Зависимость частот крутильных колебаний раздаточного редуктора от его физических параметров

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice

УДК 517.984, 621.431                             

Исследования работы относятся к задачам свободных и вынужденных колебаний механических систем, моделируемых динамическими системами с конечным числом степеней свободы [1-5].

Исследования зависимостей частот колебаний любого механизма от его физических и геометрических характеристик играют важную роль для устранения проблем, связанных с возникновением резонансных частот, а также с решениями задач по определению таких входных параметров механизма, которые обеспечили бы уменьшение его износа, увеличение надежности эксплуатации, виброзащиты всего механизма или отдельных ее частей. Подобной задаче с раздаточным редуктором и посвящена данная работа. Модель раздаточного редуктора

(шестерня и два краевых подшипника на валу) показана на Рисунке 1. Описание колебательного процесса такого редуктора приводит к крутильным колебаниям механической системы с тремя степенями свободы – вала с тремя дисками (шестерни и двух подшипников), для которых приняты: Р к (к = 1; 3)- углы закручивания дисков (как обобщенные координаты для степеней свободы), 1_к(к = 1; 3) - моменты инерции дисков, c, , с ₂- коэффициенты жесткостей участков вала (Рисунок 2).

Рисунок 1. Раздаточный редуктор

Рисунок 2. Модель с тремя степенями свободы

Тогда крутильные колебания редуктора опишем стандартными приемами с помощью энергетического метода следующей системой дифференциальных уравнений [4-6]:

' d2p1

^l1~dt^~ с ^{1 (P 1 -P}2^{) = 0} ;

d2 фо 1'^ + с 1(Ф1

^- P 2 ) ^- с 2⁽ ф 2 ^- Ф 3 ) = ^0;

d2

<3~№⁺с 2(Р2-Рз) = 0.

Из системы (1) с учетом ее решений p_k = M_kcospt, в которых Мк(к = 1;3) -амплитуды, p - собственная частота крутильных колебаний, приходим к следующей системе, линейной относительно ненулевых М_к:

('1Р²М1 - с 1(М1 - М2) = 0;

{ '2Р2М2 + с 1(М1 - М2) - с2(М2 - М3) = 0;

I 'зР²Мз + с 2(М2-М₃) = 0.

В работе [6] получено частотное уравнение задачи в виде:

• ('1'2^ - (ci'3('i + '2) + C2'1('2 + '3))p2 + C1C2('1 + '2 + '3)) Р2 = 0.             (3)

Численные расчеты по уравнению (3) при различных физических характеристик раздаточного редуктора позволяют установить их влияние на значения частот его колебаний.

Пример:  определим частоты колебаний раздаточного редуктора при его характеристиках:

• с1 = 0,3 ■ 103Н/м, с2 = 0,34 ■ 103Н/м, '1 = 4,7кг • м2, /2 = 8,2кг ■ м2, '3 = 4,3кг ■ м2     (4)

Расчеты, проведенные с уравнением (3) с учетом (4) приводят к следующим значениям частот колебаний редуктора: p1 = 8,3814 с^-1 и р₂ = 12,2760 с^-1.

Покажем проведенные расчеты в пакете Maple [7]:

• >    restart; Digits:=20:

• >    with(LinearAlgebra):

> M:= Matrix(3, [[i1*p^2-c1, c1, 0], [c1, i2*p^2-c1-c2, c2], [0, c2, i3*p^2-c2]]):

• >    y:=Determinant(M):

• >    eq:=collect(y,p,distributed):

• >    c1:=0.3*10^3: c2:=0.34*10^3: i1:=4.7: i2:=8.2: i3:=4.3:

• >    eq: eq1:=eq:

> p:=fsolve(eq1,p);

p := -12.27600315, -8.381412884, 0., 0., 8.381412884, 12.27600315

> p1:=p[5]; p2:=p[6];

pl := 8.381412884 p2 := 12.2 7600315

Проведенные исследования по прямой задаче показывают, что при этом увеличения характеристик масс ведут к уменьшению значений частот колебаний, а увеличение характеристик жесткостей — к увеличению частот. Вышесказанное представим на Таблицах и графиках полученных зависимостей по численным расчетам из частотного уравнения с применением алгоритма в пакете Maple. В Таблицах 1 и 2, а также графиках Рисунка 3 даны зависимости первой p₁ и второй р₂ частот свободных крутильных колебаний раздаточного редуктора от меняющихся значений коэффициента с 1 жесткости участка вала от левого подшипника до шестерни (при остальных параметрах (4) механической системы).

Таблица 1

ЗАВИСИМОСТЬ ЧАСТОТ КОЛЕБАНИЙ p И p ОТ КОЭФФИЦИЕНТА ЖЕСТКОСТИ с

УЧАСТКА ВАЛА РЕДУКТОРА ПРИ НЕИЗМЕННЫХ ОСТАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРАХ (4)

Коэффициент жесткости, Н/м

Рисунок 3. Зависимость частот колебаний р₁ и р₂ от коэффициента жесткости с 1 участка вала редуктора при неизменных остальных параметрах (4)

Если в расчетах увеличивать одновременно значения коэффициентов жесткостей с 1 и с₂ участков вала между подшипниками и шестерней раздаточного редуктора, то значения обоих частот колебаний механизма также растут, но в более значительной степени.

В следующих Таблицах 2 и 3, а также графиках Рисунка 4 показаны зависимости частот колебаний раздаточного редуктора от меняющихся массовых значений, в частности от момента инерции массы левого подшипника редуктора (при остальных параметрах (4) механической системы).

ЗАВИСИМОСТЬ ЧАСТОТ КОЛЕБАНИЙ р1 И р₂ ОТ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ 11

МАССЫ ПОДШИПНИКА ПРИ НЕИЗМЕННЫХ ОСТАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРАХ (4)

Рисунок 4. Зависимость частот колебаний р1 и р₂ от момента инерции 1₂ массы шестерни при неизменных остальных параметрах (4)

Таблица 2

Исследования зависимостей частот колебаний раздаточного редуктора проведены и при одновременном увеличении моментов инерции масс и подшипников и шестерни механизма, что ведет к более резкому снижению частот колебаний, что подтверждает, например, следующая Таблица 4.

Таблица 4

ЗАВИСИМОСТЬ ЧАСТОТ КОЛЕБАНИЙ р1 И р₂ ОТ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ МАСС

ШЕСТЕРНИ И ПОДШИПНИКОВ ПРИ НЕИЗМЕННЫХ ОСТАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРАХ (4)

Отметим также, что аналогичные зависимости подтверждаются и при других значениях физических и геометрических характеристик раздаточного редуктора, отличных от параметров (4)

Проведены расчеты по влиянию характеристик редуктора на частоты его колебаний важно учитывать при решениях обратных спектральных задач, особо рассматривая алгоритмы сохранения безопасных частот колебаний механизма через определение соответствующих физических его параметров.

Влияние физических и геометрических характеристик раздаточного редуктора на значения частот его крутильных колебаний учитываются для подбора входных данных – расчетах необходимых и допустимых параметров механизма, например, не допускающих возникновения резонансных частот, приводящих к поломкам, износу механизма или к другим негативным проблемам.