Замечания о нулях одного класса гармонических функций

Настоящая заметка продолжает исследование, проведенное в [1], и использует ее обозначения и результаты. Напомним некоторые из них. Пусть s Е No := {0,1, 2,...} и Ms — класс всех отображений f : [1, +го) ^ R, непрерывных на [1, +го) вместе со свои-ln |f(j) (x)| ми производными до порядка s включительно и таких, что limx^+^ — ы^4 < - 2 при j = 0,1,..., s.

Если f ∈ M 0 , то функция

∞

1                             z

Ff (z) := —--1/4 + J f (x)x 3/4 ch ^lnXj dx аналитична в полосе П := {z Е C : | Re z| < 2}; кроме того, она имеет простые полюсы в точках z = ± 2 и регулярна в достаточно малой окрестности любой из остальных точек границы П. Пусть еще По — полуполоса 0 < Re z < 2, 0 < Im z < +ro и Im Ff — мнимая часть Ff .

Справедлива

Теорема 1 [1] ¹ . Если f Е M o , то функция F f не имеет нулей в П о тогда и только тогда, когда ∞

v ( Л ) := Л (1 + Л ² ) У h ( t ) sin At dt 6 1 , Л Е [0 , + го ) ,                    (1)

где h ( t ) := f ( e ^2t )( e t - 1) .

Проверка выполнения условия (1) проведена в [1] при дополнительном предположении о том, что f Е M 3 . Именно, если h ⁰⁰ (0) <  — 1 , то согласно [1] условие (1) не выполняется, и потому Im F f имеет нули в П о ; при этом множество всех ее нулей в П о бесконечно и, более того, имеет мощность континуума. Если же h ⁰⁰ (0) >  — 1 , то

( 3 q Е (0 , 1)) ( 3 A i = A i ( q ) Е (0 , + го )) v ( Л ) ( V Л > A i ) .               (2)

Пусть, как в [1], А д — единственный положительный корень (неполного) кубического уравнения x (1 + x ² ) J^ | h ( t ) | dt = 1 . Значение А д можно определить по известной формуле Кардано или же вычислить приближенно с любой степенью точности. Ясно, что v ( А ) <  1 при любых А £ [0 , А д ) . Если А д >  А 1 , то условие (1) имеет место при всех А из [0 , + го ) , и по теореме 1 Im F f не имеет нулей в П д . Если же А д < А 1 ( q ) , то согласно [1] можно привлечь к рассмотрению величину y : = max { v ( А ) : А £ [ А д , А 1 ] } , которая определяется обычными методами математического анализа. Если при этом окажется, что y 6 1 , то условие (1) выполнено, и в этом случае функция F f не имеет нулей в П д по теореме 1. В случае же, когда y >  1 , условие (1) не выполняется и тогда множество нулей Im F f в П д непусто, бесконечно, и, более того, имеет континуальную мощность.

Последний возможный случай, когда h ⁰⁰ (0) = — 1 , в работе [1] не исследован. Далее показано, что при дополнительных ограничениях на функцию f теорему 1 можно применить и в этом оставшемся открытым случае.

Предположим вначале, что f £ М 5 . Тогда с помощью стандартного интегрирования по частям найдем (учитывая, что h (0) = 0 и h " (0) = — 1 ):

∞ v (А) = 1 + у2+Т2Г1 + "\2 h^ (0) + V4 f1 + "\2 h^ (t)

cos Аt dt

А ² А² \ А² /           А⁴ \ А² J J

д

= ^{1 +} д 2 [ 1 ⁺ h "  ⁽⁰⁾ ] ⁺ O ( Д 5 ) ‘

Отсюда, рассуждая как в [1] заключаем, что если h ⁽⁴⁾ (0) >  — 1 , то условие (1) нарушено, и по теореме 1 множество всех нулей Im F f в П д непусто (более того, оно бесконечно и имеет мощность континуума). Если же h ⁽⁴⁾ (0) <  — 1 , то выполняется соотношение (2). Точно так же, как раньше, находим, что в случае, когда А д >  А 1 , Im F f не имеет нулей в П д . Если же А д < А 1 , то здесь решающую роль играет значение величины 7 : если y <  1 , то функция Im F f не имеет нулей в П д , а если y >  1 , то множество всех нулей Im F f в П д непусто (более того, оно бесконечно и имеет мощность континуума). Наконец, если h ⁽⁴⁾ (0) = — 1 , то приходится накладывать новые ограничения на гладкость функции f .

В общем случае, если l >  1 , f £ М 2 1 +1 и хотя бы при одном s 6 l h ^(2s) (0) = — 1 , то можно использовать вышеприведенные соображения, которые ничего не дают лишь, когда h ^(2s) (0) = — 1 , s = 0 , 1 ,... l .

В частности, если M∞ — класс всех вещественнозначных бесконечно дифференцируемых в промежутке [1, +го) функций f таких, что к in if(m) (x)i < — 1

• x . - ^ in x 2

при любых m >  0 , то метод статьи [1] применим ко всем функциям этого класса, у которых h f = [ f ( e ^2t )( e t — 1)] ^(2Yg = — 1 хотя бы при одном y o >  1 . Например, если f ∈ M ∞ и h _f ^{γ 0} >  — 1 , то множество всех нулей Im F f в П д бесконечно. Таким образом, теорема 1 неприменима лишь к весьма узкому подклассу М ^ класса М ^ , а именно, к тем функциям f , у которых h f^s) = — 1 для любого s £ N _o .

К сожалению, есть некоторые основания полагать, что в этот исключительный класс М ^ входит хорошо известная в теории дзета-функций Римана (см., например, [2, гл. 2]) функция ш д ( х ) := 52П =1 e ^{-nn x} . Приходится с горечью констатировать в очередной раз, что, как правило, действительность оказывается сложнее и хуже наших представлений о ней и наших ожиданий.

Коробейник Ю. Ф.