Замечание об абсолютно сходящихся рядах в пространствах ростков аналитических функций
Автор: Мелихов Сергей Николаевич
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 3 т.17, 2015 года.
Бесплатный доступ
В работе доказано, что любой абсолютно сходящийся ряд в пространстве ростков всех аналитических на произвольном множестве $M\subset\mathbb C^N$ функций, наделенном топологией проективного предела, сходится абсолютно в пространстве Фреше всех функций, аналитических в некоторой открытой окрестности множества $M$. Это позволяет, в частности, освободиться от предположений о росте показателей рядов экспонент, делавшихся в некоторых утверждениях ранее.
Пространство ростков аналитических функций, абсолютно сходящиеся ряды, выпуклое локально замкнутое множество
Короткий адрес: https://sciup.org/14318510
IDR: 14318510
Текст научной статьи Замечание об абсолютно сходящихся рядах в пространствах ростков аналитических функций
Для р, z Е CN положим
N
N
1/2
<©z > := ^Pjzj, ep.(z):= ex-P^z"), Ы : = 52|Щ I 2
j=i
В работе [2] были исследованы абсолютно представляющие системы экспонент (e^k) к^м (M — бесконечное подмножество NN) в пространстве A(Q) ростков всех функций, аналитических на выпуклом локально замкнутом множестве Q в CN. Некоторые утверждения в [2] были установлены при дополнительном предположении lim ^ = 0.
|k©ra | Ak |
В этой статье доказывается одно свойство абсолютно сходящихся рядов в пространстве ростков аналитических функций (теорема. 1), которое позволяет, в частности, от условия (1) освободиться.
Приведем некоторые сведения о пространствах ростков аналитических функций [4]. Если П С CN открыто. то А(П) — пространство всех аналитических в П функций с топологией равномерной сходимости на семействе всех компактных подмножеств П. Если K — ком пакт в CN. то A(K ) — пространство ростков всех функций. аналитических на K. т. е. в некоторой открытой окрестности K. В этом случае A(K ) наделяется топологией индуктивного предела пространств А(П), где П пробегает семейство всех открытых окрестностей K. Пусть теперв M — произвольное подмножество CN. Чс'ре; A(M ) обозначим пространство ростков всех функций, аналитических на M, т. е. в некоторой
открытой окрестности M. В общем случае в A(M) можно вводить две естественные топологии. Топология pr в A(M ) — топология проективного предела пространств A(K ), где K пробегает семейство всех компактных подмножеств M. Топология in в A(M ) — топология индуктивного предела пространств A(Q), где О пробегает семейство всех открытых окрестностей M. Топология in всегда не слабее топологии pr. Согласно [4, доказательство утверждения 1.2] всякое ограниченное в (A(M ), pr) множество содержится к ограничено в А(О) для некоторой открытой окрестности О множества M. Отсюда, в частности, следует, что ограниченные в (A(M ), pr) и в (A(M ), in) множества — одни и те же. Оказывается, аналогичный факт имеет место и для абсолютно сходящихся рядов.
Для множества S С CN. фуц кипи f : S ^ C нож жим ps (f ) := supzGs |f (z) | - Далее. M — подм1 южсство CN.
Теорема 1. Пусть ряд (Е2=1 fn сходится абсолютно в (A(M ),pr). Тогда существует открытая окрестность О множества M такая, что все функции fn, n Е N, аналитически продолжаются в Он р^тд 522=1 fn сходится а<эсолютпо в А(О).
-
<1 Множество {fn : n Е N} ограничено в (A(M),pr). По доказательству предложения 1.2 (см. [4]) существует открытая окрестность ш множества M такая, что каждая функция fn. n Е N. (однозначно) апалитически продолжается в ш. Пусть K — компакт в M. Так как ряд 522=1 fn сходится абсолют но в пространстве A(K) и (LB)-npocTpancTBO A(K) регулярно (ем., например. [1]). то существует открытая окрестность Ок С ш множества K такая, что fn Е А(Ок). n Е N. i1 ^2=1 P q k (fn) < +^. Пзтть О := Дк Ок (K пробегает семейство всех компактных подмножеств О). Тогда О — открытая окрестность M. в которую аналитически продолжаются все функции fn. n Е N. Возьмем компакт R в О. Найдется конечное семейство компактов Kj. 1 ^ j Е J. в M. для которых R С Uj=i Окj . Значит,
∞∞
52 pf < 52 ™ал p^Kj fn) ^
n=1 n=1 j
J∞
ЕЕ
j=1 n=1
p^Kj ^П
)
< +то .
Следовательно, ряд ^2=1 fn сходится at icomtotiio в А(О). >
Следствие 2. Абсолютно сходящиеся ряды в (A(M ), pr) и в (A(M ), in) — одни и те же.
Из теоремы 1 вытекает, что замечание 7 (б), теорема 8, следствия 9 и 10, теорема 14 статьи [2] справедливы без предположения (1). В частности, имеют место следующие утверждения. В них Q — выпуклое локально замкнутое множество в CN, т. е. выпуклое множество, обладающее фундаментальной последовательностью компактных подмножеств (см. [2, § 1]).
Следствие 3. Пусть Q обладает базисом окрестностей, состоящим из областей голоморфности. Если в (A(Q), pr) существует абсолютно щэедставляющая система (e^„)nrN. то пересечение Q с любой опорной гиперплоскостью к Q компактно.
-
< Возг>мсм f Е A(Q)- Существует not•ледовательность cn Е C. n Е N. такая, что f = 522=1 cnerni и последний ряд абсолютно сходится в (A(Q),pr) (к f). По теореме 1 найдется открытая окрестность О множ ества Q, для кото рой ряд 522=1 cne^n сходится абсолютно в А(О). Тогда он сходится абсолютно в А(сопуО) (см. доказательство теоремы 8 в [2]); сопуО обозначает выпуклую оболочку О. Поэтому f аналитически продолжается в сопуО. Следовательно, Q обладает базисом окрестностей, состоящим из выпуклых областей. Значит [2, лемма 3], пересечение Q с любой опорной гиперплоскостью к Q компактпо. >
Замечание 4. Q обладает базисом окрестностей, состоящим из областей голоморфности, например, если 1) Q С C; 2) пере сечение Q с любой комплексной опорной гиперплоскостью к Q компактно; 3) Q С RN [3, замечание 3.12].
Следствие 5. Пусть Q обладает базисом окрестностей, состоящим из областей голоморфности, и существует опорная гиперплоскость к Q, пересечение которой с Q не является компактным. Тогда в A(Q) не существует ни одной абсолютно представляющей системы (e^n)nGN- В частности, это так, если Q С RN и Q некомпактно.
Список литературы Замечание об абсолютно сходящихся рядах в пространствах ростков аналитических функций
- Макаров Б. М. Об индуктивных пределах нормированных пространств//Вестник ЛГУ.-1965.-№ 13, вып. 3.-С. 50-58.
- Мелихов С. Н., Момм З. О свойстве внутрь-продолжаемости представляющих систем экспонент на выпуклых локально замкнутых множествах//Владикавк. мат. журн.-2008.-Т. 10, вып. 2.-С. 36-45.
- Bonet J., Meise R., Melikhov S. N. The dual of the space of holomorphic functions on locally closed convex sets//Publ. Mat.-2005.-Vol. 49.-P. 487-509.
- Martineau A. Sur la topologie des espaces de fonctions holomorphes//Math. Annal.-1966.-Vol. 163.-P. 62-88.