Зоны устойчивости для медленно меняющихся весов, используемых в теории ультрадифференцируемых функций

• 1.    Постановка задачи и формулировка основных результатов

Весом или весовой функцией называется [1] непрерывная неубывающая на [0, го ) функция ш : [0, го ) ^ [0, го ), ш(1) = 0, для которой выполнены следующие условия:

• (а) ш(2t) = O(ш(t)) при t ^ го ; (в) R y^t) dt <  го ;

(Y) ln(t) = o(ш(t)) при t ^ го ;     (5) ^ _ш (x) := ш(е ^х ) выпукла на [0, го ).

Совокупность всех весов обозначим через W.

Вес ш называется [2] строгим, если имеется такое K > 1, что ш(Kt)

lim sup —< K, t ^tt ^{ш ( t )}

и нестрогим — в противном случае. Строгость веса — необходимое и достаточное условие справедливости аналогов теорем Бореля и Уитни о продолжении для пространств ультрадифференцируемых функций Берлинга и Румье максимального и минимального типов, им (весом) задаваемых (см. [2–6]).

В [7] и [8] было установлено, что в случае пространств Берлинга и Румье нормального типа, соответствующих данному весу ω , аналог теоремы Бореля верен тогда и только тогда, когда ω медленно меняется, то есть когда lim t→∞

ш(2t) ш№

=1

(изложение общей теории медленно меняющихся функций имеется в [9]). Символом SV обозначим множество всех медленно меняющихся весов.

В [3] отмечено, что всякий вес ω, для которого

_       In ш(t)

• t y := limsup        = 1,

t ^ro ^ln t

(° 2008 Абанин А. В., Фам Чонг Тиен является нестрогим (всегда t^ 6 1). При этом, если t^ < 1, то существует такой строгий вес ст, что ш(t) = o(CT(t)) при t ^ го (например, CT(t) = tp, где t^ < р < 1). С другой стороны, в [10] доказано, что если rω

Т        ш(€)

lim sup —2“ < го , t^^ ln t то ш — строгая весовая функция. Если же гш = го, то имеется такой нестрогий вес ст, что CT(t) 6 ш(t) при всех t.

Таким образом, в [3] и [10] были найдены зоны устойчивой нестрогости и строгости, соответственно, которые нельзя расширить относительно степени роста на бесконечности входящих в них весов. В следующих двух теоремах, составляющих основное содержание настоящей работы, содержится описание аналогичных зон в случае медленно меняющихся весов.

Теорема 1. Справедливы следующие утверждения:

• (1)    Всякий вес ш, для которого г _ш <  го , является медленно меняющимся.

• (2)    Если г _ш = го , то существует такой вес ст / SV, что CT(t) 6 ш(t) при всех t.

Теорема 2. Справедливы следующие утверждения:

• (1)    Всякий вес ш, для которого t ^ > 0, не является медленно меняющимся.

• (2)    Если t ^ = 0, то имеется медленно меняющийся вес ст, для которого ш(t) 6 CT(t) при всех t >  0 и ш(t) = o(CT(t)) при t ^ го .

• 2. Вспомогательные результаты

Из теоремы 1 следует, что зона устойчивой строгости совпадает с зоной устойчивого медленного изменения. Поэтому утверждение (1) этой теоремы представляет собой уточнение теоремы 1 из [10]. Смысл теорем 1 и 2 можно интерпретировать следующим образом. Положим

ZV + := { ш G W : г _ш <  го} ,

ZV- := {ш G W : t^ > 0} и введем в классе всех весов естественный частичный порядок, считая, что ш 6 ст (или ст > ш), если ш(t) 6 CT(t) при всех t > 0. Тогда зона ZV+ (соответственно ZV-) является непрерывной, относительно порядка 6, зоной весов, являющихся (не являющихся) медленно меняющимися, и эту зону нельзя расширить. Именно, ZV. (ZV-) обладает тем свойством, что если ш G ZV. (ш G ZV-) и ст 6 ш (соответственно ш 6 ст), то ст G ZV. (ст G ZV-). При этом, если ш / ZV. (ш / ZV—), то имеется такой вес ст, не являющийся (являющийся) медленно меняющимся, что ст 6 ш ( ш 6 ст ); более того, в теореме 2 функцию ст можно выбрать так, чтобы ш(t) = o(CT(t)) при t ^ го.

Отметим, что доказательства первых утверждений теорем 1 и 2 мы проводим отличным от [10] методом, основанном на применении обобщенного правила Лопиталя и его обращения.

В этом параграфе приводятся необходимые для доказательства теорем 1 и 2 сведения и результаты.

Будем называть функцию ϕ _ω ассоциированным с ω ∈ W весом. Совокупность всех ассоциированных весов обозначим через AW . Ясно, что класс AW совпадает с множеством тех выпуклых неубывающих на [0, го ) функций у : [0, го ) ^ [0, го ), для которых

^(0) = 0 и выполнены условия:

(a⁰) ^(x+1) = O(^(x)) при x ^ го ;

∞

(в0) / ^x dx <  го e ^x

(Y 0 ) x = o(^(x)) при x ^ го .

