Зоны устойчивости для медленно меняющихся весов, используемых в теории ультрадифференцируемых функций
Автор: Абанин Александр Васильевич, Фам Чонг Тиен
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 2 т.10, 2008 года.
Бесплатный доступ
На шкале весов, используемых в теории ультрадифференцируемых функций, найдены две зоны, в первой из которых каждый меньший вес является медленно меняющимся, а во второй --- каждый больший вес таковым не будет. Установлено, что их нельзя расширить без потери указанных свойств. Данные зоны непосредственным образом связаны с наличием или отсутствием аналога теоремы Бореля о продолжении для пространств ультрадифференцируемых функций Берлинга и Румье нормального типа.
Ультрадифференцируемые функции, теорема бореля о продолжении
Короткий адрес: https://sciup.org/14318240
IDR: 14318240
Текст научной статьи Зоны устойчивости для медленно меняющихся весов, используемых в теории ультрадифференцируемых функций
-
1. Постановка задачи и формулировка основных результатов
Весом или весовой функцией называется [1] непрерывная неубывающая на [0, го ) функция ш : [0, го ) ^ [0, го ), ш(1) = 0, для которой выполнены следующие условия:
-
(а) ш(2t) = O(ш(t)) при t ^ го ; (в) R y^t) dt < го ;
(Y) ln(t) = o(ш(t)) при t ^ го ; (5) ^ ш (x) := ш(е х ) выпукла на [0, го ).
Совокупность всех весов обозначим через W.
Вес ш называется [2] строгим, если имеется такое K > 1, что ш(Kt)
lim sup —< K, t ^tt ш ( t )
и нестрогим — в противном случае. Строгость веса — необходимое и достаточное условие справедливости аналогов теорем Бореля и Уитни о продолжении для пространств ультрадифференцируемых функций Берлинга и Румье максимального и минимального типов, им (весом) задаваемых (см. [2–6]).
В [7] и [8] было установлено, что в случае пространств Берлинга и Румье нормального типа, соответствующих данному весу ω , аналог теоремы Бореля верен тогда и только тогда, когда ω медленно меняется, то есть когда lim t→∞
ш(2t) ш№
=1
(изложение общей теории медленно меняющихся функций имеется в [9]). Символом SV обозначим множество всех медленно меняющихся весов.
В [3] отмечено, что всякий вес ω, для которого
_ In ш(t)
-
t y := limsup = 1,
t ^ro ln t
(° 2008 Абанин А. В., Фам Чонг Тиен является нестрогим (всегда t^ 6 1). При этом, если t^ < 1, то существует такой строгий вес ст, что ш(t) = o(CT(t)) при t ^ го (например, CT(t) = tp, где t^ < р < 1). С другой стороны, в [10] доказано, что если rω
Т ш(€)
lim sup —2“ < го , t^^ ln t то ш — строгая весовая функция. Если же гш = го, то имеется такой нестрогий вес ст, что CT(t) 6 ш(t) при всех t.
Таким образом, в [3] и [10] были найдены зоны устойчивой нестрогости и строгости, соответственно, которые нельзя расширить относительно степени роста на бесконечности входящих в них весов. В следующих двух теоремах, составляющих основное содержание настоящей работы, содержится описание аналогичных зон в случае медленно меняющихся весов.
Теорема 1. Справедливы следующие утверждения:
-
(1) Всякий вес ш, для которого г ш < го , является медленно меняющимся.
-
(2) Если г ш = го , то существует такой вес ст / SV, что CT(t) 6 ш(t) при всех t.
Теорема 2. Справедливы следующие утверждения:
-
(1) Всякий вес ш, для которого t ^ > 0, не является медленно меняющимся.
-
(2) Если t ^ = 0, то имеется медленно меняющийся вес ст, для которого ш(t) 6 CT(t) при всех t > 0 и ш(t) = o(CT(t)) при t ^ го .
