Замкнутые пары

Напомним, что элементарная сеть σ (сеть без диагонали) называется замкнутой, если ее элементарная группа E ( a ) не содержит новых элементарных трансвекций. Замкнутые пары мы строим из подгрупп кольца многочленов.

Пусть R i [x ] — кольцо многочленов (от переменной x с коэффициентами из области целостности R ) с нулевым свободным членом.

Основным результатом является следующая теорема.

Теорема. Пусть A, B — аддитивные подгруппы из R i [x]. Тогда пара (A, B ) является замкнутой. Другими словами, если t i2 (e) или t 2i( a ) содержится в элементарной группе h t 2i (A), t i2 ( B ) i , то в G B, a G A.

Мы пользуемся следующим стандартным набором определений и обозначений.

Пусть Л — произвольное коммутативное кольцо с 1. Если A , B — подгруппы аддитивной группы кольца Л , то через AB мы обозначаем подгруппу аддитивной группы кольца Л , порожденную всеми произведениями ab , a G A , b G B.

Пусть e — единичная матрица порядка n , e ij — матрица, у которой на позиции ( i,j ) стоит 1, а на остальных местах нули. Если a G Л , то через t ij (a) = e + ae ij обозначается элементарная трансвекция. Положим, далее, t ij (A) = { t ij (a) : a G A } .

Для элементарной сети a через E ( o ) обозначается элементарная группа:

E(a) = h t ij ( a j ) : 1 6 i = j 6 n ) .

Далее, R — произвольная (коммутативная) область целостности с 1, R[x ] — кольцо многочленов от переменной x с коэффициентами из R .

Для неотрицательного m через R m [x] мы обозначаем идеал кольца R[x] :

R m [x] = Rx m + Rx m ⁺¹ + ...

На протяжении всей статьи предполагается, что n — натуральное число, n >  2 .

• 2.    Замыкание сети

Пусть Л — произвольное коммутативное кольцо с единицей, n — натуральное число. Система ст = ( CT ij ) , 1 6 i, j 6 n, аддитивных подгрупп кольца Л называется сетью [1] (или ковром [2]) над кольцом Л порядка n , если CT ir CT rj С CT ij при всех значениях индексов i , r , j.

Сеть, рассматриваемая без диагонали, называется элементарной сетью ( элементарный ковер [3], [4, вопрос 15.46]). Таким образом, элементарная сеть — это набор ст = (ст j ) , 1 6 i = j 6 n , аддитивных подгрупп кольца Л , для которых CT ir CT rj С CT ij для любой тройки попарно различных чисел i , r , j.

Элементарная сеть ст = ( CT ij ) , 1 6 i = j 6 n , называется дополняемой, если для некоторых аддитивных подгрупп стц кольца Л таблица (с диагональю) ст = ( CT ij ) , 1 6 i, j 6 n , является (полной) сетью. Другими словами, элементарная сеть σ является дополняемой, если ее можно дополнить (диагональю) до (полной) сети.

Хорошо известно (см., например, [1]), что элементарная сеть ст = (ст ij ) является дополняемой тогда и только тогда, когда

^CT ij ^CT j i ^CT ij С ^CT ij                                                   (1)

для любых i = j . Диагональные подгруппы стц определяются формулой

^CT ii =     ' ^CT ki ^CT ik ,                                                   ⁽²⁾

k6=i где суммирование берется по всем k отличным от i.

Ясно, что элементарная сеть может быть дополнена до сети не всегда единственным способом. Однако, очевидно, формула (2) (при выполнении условий (1)) позволяет дополнить элементарную сеть σ наименьшей диагональю. Как мы увидим ниже не всякая элементарная сеть является дополняемой.

Для элементарной сети ст рассмотрим элементарную сеть CT = ( CT ij ) , индуцированную трансвекциями из элементарной группы E (ст) . А именно, для любых i = j положим

CT ij = { а Е Л : t ij (а) Е Е(ст) } .

В силу известного коммутаторного соотношения CT = (CT ij ) является элементарной сетью.

Определение. Элементарную сеть CT называют замыканием сети ст. Если ст = CT , то сеть σ называют замкнутой .

Очевидно, что примерами замкнутых элементарных сетей являются дополняемые сети (для дополняемой сети ст определена сетевая группа G ( ct )).