Заметим, что ω является медленно меняющимся весом в том и только в том случае, когда

^ш (x + 1) lim x^“ ^ш (x)

а для характеристик r _ω и t _ω верны формулы

• r„ = limsup ^; t„ =llmsupln *" ' .(1)

x→∞ x

Следующая лемма позволяет в исследуемых нами вопросах считать рассматриваемые веса бесконечно дифференцируемыми.

Лемма 1. Для любой функции ϕ из класса AW имеется такая бесконечно дифференцируемая функция ψ из того же класса, что

^(x) 6 ^(x) 6 ^(x + 1) при всех x >  0 .

• <1 Используем стандартную процедуру свертки у с подходящей функцией с компактным носителем. Именно, возьмем функцию х из пространства C “ (R) всех бесконечно дифференцируемых на R функций, для которой x(t) >  0 всюду на R, x(t) = 0 при | t | >  1 ^и R r X ^{( t ) dt} = 1.

Пусть n(t) := 6x(6t — 2). Тогда n E C “ (R), n(t) >  0 на R, n(t) = 0 вне (1/6,1/2) C [0,1] и Jr n(t) dt = 1. Продолжим ^ на всю вещественную прямую, приняв, что ^(x) = 0 для x < 0, и положим при любом x E R

^(x) := j(^(x + t) — ^(t))n(t) dt = j ^(t)n(t - x) dt — j ^(t)n(t) dt • R   RR

Ясно, что ^(0) = 0, ^ не убывает на [0, го ) и ^ E C “ (R). Далее, из выпуклости у на R следует, что ^ также выпукла на R. Кроме того, по той же причине ^(x) + ^(t) 6 ^(x +1) при всех x, t >  0, и поэтому при всех x >  0 имеем

^(x) = У

⁽ ^ ^{( x +}

t) — ^(t))n(t) dt >

R

У ^(x)n(t) dt = ^(x) .

С другой стороны, при всех x >  0 выполняется

^(x) = У

Mx +

t) — ^(t))n(t) dt 6

У ^(x + 1)n(t) dt = ^(x + 1) .

Итак, ψ удовлетворяет условию (2), из которого к тому же следует, что ψ — ассоциированный вес. B

Лемма 2. Пусть функции f и g дифференцируемы на (a, го), g0(x) = 0 на (a, го) и lim f(x) = lim g(x) = го. Тогда x→∞     x→∞ r    f f0(x)/r ■ ff (x)/r       f(x)/i-       f0(x)

lim inf 6 lim inf 6 lim sup 6 lim sup . x^“ g⁰(x)     x^“ g(x)     x^“ g(x)     x^“ g⁰(x)

Лемма 3. Пусть f и g — неубывающие выпуклые на (а, го ) функции. Предполо

жим, что g непрерывно дифференцируема на (а, го ), g 0 (x) ^ го при

x

г „ 1 ■ f g(t) lim sup —— ini--- x^^ g0(x) t>x t - x

→ ∞ и β g

< ∞ . Тогда справедливы импликации

г    f (x)    n . г    f0(x)    n г        f (x) /       ' 1-        f0(x) / lim = 0 =^ lim = 0 ; lim sup < го =^ lim sup      < го , x ^ g(x)          x x g0(x)             x^^ g(x)             x^^ g0(x)

где под f 0 (x) понимается правая производная f в точке x.

Лемма 2 — не что иное, как хорошо известное правило Лопиталя в обобщенной форме, а лемма 3 — один из вариантов его обращения, установленный в теореме 2 из [11] в несколько более сильной форме (см. также следствие 2 теоремы 2 из [12]; в некоторых конкретных случаях, связанных со сравнением роста максимального члена и максимума модуля целых функций, обращение правила Лопиталя использовалось ранее Ю. Ф. Коробейником в [13]).

3. Доказательство теоремы 1

C (1): Пусть r ω <  ∞ . По лемме 1 найдем бесконечно дифференцируемую функцию ψ из AW , для которой

Л _ш (x) 6 ^(x) 6 ^ ш (x + 1) при всех x >  0.

Отсюда и из (2) следует, что

^(x)

lim sup ——- = lim sup-—

22-Д x→∞ x

= г _ш <  го .

Тогда, так как функция g(x) = x ² выпукла на (0, го ) и в д = 2, то по лемме 3, примененной к ψ , имеем, что

lim sup ■     <  го .

x→∞ x

Использовав неубывание и выпуклость функции ψ, а затем условие (γ0) для ψ , заключаем

отсюда, что

₀ 6 ^(x + 1) - ^(x) ^(x)

^^{0 ( x +} 1)

6 --——--» 0 при x ^ го .

W)

Поэтому lim x→∞

^(x+1) ^(x)

= 1. А тогда в силу (3)

^ ш ^{( x + 1)}    ..

^lim----- = ^{1 ,} x^ro ^ ш (x)

и, значит, ω — медленно меняющаяся функция.

