Знаменитые точные решения уравнений общей теории относительности

• 1.    Общая теория относительности (ОТО), возможно, самая великая физическая теория, известная в настоящие время, естественно, ее 100-летие широко отмечалось во всем мире.

• 2.    Дальнейшее успешное развитие ОТО связано с нахождением двух уникальных точных решений уравнений Эйнштейна. Именно эти два решения кардинально изменили и существенно обогатили наши знания об окружающем мире.

Гениальность Эйнштейна, его потрясающая интуиция позволили ему связать гравитацию с кривизной пространства-времени и получить свои знаменитые уравнения ОТО:

R* 2 母 R =m 穹，                      ( 1 )

где1 R^ — тензор Риччи. R — скалярная кривизна.

Представляя 25 ноября 1915 года свою новую теорию гравитации - ОТО, Эйнштейн даже не задумывался над тем, можно ли получить точные решения, слишком сложной казалась сама теория. Его, в первую очередь, интересовала возможность ее экспериментального подтверждения и, следовательно, признания физическим обществом.

На основании приближенного решения уравнений ОТО Эйнштейн сделал расчет отклонения световых лучей в поле Солнца. После того, как в 1919 году экспедиция Эддингтона подтвердила расчеты Эйнштейна, началось триумфальное шествие ОТО не только в мире ученых.

А. Эйнштейн стал признанным гением.

О значимости в любой теории точных решений хорошо сказал Дж. Синг:

«В той сложной ситуации, которую мы перед собой имеем, точное решение уравнений поля гораздо предпочтительнее всяких приближений, причем даже точное математическое решение представляет собой лишь приближение к физической действительности, на большее не могла бы претендовать ни одна математическая формула » [3, стр. 168].

Первое из этих двух уникальных решений - это решение, полученное немецким астрономом -Карлом Шварцшильдом в 1916 году, практически одновременно с созданием ОТО. К. Шварцшильд получил его в госпитале, служа в это время в немецкой армии. Он прислал свою статью в письме к Эйнштейну с просьбой напечатать ее в журнале, что Эйнштейн и сделал.

Решение таких сложных уравнений (1) имело удивительно простой вид:

dS² = ( 1 - rg) dt² - ₁^drrg - r²dM, r_r

⑵

где¹ c = 1. da² = dӨ² + sin² Өd^². rg — гра.вптатцюпиып радиус.

Именно из этого решения можно получить и искривление лучей света гравитационным полем, и смещение перигелия, и многие другие эффекты, которые в настоящее время нашли свое экспериментальное подтверждение.

Все эти результаты были получены для случая r > Гд. При r = rg метрические коэффициенты решения (2) имеют особенность. Эта особенность является координатной и может быть устранена переходом к другой системе координат, например, гауссовой.

Глубокий физический смысл этой особенности (r = rg) был понят далеко не сразу.

Как известно, идея о возможности существования звезд, обладающих столь сильным гравитационным полем, таким что даже свет не может выйти за его пределы, была предложена Джоном Мичелом еще в 1723 году. Лаплас также обсуждал такую возможность в своем труде «Система Мира», однако, впоследствии, видно отказался от этой идеи, так как исключил упоминание о ней в последующих изданиях своего труда.

В своей работе «Внутреннее строение звезд» Эдингтон уже понял, как из существования предельной массы звезды вытекает наличие в природе черных дыр. Однако, с таким выводом он не согласился и написал следующие: ^Когда мы доказываем результат, не понимая его просто потому что он появился из лабиринта математических формул - нет оснований надеяться, что мы сможем его где-то применить^.

• А. Эйнштейн придерживался такой же точки зрения «Прекрасная физика, но отвратительная математикам - его слова.

• 3.    Второе решение, значение которого в развитии ОТО трудно переоценить, без которого ОТО не могла бы достигнуть таких замечательных результатов в объяснении свойств Вселенной, - это решение Фридмана.

Путь к пониманию физического смысла решения Шварцшильда был достаточно долог.

