Для р, z Е CN положим

N

N

1/2

<©z > ^:= ^Pjzj, ep.^(z):= ex-P^z"), Ы ^: = 52|Щ I ²

j=i

В работе [2] были исследованы абсолютно представляющие системы экспонент (e^k) к^м (M — бесконечное подмножество NN) в пространстве A(Q) ростков всех функций, аналитических на выпуклом локально замкнутом множестве Q в CN. Некоторые утверждения в [2] были установлены при дополнительном предположении lim ^ = 0.

|k©ra | Ak |

В этой статье доказывается одно свойство абсолютно сходящихся рядов в пространстве ростков аналитических функций (теорема. 1), которое позволяет, в частности, от условия (1) освободиться.

Приведем некоторые сведения о пространствах ростков аналитических функций [4]. Если П С CN открыто. то А(П) — пространство всех аналитических в П функций с топологией равномерной сходимости на семействе всех компактных подмножеств П. Если K — ком пакт в CN. то A(K ) — пространство ростков всех функций. аналитических на K. т. е. в некоторой открытой окрестности K. В этом случае A(K ) наделяется топологией индуктивного предела пространств А(П), где П пробегает семейство всех открытых окрестностей K. Пусть теперв M — произвольное подмножество CN. Чс'ре; A(M ) обозначим пространство ростков всех функций, аналитических на M, т. е. в некоторой

открытой окрестности M. В общем случае в A(M) можно вводить две естественные топологии. Топология pr в A(M ) — топология проективного предела пространств A(K ), где K пробегает семейство всех компактных подмножеств M. Топология in в A(M ) — топология индуктивного предела пространств A(Q), где О пробегает семейство всех открытых окрестностей M. Топология in всегда не слабее топологии pr. Согласно [4, доказательство утверждения 1.2] всякое ограниченное в (A(M ), pr) множество содержится к ограничено в А(О) для некоторой открытой окрестности О множества M. Отсюда, в частности, следует, что ограниченные в (A(M ), pr) и в (A(M ), in) множества — одни и те же. Оказывается, аналогичный факт имеет место и для абсолютно сходящихся рядов.

Для множества S С CN. фуц кипи f : S ^ C нож жим ps (f ) := sup_zGs |f (z) | - Далее. M — подм1 южсство CN.

Теорема 1. Пусть ряд (Е2=1 fn сходится абсолютно в (A(M ),pr). Тогда существует открытая окрестность О множества M такая, что все функции fn, n Е N, аналитически продолжаются в Он р^тд 522=1 fn сходится а<эсолютпо в А(О).

• <1 Множество {fn : n Е N} ограничено в (A(M),pr). По доказательству предложения 1.2 (см. [4]) существует открытая окрестность ш множества M такая, что каждая функция fn. n Е N. (однозначно) апалитически продолжается в ш. Пусть K — компакт в M. Так как ряд 522=1 fn сходится абсолют но в пространстве A(K) и (LB)-npocTpancTBO A(K) регулярно (ем., например. [1]). то существует открытая окрестность Ок С ш множества K такая, что f_n Е А(Ок). n Е N. i1 ^2=1 P q _k (fn) < +^. Пзтть О := Д_к Ок (K пробегает семейство всех компактных подмножеств О). Тогда О — открытая окрестность M. в которую аналитически продолжаются все функции fn. n Е N. Возьмем компакт R в О. Найдется конечное семейство компактов Kj. 1 ^ j Е J. в M. для которых R С Uj=i Окj . Значит,

  ∞∞

  52 p^f < 52 ™^ал p^Kj fn) ^

  n=1          n=1 j

  
  

  J∞

  ЕЕ

  j=1 n=1

  
  

  p^Kj ^П

  
  

  )

  
  

  < +то .

  
  

Следовательно, ряд ^2=1 fn сходится at icomtotiio в А(О). >

Следствие 2. Абсолютно сходящиеся ряды в (A(M ), pr) и в (A(M ), in) — одни и те же.

Из теоремы 1 вытекает, что замечание 7 (б), теорема 8, следствия 9 и 10, теорема 14 статьи [2] справедливы без предположения (1). В частности, имеют место следующие утверждения. В них Q — выпуклое локально замкнутое множество в CN, т. е. выпуклое множество, обладающее фундаментальной последовательностью компактных подмножеств (см. [2, § 1]).

Следствие 3. Пусть Q обладает базисом окрестностей, состоящим из областей голоморфности. Если в (A(Q), pr) существует абсолютно щэедставляющая система (e^„)n_rN. то пересечение Q с любой опорной гиперплоскостью к Q компактно.

• < Возг>мсм f Е A(Q)- Существует not•ледовательность c_n Е C. n Е N. такая, что f = 522=1 cn^erni ^и последний ряд абсолютно сходится в (A(Q),pr) (к f). По теореме 1 найдется открытая окрестность О множ ества Q, для кото рой ряд 522=1 cne^n сходится абсолютно в А(О). Тогда он сходится абсолютно в А(сопуО) (см. доказательство теоремы 8 в [2]); сопуО обозначает выпуклую оболочку О. Поэтому f аналитически продолжается в сопуО. Следовательно, Q обладает базисом окрестностей, состоящим из выпуклых областей. Значит [2, лемма 3], пересечение Q с любой опорной гиперплоскостью к Q компактпо. >

Замечание 4. Q обладает базисом окрестностей, состоящим из областей голоморфности, например, если 1) Q С C; 2) пере сечение Q с любой комплексной опорной гиперплоскостью к Q компактно; 3) Q С RN [3, замечание 3.12].

Следствие 5. Пусть Q обладает базисом окрестностей, состоящим из областей голоморфности, и существует опорная гиперплоскость к Q, пересечение которой с Q не является компактным. Тогда в A(Q) не существует ни одной абсолютно представляющей системы (e^n)_nGN- В частности, это так, если Q С RN и Q некомпактно.