)) = E(a). B

Определение 3.2. Пусть р — некоторое состояние на A. Если p(Ea) = p(a) для любого a ∈ A, то говорят, что E сохраняет ρ.

Очевидно, что в примере 2 условное ожидание E сохраняет след, в примере 1 условное ожидание E сохраняет состояние ρ.

Актуальным является вопрос: при каких условиях существует условное ожидание относительно данного подпространства? В общем случае этот вопрос пока остается открытым.

Здесь задача решается для одного класса пространств с порядковой единицей типа I 2 — обобщенных спин-факторов.

Пусть X — рефлексивное банахово пространство, единичный шар X 1 которого — гладкое, строго выпуклое множество. Тогда собственными гранями единичного шара сопряженного пространства X ₁ ^∗ являются только множества вида { σ } , где σ — экстремальная точка X ₁ ^∗ и для каждого σ ∈ ∂ eX ₁ ^∗ существует единственный элемент x ∈ ∂eX 1 такой, что a(x) = 1.

Рассмотрим пространства A = R + X и V = R + X * . Порядок и норма на A (на V) определяются следующим образом:

a = а + x > 0 О а > ||xk (р = в + € > 0 О в > k€k) , kak = Ы + kxk, (kpk =тах(|в|, k€k)

для a ∈ A, ρ ∈ V .

После таких обозначений и определений A становится пространством с порядковой единицей, а V — пространством с базовой нормой, которые находятся в спектральной двойственности относительно формы:

ha, pi = ha + x, в + €i = ав + €(x), где ξ — ограниченный линейный функционал на X .

Пространства с порядковой единицей такой конструкции назовем обобщенными спин-факторами [15, 16].

След τ на обобщенном спин-факторе единственен и определен следующим образом: т ( a + x) = a.

Так как единичный шар X — гладкое, строго выпуклое множество, то элементы вида u = 2 + 2 x o , где x o G X, ||x o k = 1, являются проективными единицами, а P -проектор R, соответствующий u, имеет вид:

Ra = ha, ui u, где u — единственное состояние на A со свойством hu, ui = 1.

Пусть A = R+X — обобщенный спин-фактор, B — его произвольное подпространство. Нетрудно показать, что B имеет вид: B = R + X o , где Xo — некоторое подпространство X.

Теорема 3.1. В A существует сохраняющее след условное ожидание относительно B тогда и только тогда, когда существует проектор T из X в X 0 .

• <1 Необходимость. Пусть в A существует сохраняющее след условное ожидание относительно B = R + X o . Для произвольного a = а + x G A элемент Ea в B имеет вид: Ea = а + Tx.

В самом деле, пусть Ea = а + f (x) + Tx для некоторого функционала f на X и линейного отображения T : X ^ Xo. Возьмем u G B и пусть u = Re. Так как Eu = u, то свойство 3 условного ожидания, т. е. равенство E(Ra) = R(Ea) означает, что ha, ui u = hEa, ui u, т. е. ha, ui = hEa, ui.

Так как проективная единица u имеет вид u = 2 + 2 x o и ей соответствует состояние u = 1 + ^ 0 в B * , ^ o G X * , ||Ы = 1, h ^ o ,x o i = 1, то имеем:

ha, ui = ha + x, 1 + ^oi = a + £o (x), hEa, ui = ha + f (x) + Tx, 1 + ^oi = a + f (x) + ^o(Tx).

Из этого заключаем, что f (x) = 0 для всех x G X. Значит, Ea = a + Tx.

Теперь докажем, что T — проектор из X в X0 . В силу идемпотентности E, имеем a + Tx = Ea + E (Ea) = E (a + Tx) = a + T 2x,

• т. е. T ² x = Tx. Значит T тоже является идемпотентным.

Покажем, что ||T k 6 1. Пусть a = a+x >  0, т. е. a >  ||x k . Тогда E(a) = a+Tx >  0, т. е. a > | Tx | . Отсюда ||T ( a ) || 6 1. Так как ||( a ) || 6 1, то | T | 6 1 в силу произвольности x и α. Следовательно, T — проектор.

Достаточность. Пусть существует проектор T из X в X q . Тогда положим E(a + x) = a + Tx. Покажем, что E будет условным ожиданием относительно B.

Проверим выполнение условий определения 3.1.

1): Очевидно, так как e = 1 + 0.

• 2): Пусть a = a + x >  0, т. е. a > | x | . Так как | T | 6 1, то | Tx | 6 | x | . Поэтому | Tx | 6 a. Это означает, что E(a + x) = a + Tx >  0.