Замечание 1. Понятие допустимой (замкнутой) сети стало известно автору из работ В. М. Левчука (см., например, [4, вопрос 15.46]), однако, на наш взгляд (см. предложение 1), термин «замкнутая сеть» лучше отражает суть определения.

Из [6, предложения 4, 5] вытекает следующее

Предложение 1. 1) Операция замыкания обладает следующими свойствами ( замы кания в топологическом пространстве ) :

ст С CT; ст С т ^ CT С Т; CT = CT; ст П т С CT П т.

• 2)    Пересечение замкнутых сетей является замкнутой сетью.

• 3)    Пусть ст С т и т — замкнутая сеть. Тогда ст С ст С т. В частности, ст — наименьшая замкнутая сеть, содержащая σ.

• 3.    Формулы в E2(Л)

Положим Ст 1 Л Ст 2 = Ст 1 П Ст 2 , далее, cti V Ст 2 = cti U Ст 2 , где cti U Ст2 — сеть равная пересечению всех элементарных сетей, содержащих σ 1 и σ 2 .

Следствие. Множество замкнутых ( допустимых ) сетей является структурой ( подструктурой всех элементарных сетей ) , содержащей структуру всех дополняемых сетей.

В этом параграфе n = 2 и мы рассматриваем формулы для матриц второго порядка из элементарной группы Е 2 (Л) = h t 12 (Л), t 2i (Л) i (все элементы a i , i = 1, 2,..., берутся из кольца Л ).

Пусть S 2 k +i = t 2i( a i) t i2( a 2) ...t 2i( a 2 k ±i ) , S 2 k = t 2i( a i )t i2 (« 2 ) ...t i2 (« 2 k ) . Рассмотрим S n для n = 2, 3 :

S 2 =

α 1

α 2

1 + a i a 2

1 + а 2 а з a i + а з + a i a 2 a 3

α 2

1 + a 2 a i

Мы определим рекуррентные формулы для второй строки матрицы S _n (аналогичные формулы справедливы и для первой строки матрицы S _n ).

Через (, ) n обозначим вторую строку матрицы S n . Ясно, что

(, ) i = (a i , 1),   (, ) 2 = (a i , 1 + a i a 2 ),   (, ) з = (a i + а з + a i a 2 a 3 , 1 + a i a 2 ).

Для натуральных m , n , m 6 n , определим функции ^ m = ^ m (a i ,..., a n ) следующим образом:

^ 2 n +i = a i + a 3 + ... + a 2 n +i (n > 0),   ^ = a 2 ^ i + a 4 ^ 3 + ... + a 2 n^- i (n > 1),

^ 2 n ±i = ^a 3 ^ 2 ^{+ a} 5 ^ 4 ⁺ . . . ^{+ a} 2 n +i y 2 n , ^ 2 n = ^a 4 ^ ^{3 + a} 6 ^ ^{3 +} . . . ^{+ a} 2 n ^L -i ,

2 m +1          2 m          2 m                 2 m

^ 2 n ±i = ^a 2 m +i ^ 2 m ^{+ a} 2 m ±3 ^ 2 m ±2 ⁺ • • • ^{+ a} 2 n ±i ^ 2 n , ^m 6 ⁿ,

^ 2 m = ^a 2 m ^ 2 m -i ^{+ a} 2 m +2 ^ 2 m +i ⁺ ... ^{+ a} 2 n ^ 2 m -iⁱ , ^{m 6} n.             ⁽⁴⁾

Предложение 2. Справедливы следующие утверждения:

• 1)    ^ n = ai« 2 ... a n ;

• 2)    ^ m — сумма произведений элементов a i , a 2 ,..., a n , причем каждое произведение содержит m сомножителей из этих элементов ;

3a) если ^ 2 П +! = ^ 2 П ±! + a 2 n +i ^ 2 n 0 6 k 6 n - 1, n > 1, то

2 n +1           2 n

^ 2 n ±i = ^a 2 n ±i ^ 2 n ;

3b) если ^ 2 П = ^ 2 П- 2 + a 2 n ^ 2 n -i , 1 6 k 6 n - 1, n > 2, то

^ 2 n = ^a 2 n ^ 2 n -i , n >  1.