Чандрасекар и Ландау, независимо друг от друга, показали возможность гравитационного коллапса для звезд, масса которых превышает предельную массу (предел Чандрасекара). Однако, этот вывод не был принят физическим сообществом. Даже после работы Опенгеймера (1939 г.), в которой он на основании решения Шварцшильда показал неизбежность гравитационного коллапса, то есть неизбежность существования черных дыр, ситуация, в целом, осталась такой же.

Причиной этого, в первую очередь, явилась невозможность наблюдения ни одного из предсказанных эффектов из-за недостаточно высоких технических возможностей того времени. Война, также, существенно замедлила развитие научных исследований в этой области.

• А. А. Фридман получил свое уникальное решение в 1922 году.

К этому времени в космологии все еще считалось, что Вселенная вечна и неизменна. Сейчас кажется даже удивительным тот факт, что никто из величайших умов человечества не задумывался над возможным изменением Вселенной во времени, то есть о возможном развитии Вселенной. Хокинг считает, что, возможно, это объясняется склонностью людей верить в «вечные истины».

В Ньютоновой теории тяготения модель статической бесконечной Вселенной вызывала серьезные возражения, главное из которых - известный парадокс Ольберса.

Казалось, что проблема возможности существования статической Вселенной полностью решена самим Эйнштейном. В 1917 году Эйнштейн построил на основе ОТО статическую замкнутую модель Вселенной.

Интересно, что при построении своей модели Эйнштейну пришлось ввести новою постоянную, которую он назвал космологической постоянной. Позже он считал это своей ошибкой. Сейчас мы понимаем, что это не ошибка, а предвидение гения.

Простая и элегантная модель Вселенной Эйнштейна, казалось, решила все вопросы. В 1919 году экспедиция А. Эддингтона подтвердила, предсказанное ОТО, искривление лучей света полем Солнца. С доклада Эддингтона в ноябре 1919 года начался триумф ОТО и самого А. Эйнштейна.

И в таких условиях А. Фридман работает над моделью Вселенной, развивающейся во времени. Это уже был вызов общепринятым представлениям космологов.

Первая работа Фридмана «О кривизне пространства», посвященная построению не статической модели Вселенной опубликована в 1922 году. В ней предполагается, что Вселенная однородна, изотропна и замкнута, то есть интервал выбирается в виде:

dS2 = dt2 - a2 (t) (dx2 + sin2 x"a2) ■

⑶

Для масштабного фактора a2 (t) Фридман получил свое знаменитое уравнение:

а2     1

02 + 02

8пү    、 в ё +人

⑷

где1 е — плотность 'Әпергіш. А — космологическая постоянная.

Фридман учел в своем уравнении (4) космологическую постоянную для того, чтобы его решение включало в себя в качестве частных случаев не только решение Эйнштейна, но и решение де Ситтера.

Результат Фридмана был настолько неожиданным, что Эйншейн вначале не принял его и даже написал небольшую заметку в журнал, опубликовавший статью Фридмана, в которой отрицал возможность существования «нестационарного мира».

Как известно, после того как Ю. А. Крутков по просьбе А. Фридмана привез Эйнштейну подробный вывод уравнений, описывающий нестационарный мир - то есть уравнений Фридмана, Эйнштейн признал, что уравнения ОТО «допускают наряду со статическими также динамические центрально-симметричные решения » [5].

Статья А. Фридмана «О кривизне пространства» написана достаточно ясно и последовательно. Безусловно, А. Эйнштейн прекрасно бы все понял, если бы захотел ее прочитать. Однако, он считал мир неизменным и поэтому предположил, что А. Фридман в своих вычислениях ошибся.

• А. Фридман проложил путь к построению сферически-симметричных однородных и изотропных нестатических космологических моделей. После его статьи 1922 года построить две другие модели такого типа (то есть модель с пространством Лобачевского и с плоским пространством) не представляло особого труда. Однако, никто этим не заинтересовался, что также свидетельствует о том, насколько революционна и неожиданная была идея Фридмана. В 1924 году А. Фридман написал еще одну работу по космологии «О возможности мира с постоянной отрицательной кривизной пространства». В этой работе он построил однородную и изотропную космологическую модель с пространством Лобачевского:

dS2 = dt2 - a2 (t) (dx2 + sh2xd^2) , (5) то есть показал возможность существования не только замкнутого мира, но и открытого, который бесконечно расширяется.