(2): Если г _ш = го , то, как установлено в теореме 2 из [10], существует такой нестрогий вес а, что a(t) 6 ^(t) при всех t. Так как всякий нестрогий вес не является медленно меняющимся, то этот же вес удовлетворяет утверждению (2) теоремы 1. B

Отметим, что пункт (1) теоремы 1 можно было доказать, использовав незначительное уточнение рассуждений, приведенных в доказательстве теоремы 1 из [10].

4. Доказательство теоремы 2

<1 (1): Пусть t _ш > 0. Как и выше, возьмем бесконечно дифференцируемую функцию ψ из AW , для которой выполняется (3). Тогда из леммы 2 и (3) следует, что

v       ^{ф0 ( x )}

lim sup x .^ ф(x)

= limsup(lnф(x))⁰ >  limsup ^^{Ф( x )}

x→∞

x→∞ x

= lim sup 'n x = t x→∞    x

ω ^.

В силу выпуклости ф имеем, что ф(x + 1) — ф(x) >  ф 0 (x) при всех x. Поэтому, еще раз применив (3), получаем, что

Уш(x ■ 2) lim sup----——— > lim sup x→∞   Уш (x)     x→∞

ф(x +1)        _       ф0(x)

—    ⁷ >  1 + lim sup ,    >  1 + t ш > 1.

^{ф ( x )}           x→∞ ^{ф ( x )}

У ш (x + 1)

Отсюда, очевидно, следует, что lim ^x ^^ У ш (x)

> 1, и, значит, ш не является медленно

меняющейся.

(2): Пусть t _ш = 0. Зафиксируем произвольную последовательность (А _п ) П=1 , для которой A 1 < 1 и A n ^ 0. Из равенства t _ш = 0 следует, что имеется такая последовательность (x _n ) n=₁ , что x n+₁ > x n + 1 и у _ш (x) 6 e ^{A n} x при всех x >  x n (n Е N). Пусть

A n := e ^A n ^{X n +i}

-

e A n+i x n+i (n е n ) . Заметим, что A n > о при всех n е N. Положим

ф(x) := <

eAi x n—1 eAnx + E Ai i=1

при x Е [0, x ₂ ),

при x Е [x n ,x n₊₁ ) и n >  2.

Ясно, что ψ не убывает и непрерывна на

Далее, если x n 6 x < x + 1 6 x _{n +1} , то

[0, го ).

ф(x + 1) — ф(x) 6 e

. A n (x+1)

-

e ^{λ n x}

Ф(x)

а если x n < x 6 x _{n +1} < x + 1, то

e ^{λ n x}

= e ^{A n}

— 1,

Поэтому

ф(x + 1) — ф(x) 6

e ^A n+i ^(x+1) + _{Д п}

-

e λ n x

ФМ

e λ _n x

6 e ^{A n}

+ e ^{A n +i} — 2 .

ф(x + 1)

^lim — = ¹ • x^^ Ф(x)

Положим Ф(x) := Jx ф(t) dt. Очевидно, что Ф(0) = 0, Ф возрастает и дифференцируема на [0, го ). При этом Ф⁰(x) = ф(x) не убывает на (0, го ), и, значит, функция Ф выпукла на [0, го ).

_e A i x

По построению ф(t) 6 e ^{A 1 t} на [0, го ), и, следовательно, Ф(x) 6 —;— при всех x >  0.

A 1

Отсюда получаем, что Ф удовлетворяет условию (в 0 ). Кроме того, так как ф(x) >  у _ш (x) при x >  x i , то lim Ф⁰(x) = lim ф(x) = го , а тогда и lim —= го . Поэтому для Ф

x→∞

x→∞

x→∞ x

имеет место условие ( y 0 ). Наконец, применив правило Лопиталя и воспользовавшись (4), имеем

lim " . ⁺, 1) = lim ^{Ф (} x + 1) = 1, x^^ ф(x)     x^^ ф(x)

откуда, очевидно, следует, что Ф удовлетворяет условию (а0).

Положим CT o (t) := Ф(1п + t), где ln + t := max(0, Int) при t >  0. Тогда из сказанного выше заключаем, что σ 0 является медленно меняющимся весом. Кроме того, по построению ^ получаем, что ф _ш (x) 6 e ^x n x 6 ^(x) при x G [x _n , x n+1 ) (n G N). А из выпуклости Ф и (5) имеем

^(x)          Ф ⁰ (x)

11Ш ---- = 11Ш ---- х-^оо Ф(x) х-^оо Ф(x)

• 6 1 im ^Ф + - ^Ф =0.

х -^       Ф(x)

Следовательно, ^ _ш (x) = o(Ф(x)) при x ^ го , то есть ш(t) = o(a o (t)) при t ^ го . Подберем T >  1 так, чтобы ш(t) 6 ^ o (t) при всех t >  T, и положим a(t) := ff o (T ) iln-T при 0 6 t 6 T и a(t) := Oo(t) при t > T . Тогда ст обладает теми же свойствами, что и oq и при этом ш 6 ст. B