<1 Очевидно, что 1) вытекает из 3a) и 3b). Далее, 2) вытекает из рекуррентного опре- деления функции ϕnm. Докажем 3a) (аналогично доказывается 3b)). По определению

(см. (3))

^2n-i = a2k±i^2k + a2k±3^2k±2 + ... + a2n-i^2П-2, причем 2k +1 6 2m + 1, k 6 m — 1. Тогда ^2П+1 = ^2П-1 + а2п+1^2П. Наконец из (3) для m = n мы имеем ^2П+1 = а2п+1^2П. B

Предложение 3. Формулы для второй строчки матрицы S n при n = 2, 3,4 выглядят следующим образом:

(i ) 2 = (^G ^{1 +} ^ 2 )1 (i ) з = (^ 3 ⁺ ^ 3 1 ^{1 +} ^ 2 )1 (i ) 4 = (^ 3 ⁺ ^ З ^{1 +} ^ 2 ⁺ ^ 4) .

C Согласно формуле для S 2 имеем (, ) ₂ = (ai, 1 + 010 2 ) , поэтому первая формула нашего предложения вытекает из того, что ^ 1 = a i , ^ 2 = 010 2 . Аналогично доказываются остальные формулы. B

Предложение 4. Имеют место формулы (n > 1) :

• ⁽ , ) 2 n = ⁽ ^ 2 n -1 ⁺ ^ 2 n -1 ⁺ • • • ⁺ ^n -i , ^{1 +} V 2 n ⁺ V 4 n ⁺ • • • ⁺ ^n ),            ⁽⁵⁾

• ⁽ , ) 2 n +i = ⁽ ^ 2 n +i ⁺ ^ 3 n +i ⁺ • • • ⁺ ^ 2 П +1 , ^{1 +} v 2 n ⁺ v 2 n ⁺ • • • ⁺ v 2 n )•           ⁽⁶⁾

C Рассмотрим матрицу S k (k > 2) , и покажем, что вторая строка (, ) k этой матрицы удовлетворяет формулам нашего предложения. Индукция по k . База индукции следует из предложения 3. Рассмотрим индукционный переход k ^ k + 1 . Рассмотрим два случая.

• a)    Пусть k = 2n — четно и по индукционному предположению справедлива формула (5). Имеем S k +i = S 2 n +i = S 2 n t 2i (a 2 n +i ) , а потому из (5) мы имеем

G ) 2 n +1 = (⁽ ^ 2 n -1 ^{+ a} 2 n +1 ) ^{+ (} ^ 3 n -1 ^{+ a} 2 n +1 ^ 2 n ) ⁺ • • • ^{+ (} ^ 2 П -1 ^{+ a} 2 n +1 ^ 2 n 2 )

^{+ a} 2 n +1 ^ 2 n ^{, 1 +} ^ 2 n ⁺ V 4 n ⁺ • • • ⁺ ^ 2 П

Последняя строчка совпадает со строчкой формулы (6) согласно утверждению 3а) предложения 2.

• б)    Пусть теперь k = 2n — 1 — нечетно. Согласно индукционному предположению из (4) мы имеем

1         3                2 n -1        2         4                2 n -2

• ⁽ , ) 2 n -1 = ⁽ ^ 2 n -1 ⁺ ^ 2 n -1 ⁺ • • • ⁺ ^ 2 n -1 , ^{1 +} ^ 2 n -2 ⁺ ^ 2 n -2 ⁺ • • • ⁺ У 2 n -2 ⁾ •

Далее, S _fc+i = S 2 n = S 2 n -i t i2 (a 2 n ) , поэтому

• ⁽ , ) 2 n = (^2 n -1 ⁺ У 3 П -1 ⁺ • • • ⁺ ^ 2 П -1 , ^{1 + (} ^ 2 n -2 ^{+ a} 2 n ^ 2 n -1 ) 4             3                 2 n -2         2 n -3          2 n -1

• ^{+ (} ^ 2 n -2 ^{+ a} 2 n ^ 2 n -1 ) ⁺ • • • ^{+ (} ^ 2 n -2 ^{+ a} 2 n ^ 2 n -1 ) ^{+ a} 2 n ^ 2 n -1J •