Работы А. Фридмана не вызвали должного интереса, так как идея расширяющейся Вселенной была чужда большинству физиков, тем более, что эта идея не подтверждалась астрономическими наблюдениями. Исследование спектров звезд других галактик только начиналось.

В 1928 году Эдвин Хаббл опубликовал статью, в которой показал, что у большей части галактик спектры смещаются в красную сторону. Это значит, что галактики удаляются от нас, то есть Вселенная расширяется. Причем величина красного смещения пропорциональна расстоянию до галактики. Именно такой процесс расширения следует из модели Фридмана, так что можно считать, что уже в 1929 году модель Вселенной Фридмана была подтверждена наблюдениями. Однако, ни наблюдения Хаббла, ни значимый вклад Ж. Леметра в теорию расширяющейся Вселенной, в корне не изменили ситуацию.

Даже после замечательной работы Г. Гамова (1948 г.), который на основании уравнений Фридмана, построил модель Вселенной, как модель Большого Взрыва и вычислил современную температуру Вселенной, модель расширяющейся Вселенной не стала общепринятой. Достаточно популярны были другие модели, например, модель стационарной Вселенной Ф. Хойла и модель Я. Зельдовича.

Оба они, и К. Шварцшильд, и А. Фридман, принимали участие в 1-ой Мировой войне. Оба опубликовали только по две работы, посвященные ОТО. Жизнь и К. Шварцшильда и А. Фридмана прервалась в самом расцвете творческих сил. К. Шварцшильд опубликовал две свои работы, посвященные ОТО в 1916 году, и в этом же году его не стало.

• А. Фридман опубликовал свои работы по ОТО в 1922 и 1924 годах, а в 1925 году его жизнь закончилась.

• 5. Глубокий физический смысл как решения Шварцшильда, так и решений Фридмана был понят далеко не сразу. Понимания глубины и значимости этих замечательных решений началось с 60-х годов ХХ-го века.

Экспериментальные возможности стали таковыми, что можно было проверить теорию горячей Вселенной Гамова, основанную на модели Фридмана. Дикке и Пиблс планировали поставить эксперимент по обнаружению реликтового излучения. Однако, в 1965 году его случайно обнаружили Пензиас и Вильсон, и этим подтвердили теорию Фридмана.

Начался золотой век ОТО. Космологией стало заниматься престижно. Естественно, этому способствовали экспериментальные возможности.

В настоящие время имеется стандартная космологическая модель, которая описывает как эволюцию Вселенной в целом, так и образование её крупномасштабной структуры. Эта модель Вселенной подтверждается данными наблюдений. Была обнаружена, предсказанная теоретиками, анизотропия реликтового излучения (Д. Мазер, Д. Смут, 2006 г.), было обнаружено ускоренное расширение Вселенной (С. Перлмуттер, Б. Шмидт, А. Рисе, 2011 г.), для объяснения которого в решении Фридмана нужно учитывать космологическую постоянную, то есть выбрать уравнение таким, каким его первоначально предложил А. Фридман.

Благодаря работам выдающихся ученых, таких как Уилер, Торн, Зельдович, Новиков, Керр, Пенроуз, Хокинг и многих других, черные дыры превратились из математической абстракции в реальный объект, они стали такой же реальной частью Вселенной, как звезды и планеты. Мы понимаем неизбежность черных дыр с одинаковой массой, моментом и зарядом, знаем, что черные дыры обладают энтропией и температурой. Роль черных дыр во Вселенной весьма значительна. В центре нашей Галактики и многих других находятся черная дыра. Обнаруженные недавно гравитационные волны являются следствием слияния черных дыр.

Конечно, нерешенных проблем достаточно и, несомненно, в будущем нас ждут интереснейшие открытия, но сейчас мы можем сказать, что современная космология представляет собой один из самых больших успехов ОТО и всей современной науки, а в основе этих успехов лежат две математические драгоценности ОТО - решение Шварцшильда и решение Фридмана.