• 3): Так как u = 2 + 2 x o G B — проективная единица и ей соответствует состояние u = 1 + &, £ o G X Q , то для любого a = a + x

E(Ra) = h a, u i u = h a + x, 1 + ^ o i u = (a + £ o (x))u,

R(Ea) = h Ea, u i u = h a + Tx, 1 + ^ o i u = (a + £ o (Tx))u.

Так как T — проектор из X в X 0 , то T ^∗ — проектор из X ₀ ^∗ в X . Это означает, что £ o (Tx) = ^ o (x) для всех x G X, ^ o G X * . Поэтому имеем R(Ea) = E(Ra).

Сохранение следа отображением E вытекает из определения следа. B

Аналогичная теорема в случае, когда A — J B W -алгебра, доказана в [4].

Теорема 3.2. Пусть A = R + X — обобщенный спин-фактор, р = 1 + £ — состояние на A и B = R + Xq — его подпространство. Для того, чтобы существовало сохраняющее ρ условное ожидание относительно B необходимо и достаточно, чтобы существовал проектор T из X в X q с условием T * £ = £ .

• <1 Необходимость. Пусть E : A ^ B — сохраняющее р (p(Ea)) = p(a)) условное ожидание относительно B . По теореме 1 существует проектор T из X на X 0 , и условное ожидание E имеет вид E(a + x) = a + Tx. Далее,

p(Ea) = h E(a + x), p i = h a + Tx, 1 + £ i = a + £(Tx),

p(a) = h a + x, 1 + £ i = a + £(x).

Так как E сохраняет состояние p, то £(Tx) = £(x), x G X, т. е. h T * £, x i = h ^,x i , x G X. Следовательно, T * £ = £.

Достаточность вытекает из теоремы 3.1. B

Следствие 3.1. Пусть A = R + X — обобщенный спин-фактор, р — состояние на A и B = R(A) + R 0 (A) для некоторого P-проектора R. Условное ожидание относительно B сохраняет р тогда и только тогда, когда р = u , где u = Re .

Известно [17], что если в банаховом пространстве существует проектор на произвольное подпространство, то оно является гильбертовым пространством.

Следствие 3.2. Пусть A = R + X — обобщенный спин-фактор. Условное ожидание относительно произвольного подпространства A существует тогда и только тогда, когда X — гильбертово пространство.

Теорема 3.3. Пусть A — однородный фактор типа I _n и B — его абелево подпространство, содержащее e . Тогда существует условное ожидание относительно B .

• <1 Пусть { u i } n =i — максимальное семейство попарно ортогональных атомов в B таких,

  n

  что e = U i . Т. Тогда B =

  
  

  ⁿ

  < ]Т a i u i , a i G R >. Пусть {Q i } n =i — семейство P -проекторов,

  
  

i =i

. Положим

соответствующее { u i } n =i

n

Ea =   Q i a.

i =1

Тогда E — условное ожидание относительно B .

В самом деле, выполнение условий 1) и 2) определения 3.1 очевидно. Пусть R — некоторый P -проектор такой, что R e G B . Тогда u = R e — проективная единица в B и она имеет вид u = P k =i U i , в силу однородности A, где { u i } k =i С { u i } n =_r Из [18] вытекает, что R = P k =i Q i . Поэтому проверить выполнение свойства E ( Ra) = R ( Ea ) для всех R G P и a G A не составляет труда. B

• 4.    Марковские операторы на пространствах с порядковой единицей

Пусть ( A, e ) — пространство с порядковой единицей.

Определение 4.1. Линейный оператор T : A ^ A называется марковским, если

• 1)    T — положительный, т. е. Ta >  0 для a >  0;

• 2)    T e = e ;

• 3)    Ta n % Ta при a n % a, a n , a G A, n G N.

Пример 1. Пусть (A, e ) — произвольное пространство с порядковой единицей, а R — некоторый P -проектор на A. Тогда отображение T = R + R' является марковским оператором, где R ⁰ — квазидополнение R .

Пример 2. Пусть A = R + X — обобщенный спин-фактор, где X — банахово пространство. Произвольный ограниченный линейный положительный оператор T : A ^ A со свойством T e = e имеет вид T ( a + x) = a + Sx, где S — линейный ограниченный оператор, отображающий X в себя. В этом случае T является марковским тогда и только тогда, когда ||S || 6 1.

Пример 3. Условное ожидание на A относительно подпространства B является примером марковского оператора.

Любой марковский оператор T порождает сопряженный оператор из A ^∗ в A ^∗ , определенный равенством (pT)(a) = p(Ta), где р G A * , a G A. Очевидно, если р G V ⁺ (или S (A)), то pT G V ⁺ (соответственно, S (A)).