• 4.    Доказательство теоремы

Непосредственно из утверждения 3b) предложения 2 следует совпадение последней строчки со строчкой из (5). B

Пусть S k = t 2i (a i )t i2 (0 2 ) • • • содержится в группе h t 2i (A),t i2 (B) i (при этом ясно, что α 2_m+1 ∈ A , α 2_m ∈ B ), причем все элементы α 1 , α 2 , . . . , α _k — ненулевые. Покажем, что если k > 2 , то (S k ) 2i = 0 , (S k ) 12 = 0 . Не умаляя общности (рассматривая транспонирование), достаточно показать, что (S k ) 2i = 0 .

Согласно предложению 4 (в зависимости от четности k ) мы имеем

^{( S}2 n )21 = ^ 2 n -1 ^{+ V} 2 n -1 ⁺ • • • ⁺ ^ 2 n -1 >                          (7)

^{( S} 2 n +1 ) 21 = ^V2 n +1 ⁺ ^ 3 n +1 ⁺ • • • ⁺ У 2 П +1 •                         ⁽⁸⁾

Элементы a i являются многочленами, причем deg(a i ) > 1 . В частности, (S k ) 21 — многочлен. В силу утверждения 1) предложения 2

v 2 n -1 = a 1 a 2 • • • a 2 n -1 ,   ^ 2 n +1 = a^ • • • a 2 n +1 •

Поэтому в силу утверждения 2) предложения 2 (заметим a i = 0 ) из (7), (8) мы имеем ^de gv 2 n -1 >  ^de g ⁽ ^ 2 n -1 ⁺ V 2 n -1 ⁺ ••• ⁺ V^ -i) , deg v 2 n +1 >  ^d eg ⁽ v 2 n +1 ⁺ v 2 n +1 ⁺ ••• ⁺ v 2 n +1 ) •

Следовательно, (S 2J21 = 0, (S 2 n +1 ) 21 = 0 .

• 5.    Элементарные сети

В этом параграфе, пользуясь проделанной работой, мы строим различные примеры элементарных сетей. Отметим, что эти примеры во многом мотивированы вопросами поставленными перед автором В. М. Левчуком и Я. Н. Нужиным, за что автор приносит им благодарность.

Положим ( F = F 2 — поле из двух элементов)

A = Rx + R + R4M, A1 = Rx2 + R + R4 [x], B = Fx + F4 [x], где через F4[x] мы обозначаем идеал кольца F[x], состоящий из всех многочленов: F4 [x] =

Fx ⁴ + Fx ⁵ + ••• •

Пример незамкнутой (не допустимой) сети [6] . Определим элементарную сеть р = ( p ij ) n -го порядка в Л следующим образом: Р 12 = A , Р 21 = A 1 и р ^ = R 2 [x] для всех остальных i = j :

∗ A 1	A ∗	R 2 [x]   • R 2 [x]   •	• R 2 [x ]\ • R 2 [x]
р =  R 2 [x]	R 2 [x]	∗ .	• R 2 [x]
R 2 [x]	R 2 [x]	...     . R 2 [x] •	..     ... ..       ∗

Имеем x ³ ∈ AA 1 A, следовательно, AA 1 A * A , а потому (см. § 1) элементарная сеть ρ не является дополняемой.

Сеть р не является замкнутой (допустимой). Положим b = t 12 (x)t 21 (1)t 12 ( — 1) . Тогда b ^-1 t 12 (x)b = t 21 ( - x) , поэтому x E (p) 21 , но x не содержится в группе A 1 = Р 21 . Поэтому р = /9 , т. е. сеть р не является замкнутой.

Пример замкнутой (допустимой), но не дополняемой сети. Определим элементарную сеть a = ( ст ij ) n -го порядка в поле Л следующим образом: ^ 12 = ^ 21 = B и CT ij = F 4 [x] для всех остальных i = j :

∗ B	B ∗	F 4 [x] • F 4 [x] •	• • F 4 [x] • F 4 [x]
a = F 4 [x]	F 4 [x]	∗ .	• F 4 [x]
\ F 4 [x]	... F 4 [x]	...     . F 4 [x] •	..     ... ..       ∗

σ — элементарная сеть, которая является замкнутой, но не дополняемой [6].