-
2. Вспомогательные результаты
Из теоремы 1 следует, что зона устойчивой строгости совпадает с зоной устойчивого медленного изменения. Поэтому утверждение (1) этой теоремы представляет собой уточнение теоремы 1 из [10]. Смысл теорем 1 и 2 можно интерпретировать следующим образом. Положим
ZV + := { ш G W : г ш < го} ,
ZV- := {ш G W : t^ > 0} и введем в классе всех весов естественный частичный порядок, считая, что ш 6 ст (или ст > ш), если ш(t) 6 CT(t) при всех t > 0. Тогда зона ZV+ (соответственно ZV-) является непрерывной, относительно порядка 6, зоной весов, являющихся (не являющихся) медленно меняющимися, и эту зону нельзя расширить. Именно, ZV. (ZV-) обладает тем свойством, что если ш G ZV. (ш G ZV-) и ст 6 ш (соответственно ш 6 ст), то ст G ZV. (ст G ZV-). При этом, если ш / ZV. (ш / ZV—), то имеется такой вес ст, не являющийся (являющийся) медленно меняющимся, что ст 6 ш ( ш 6 ст ); более того, в теореме 2 функцию ст можно выбрать так, чтобы ш(t) = o(CT(t)) при t ^ го.
Отметим, что доказательства первых утверждений теорем 1 и 2 мы проводим отличным от [10] методом, основанном на применении обобщенного правила Лопиталя и его обращения.
В этом параграфе приводятся необходимые для доказательства теорем 1 и 2 сведения и результаты.
Будем называть функцию ϕ ω ассоциированным с ω ∈ W весом. Совокупность всех ассоциированных весов обозначим через AW . Ясно, что класс AW совпадает с множеством тех выпуклых неубывающих на [0, го ) функций у : [0, го ) ^ [0, го ), для которых
^(0) = 0 и выполнены условия:
(a0) ^(x+1) = O(^(x)) при x ^ го ;
∞
(в0) / ^x dx < го e x
(Y 0 ) x = o(^(x)) при x ^ го .
Заметим, что ω является медленно меняющимся весом в том и только в том случае, когда
^ш (x + 1) lim x^“ ^ш (x)
а для характеристик r ω и t ω верны формулы
-
r„ = limsup ^; t„ =llmsupln *" ' .(1)
x→∞ x
Следующая лемма позволяет в исследуемых нами вопросах считать рассматриваемые веса бесконечно дифференцируемыми.
Лемма 1. Для любой функции ϕ из класса AW имеется такая бесконечно дифференцируемая функция ψ из того же класса, что
^(x) 6 ^(x) 6 ^(x + 1) при всех x > 0 .
-
<1 Используем стандартную процедуру свертки у с подходящей функцией с компактным носителем. Именно, возьмем функцию х из пространства C “ (R) всех бесконечно дифференцируемых на R функций, для которой x(t) > 0 всюду на R, x(t) = 0 при | t | > 1 и R r X ( t ) dt = 1.
Пусть n(t) := 6x(6t — 2). Тогда n E C “ (R), n(t) > 0 на R, n(t) = 0 вне (1/6,1/2) C [0,1] и Jr n(t) dt = 1. Продолжим ^ на всю вещественную прямую, приняв, что ^(x) = 0 для x < 0, и положим при любом x E R
^(x) := j(^(x + t) — ^(t))n(t) dt = j ^(t)n(t - x) dt — j ^(t)n(t) dt • R RR
Ясно, что ^(0) = 0, ^ не убывает на [0, го ) и ^ E C “ (R). Далее, из выпуклости у на R следует, что ^ также выпукла на R. Кроме того, по той же причине ^(x) + ^(t) 6 ^(x +1) при всех x, t > 0, и поэтому при всех x > 0 имеем
^(x) = У
( ^ ( x +
t) — ^(t))n(t) dt >
R
У ^(x)n(t) dt = ^(x) .
С другой стороны, при всех x > 0 выполняется
^(x) = У
Mx +
t) — ^(t))n(t) dt 6
У ^(x + 1)n(t) dt = ^(x + 1) .
Итак, ψ удовлетворяет условию (2), из которого к тому же следует, что ψ — ассоциированный вес. B
Лемма 2. Пусть функции f и g дифференцируемы на (a, го), g0(x) = 0 на (a, го) и lim f(x) = lim g(x) = го. Тогда x→∞ x→∞ r f f0(x)/r ■ ff (x)/r f(x)/i- f0(x)
lim inf 6 lim inf 6 lim sup 6 lim sup . x^“ g0(x) x^“ g(x) x^“ g(x) x^“ g0(x)
Лемма 3. Пусть f и g — неубывающие выпуклые на (а, го ) функции. Предполо
жим, что g непрерывно дифференцируема на (а, го ), g 0 (x) ^ го при
x
г „ 1 ■ f g(t) lim sup —— ini--- x^^ g0(x) t>x t - x
→ ∞ и β g
< ∞ . Тогда справедливы импликации
г f (x) n . г f0(x) n г f (x) / ' 1- f0(x) / lim = 0 =^ lim = 0 ; lim sup < го =^ lim sup < го , x ^ g(x) x x g0(x) x^^ g(x) x^^ g0(x)
где под f 0 (x) понимается правая производная f в точке x.