Будем говорить, что на пространстве с порядковой единицей A задан марковский процесс, если на А определено семейство { T st } o t< x марковских операторов, обладающее обобщенным полугрупповым свойством (уравнение Колмогорова — Чепмена)

T rt = T rs T st , r 6 s 6 t,                                (1)

причем T _ss = I , где I — тождественный оператор.

Если T s + rt + r = T _st для любых s,t (s 6 t ) и r >  0, то процесс назовем однородным. В этом случае T _st зависит только от разности t — s и достаточно ограничиться одним параметром: T _r ( r = t — s). Тогда уравнение (1) имеет вид

T s T t = T s + t .                                       (2)

В примере 2 будет задан марковский процесс, когда задана полугруппа ограниченных операторов в банаховом пространстве X .

Определение 4.2. Марковский процесс {Tst} назовем регулярным, если существует ро G S(А) такое, что для любых ^ G S(А), s > 0 справедливо соотношение lim ^Tst(a) = ро(а)                                    (3)

t→+∞ для любого a G A.

Пусть каждому t G R, t >  0, поставлен в соответствие нормальный положительный функционал ^ _t G V + на A. При каждом фиксированном a G А величина ^ t (a) является числовой функцией числового аргумента t, причем, если a >  0, то ^ _t (a) неотрицательная функция.

Рассмотрим следующее условие, являющееся обобщением условия (А о ) из [8] и условия (А) из [6]:

(A1) Существует семейство функционалов ^t = 0 такое, что для любых s > 0 и ^ G S(А) найдется to > s такое, что pTst > ^s для всех t > to, где щ > Ц2 (№,№ G V +) означает, что ^1(u) > ^2(u) для любой проективной единицы u G U.

Теорема 4.1. Пусть марковский процесс { T _st } удовлетворяет условию (А 1 ) . Если числовая функция ^ t ( e ) ограничена снизу некоторым числом c >  0 , то процесс { T _st } регулярен. Более того, сходимость к предельному состоянию ν 0 равномерна, т. е.

lim \\ ^T st — v o k * = 0

t→∞ для любых s > 0 и ^ G S(A).

Лемма 4.1. В условиях теоремы 4.1 для любых ц,р G S(А) и s > 0 справедливо соотношение lim ||^Tst — vTs< =0.

t→∞

Пусть теперь марковский процесс однороден, т. е. задан однопараметрической полугруппой марковских операторов { T _t } _t> o на А. Тогда в условии (А 1 ) семейство функционалов заменяется одним функционалом; (А о ): существует ненулевое ^ о G V + такое, что для любого ^ G S(A) найдется t o такое, что

^T _t >  ^ о при t > t o .

Определение 4.3. Нормальное состояние v G S (A) называется стационарным распределением для процесса { T t } , если vT t = v для любого t >  0.

Теорема 4.2. Пусть однородный марковский процесс {Tt} удовлетворяет условию (Ag). Тогда существует единственное стационарное распределение vg G S (A) такое, что для любого ^ G S(A) справедливо соотношение lim k^Tt - vgk* = 0.                                  (4)

t→∞

C Существование нормального состояния v g , удовлетворяющего условию (4), вытекает из теоремы 4.1. Необходимо лишь установить инвариантность v g относительно полугруппы { T t } . Для любого a G A и s >  0 имеем в силу (4)

v g T s ( a ) = lim ( pT t )( T s ( a )) = lim ^T s₊t (a) = v g (a), t→∞           t→∞

• т. е. v g T _s ( a ) = v g ( a ) для любого a G A или v g T s = v g . Покажем, что других стационарных распределений нет. Если v i G S (A ) — инвариантное состояние, то v i T _t = v i для любого t >  0 и, значит, в силу (4)

• 5.    Об одной эргодической теореме

v 1 ( a ) = lim v 1 ( T _t ( a )) = v g (a) для всех a G A. B t→∞

Пусть (A, e ) — пространство с порядковой единицей.

Лемма 5.1. Если { T _n } — возрастающая последовательность операторов на A и sup k T n k = K <  го , то существует линейный оператор T такой, что для любого a G A

Ta = lim Tn a, n→∞ при этом kT k 6 K.

C Для m > n оператор T _m — T n положителен, следовательно, для любого a G A ⁺ и линейного положительного функционала ϕ имеем

^ ( T m a — T n a) = ^(T m a) — ^(T n a) >  0.