Лемма 2 — не что иное, как хорошо известное правило Лопиталя в обобщенной форме, а лемма 3 — один из вариантов его обращения, установленный в теореме 2 из [11] в несколько более сильной форме (см. также следствие 2 теоремы 2 из [12]; в некоторых конкретных случаях, связанных со сравнением роста максимального члена и максимума модуля целых функций, обращение правила Лопиталя использовалось ранее Ю. Ф. Коробейником в [13]).
3. Доказательство теоремы 1
C (1): Пусть r ω < ∞ . По лемме 1 найдем бесконечно дифференцируемую функцию ψ из AW , для которой
Л ш (x) 6 ^(x) 6 ^ ш (x + 1) при всех x > 0.
Отсюда и из (2) следует, что
^(x)
lim sup ——- = lim sup-—
22-Д x→∞ x
= г ш < го .
Тогда, так как функция g(x) = x 2 выпукла на (0, го ) и в д = 2, то по лемме 3, примененной к ψ , имеем, что
lim sup ■ < го .
x→∞ x
Использовав неубывание и выпуклость функции ψ, а затем условие (γ0) для ψ , заключаем
отсюда, что
0 6 ^(x + 1) - ^(x) ^(x)
^0 ( x + 1)
6 --——--» 0 при x ^ го .
W)
Поэтому lim x→∞
^(x+1) ^(x)
= 1. А тогда в силу (3)
^ ш ( x + 1) ..
lim----- = 1 , x^ro ^ ш (x)
и, значит, ω — медленно меняющаяся функция.
(2): Если г ш = го , то, как установлено в теореме 2 из [10], существует такой нестрогий вес а, что a(t) 6 ^(t) при всех t. Так как всякий нестрогий вес не является медленно меняющимся, то этот же вес удовлетворяет утверждению (2) теоремы 1. B
Отметим, что пункт (1) теоремы 1 можно было доказать, использовав незначительное уточнение рассуждений, приведенных в доказательстве теоремы 1 из [10].
4. Доказательство теоремы 2
<1 (1): Пусть t ш > 0. Как и выше, возьмем бесконечно дифференцируемую функцию ψ из AW , для которой выполняется (3). Тогда из леммы 2 и (3) следует, что
v ф0 ( x )
lim sup x .^ ф(x)
= limsup(lnф(x))0 > limsup ^Ф( x )
x→∞
x→∞ x
= lim sup 'n x = t x→∞ x
ω .
В силу выпуклости ф имеем, что ф(x + 1) — ф(x) > ф 0 (x) при всех x. Поэтому, еще раз применив (3), получаем, что
Уш(x ■ 2) lim sup----——— > lim sup x→∞ Уш (x) x→∞
ф(x +1) _ ф0(x)
— 7 > 1 + lim sup , > 1 + t ш > 1.
ф ( x ) x→∞ ф ( x )
У ш (x + 1)
Отсюда, очевидно, следует, что lim x ^^ У ш (x)
> 1, и, значит, ш не является медленно
меняющейся.
(2): Пусть t ш = 0. Зафиксируем произвольную последовательность (А п ) П=1 , для которой A 1 < 1 и A n ^ 0. Из равенства t ш = 0 следует, что имеется такая последовательность (x n ) n=1 , что x n+1 > x n + 1 и у ш (x) 6 e A n x при всех x > x n (n Е N). Пусть
A n := e A n X n +i
-
e A n+i x n+i (n е n ) . Заметим, что A n > о при всех n е N. Положим
ф(x) := <
eAi x n—1 eAnx + E Ai i=1
при x Е [0, x 2 ),
при x Е [x n ,x n+1 ) и n > 2.
Ясно, что ψ не убывает и непрерывна на
Далее, если x n 6 x < x + 1 6 x n +1 , то
[0, го ).
ф(x + 1) — ф(x) 6 e
. A n (x+1)
-
e λ n x
Ф(x)
а если x n < x 6 x n +1 < x + 1, то
e λ n x
= e A n
— 1,
Поэтому
ф(x + 1) — ф(x) 6
e A n+i (x+1) + Д п
-
e λ n x
ФМ
e λ n x
6 e A n
+ e A n +i — 2 .