Для фиксированного a и ^ числовая последовательность { ^(T n a) } возрастает и | ^(T _n a) | 6 k ^ k • k T n a k 6 K k ^ k • k a k . Отсюда заключаем, что существует конечный предел lim ^ (T n a). n→∞

Далее, пусть a и у — произвольны. Так как a = a + — a - , то

^(T m a — T n a ) = V + ( T m a + — T n a + ) — V - ( T m a + — T n a + )

• — V + ( T m a — — T n a - ) + ^ — ( T m a — — T n a — ) .

Из сказанного выше следует, что | ^(T _m a — T _n a) | ^ 0, m, n ^ го .

Известно, что ||T _m a — T n a k = sup | ^(T _m a — T n a) | . Следовательно, последовательность k^k 6 i

{Tna} фундаментальна по норме. Так как A полно, то существует Ta = lim Tn a. Опреде-n→∞ ленный таким образом оператор T аддитивен и однороден. Так как kTnak 6 kTn k · kak 6

K k a k , то в пределе имеем k T a k 6 K k a k , т. е. T — ограниченный линейный оператор и k T k6 K. B

Определение 5.1. Элемент у G V назовем единицей в V, если у >  0 и множество U { g G V : — пу 6 g 6 пу } плотно по норме в пространстве V.

Теорема 5.1. Пусть Т : V ^ V — положительное, линейное отображение такое, что k T к 6 1 и Ту 6 у , где у — единица в V. Тогда для любого f G V существует f G V такое, что

• 1    n— 1

T ^k f → f при n → ∞ по норме V.

n k=0

C Рассмотрим выпуклое множество

S n = { g G V : — пу 6 g 6 пу } .

Для любого ортогонального семейства { u k } проективных единиц y ( u k ) ^ 0 при к ^ го в силу нормальности у. Так как для любого g G S n верно | g(u k ) | 6 ny ( u k ), то lim g ( u k ) = 0 равномерно по всем g G S n .

k→∞

Кроме того, k g k 6 n k ϕ k для всех g ∈ S _n . По теореме 3 в [19] множество S _n слабо относительно компактно. Очевидно, что оно и слабо замкнуто. Тогда S n — слабо компактное подмножество V .

Пусть Т : V ^ V — положительный линейный оператор такой, что kTк 6 1 и Ту 6 у. Тогда Т(Sn) С Sn. Положим m-1

T m = - X Т k .

m k=0

Для любого f ∈ S _n последовательность { T _m f } лежит в S _n . Так как S _n слабо компактно, то по теореме Эберлейна — Шмульяна [20] S _n слабо секвенциально компактно. Поэтому из последовательности { T _m f } можно выбрать слабо сходящуюся последовательность Т _{т к} f ^ f G V. Так как ||Т к 6 1, то выполнены все условия теоремы Иосиды [20; гл. VIII, § 3, теорема 2]. Из нее следует, что T m f → f по норме V . Таким образом,

∞ утверждение теоремы доказано для любого f ∈ Sn , а значит, для всех f ∈    Sn .

n =1

∞

Пусть f ∈ V — произвольно. По условию теоремы,    Sn плотно в V . Поэтому для n=1 ∞ любого е > 0 существуют fi G U Sn и /2 G V такие, что f = fi + /2 и kf2k 6 е/3.

n =1

∞

Рассмотрим последовательность {Tmf} = {Тт/1 + Tmf2}. Так как f G U Sn, то после- n=1

довательность { T _m f 1 } сходится в V и поэтому фундаментальна, т. е. ||T _n f 1 — T _m f 1 k 6 е/3 при достаточно больших m, n.

Далее, для всех m kTmf2 к =

m- 1

- X Т k f2 m k=0

m- 1

6 mm Е кТ ^k ли <  k =0

ε

.

Значит, при достаточно больших m, n

• ^kT m ^{f —} T ^ f ^{к 6} ||^Т ш / 1 ^{— Т} пА || + ^кТ т / г ^к + ^кТ п / г ^к< 3 ⁺ 3 ⁺ 3 = ^е.

• 6. Вероятностные пространства на пространствах с порядковой единицей

В силу произвольности ε, это означает фундаментальность последовательности { T _m f } . Z                                      Z

Так как V полно, то существует f такое, что T m f i ^ f . B

Введем понятие вероятностного пространства на пространствах с порядковой единицей. В частном случае, когда рассматриваемое пространство является йордановой алгеброй, оно совпадает с понятием вероятностного пространства на йордановой алгебре.

Вероятностное пространство на пространстве с порядковой единицей — это пара (A, р), где A — пространство с порядковой единицей, р — точное нормальное состояние на A. При этом элементы A истолковываются как ограниченные случайные величины, ρ — как математическое ожидание случайных величин, логика проективных единиц U A — как множество событий.

Классическое вероятностное пространство (Q, F, P), где Q — пространство всех элементарных событий, F — σ-алгебра событий, P — вероятность, может быть рассмотрено как пример вероятностного пространства на пространствах с порядковой единицей (абелев случай). Именно в качестве пространства с порядковой единицей A выступает пространство L ^X (Q ,F, P ) ограниченных случайных величин, а в качестве р — математическое ожидание случайных величин, построенных по вероятности (интеграл по мере P ). Из [12] вытекает, что всякое вероятностное пространство на абелевых пространствах с порядковой единицей может быть отождествлено с классическим вероятностным.

Рассмотрим случай, когда состояние ρ на A является следом (см. § 1).

Пусть (A, т )-вероятностное пространство на пространствах с порядковой единицей, причем τ — след. Рассмотрим множества вида

N ( е, 5) = ©a Е A : ( 3 u Е U ) u = Re, т ( е — и ) <5, ||Ra k <  е } .

Совокупность множеств { N ( е, 5), е > 0, 5 > 0 } образует базис окрестностей нуля для некоторой топологии.

Определение 6.1. Пусть { x n } n = ₁ С A, х Е A. Будем говорить, что последовательность { x n } n =i сходится по вероятности к х, если для любых е, 5 > 0 существует n g = п ( е, 5) такое, что x n — х Е N ( е, 5 ) при n >  n g .

Определение 6.2. Будем считать, что x n → x почти наверное , если

( V е >  0)( 3 и Е U ) и = Re, т ( е — и ) <5, | R(x _n — х) | ^ 0, n ^ го .

Функция распределения случайной величины a ∈ A определяется как

Fa(A) = т (их), где {uλ } — спектральное семейство проективных единиц для a.

Для вероятностных пространств на пространствах с порядковой единицей можно также ввести аналоги условных математических ожиданий (§ 3), мартингалов, марковских операторов (§ 4) и доказать различные варианты теорем о сходимости мартингалов, эргодических теорем и аналогов других теорем теории вероятностей.

На примере вероятностного пространства на обобщенном спин-факторе (см. § 3) разберем некоторые из этих понятий.

Пусть A = R + X — обобщенный спин-фактор. Всякий элемент a = а + x можно однозначно представить в виде линейной комбинации двух проективных единиц:

a = а + x = (а + ||x||)ua + (а — ||x|)ua, где

1   1 x

= 2 + 2 И ’

u' a = e — U a

Поэтому спектральным семейством для a является семейство

^u x =  e — U a

e

при A 6 а — ||x k ;

при а — ||x || < A 6 а + | x | ; при A > а + ||х | .

В частности, функцией распределения для a является

F a (A) =

ч1

при A 6 а — | x | ;

при а — | x | < A 6 а + | x | ; при A > а + ||х | .

Отсюда видно, что две случайные величины a = а+x и b = в +У одинаково распределены тогда и только тогда, когда а = в, H x H = 1у|.

Нетрудно заметить, что в вероятностном пространстве на обобщенном спин-факторе (A, т) сходимости по вероятности, и почти наверное и по норме совпадают и означают, что а _п — а, x n — x, где a n = а _п + x n , a = а + x G A (через x n — x обозначена сходимость в банаховом пространстве X). В то же время, сходимость по распределению означает, что α n → α, k x n k → k x k .

Можно показать, что для двух проективных единиц и = 2 + 2 x o и v = 2 + 2 y o условие и ^ v равносильно x o = y o .

По определению a ^ b О U a ^ и ь . Так как U a = 2 + 2 X и и ь = 2 + 2 y , то ^^ = y . Это означает, что x = Ay, т. е. элементы банахова пространства X пропорциональны. Итак, совместность в обобщенном спин-факторе элементов a = а + x и b = в + У означает пропорциональность элементов x и y . В частности, всякое максимальное абелево подпространство A имеет вид: A o = R e + Rx o , где x o — некоторый единичный элемент в X.

Так как абелево пространство можно превратить в алгебру, то нетрудно заметить, что A0 — порядково и алгебраически изоморфно R2 при соответствии а + Axo —> (а + A, а — A) G R^.

Поэтому модуль элемента a = а + x можно вычислить по формуле:

| a | = 2 ( 1 (а + | x | ) | + | (а — | x | ) | ) + 2 ( | (а + | x | ) | + | (а — | x | ) | ) ^|.

В частности, | 0 + x | = | x | e .