ф(x + 1)
lim — = 1 • x^^ Ф(x)
Положим Ф(x) := Jx ф(t) dt. Очевидно, что Ф(0) = 0, Ф возрастает и дифференцируема на [0, го ). При этом Ф0(x) = ф(x) не убывает на (0, го ), и, значит, функция Ф выпукла на [0, го ).
e A i x
По построению ф(t) 6 e A 1 t на [0, го ), и, следовательно, Ф(x) 6 —;— при всех x > 0.
A 1
Отсюда получаем, что Ф удовлетворяет условию (в 0 ). Кроме того, так как ф(x) > у ш (x) при x > x i , то lim Ф0(x) = lim ф(x) = го , а тогда и lim —= го . Поэтому для Ф
x→∞
x→∞
x→∞ x
имеет место условие ( y 0 ). Наконец, применив правило Лопиталя и воспользовавшись (4), имеем
lim " . +, 1) = lim Ф ( x + 1) = 1, x^^ ф(x) x^^ ф(x)
откуда, очевидно, следует, что Ф удовлетворяет условию (а0).
Положим CT o (t) := Ф(1п + t), где ln + t := max(0, Int) при t > 0. Тогда из сказанного выше заключаем, что σ 0 является медленно меняющимся весом. Кроме того, по построению ^ получаем, что ф ш (x) 6 e x n x 6 ^(x) при x G [x n , x n+1 ) (n G N). А из выпуклости Ф и (5) имеем
^(x) Ф 0 (x)
11Ш ---- = 11Ш ---- х-^оо Ф(x) х-^оо Ф(x)
-
6 1 im Ф + - Ф =0.
х -^ Ф(x)
Следовательно, ^ ш (x) = o(Ф(x)) при x ^ го , то есть ш(t) = o(a o (t)) при t ^ го . Подберем T > 1 так, чтобы ш(t) 6 ^ o (t) при всех t > T, и положим a(t) := ff o (T ) iln-T при 0 6 t 6 T и a(t) := Oo(t) при t > T . Тогда ст обладает теми же свойствами, что и oq и при этом ш 6 ст. B
Список литературы Зоны устойчивости для медленно меняющихся весов, используемых в теории ультрадифференцируемых функций
- Braun R. W., Meise R., Taylor B. A. Ultradifferentiable functions and Fourier analysis//Results Math.-1990.-V. 17.-P. 206-237.
- Bonet J., Braun R. W., Meise R., Taylor B. A. Whitney's extension theorem for nonquasianalytic classes of ultradifferentiable functions//Studia Math.-1991.-V. 99.-P. 155-184.
- Meise R., Taylor B. A. Whitney's extension theorem for ultradifferentiable functions of Beurling type//Ark. Math.-1988.-V. 26.-P. 265-287.
- Bonet J., Meise R., Taylor B. A. Whitney's extension theorem for nonquasianalytic classes of ultradifferentiable functions of Roumieu type//Proc. R. Ir. Acad.-1989.-V. 89(A).-P. 53-66.
- Абанин А. В. Характеризация классов ультрадифференцируемых функций, допускающих аналог теоремы Уитни о продолжении//Докл. РАН.-2000.-T. 371, №2.-C. 151-154.
- Abanin A. V. On Whitney's extension theorem for spaces of ultradifferentiable functions//Math. Ann.-2001.-V. 320.-P. 115-126.
- Абанина Д. А. Об аналогах теоремы Бореля для пространств ультрадифференцируемых функций нормального типа//Изв. вузов. Математика.-2003.-№8.-С. 63-66.
- Abanina D. A. On Borel's theorem for spaces of ultradifferentiable functions of mean type//Results math.-2003.-V. 44.-P. 195-213.
- Сенета Е. Правильно меняющиеся функции.-М.: Наука, 1985.-141 с.
- Абанин Д. А. О зонах устойчивости в задаче Уитни о продолжении для ультрадифференцируемых функций//Мат. заметки.-2002.-Т. 71, \No~2.-С.~163-167.
- Братищев А. В. Обращение правила Лопиталя//В сб.: Механика сплошной среды.-Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ.-1985.-С. 28-42.
- Брайчев Г. Г. Введение в теорию роста выпуклых и целых функций.-М.: Прометей, 2005.-232 с.
- Братищев А. В., Коробейник Ю. Ф. О некоторых характеристиках роста субгармонических функций//Мат. сб.-1978.-Т. 106, №1.-С. 44-65.