Адаптация схемы МШРПС для анализа одного линейного стохастического дифференциального уравнения в частных производных с постоянным временным запаздыванием

Уже более полустолетия значительный интерес вызывают проблемы, которые связаны с необходимостью анализа явлений, описываемых (обыкновенными) функционально-дифференциальными уравнениями (ОФДУ) и их частными формами, такими как ДУ с запаздыванием (ОДУсЗ), ОДУ нейтрального типа (ОДУНТ), интегро-диф-

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект У 11-01-96024).

ференциальные уравнения (ОИДУ) и др. [1-4] (такие уравнения называют еще и ДУ с отклоняющимися аргументами). Сначала это были задачи управления, а затем и биологии, механики, физики, химии, медицины, экономики, атомной энергетики, теории информации и т.д.

В настоящее время имеется ряд основных направлений исследования ОФДУ, где ведутся интенсивные научные разработки: качественный анализ существования и устойчивости решений ОФДУ; получение аналитических результатов для линейных и нелинейных систем на основе метода шагов; использование процедур усреднения ОДУ с учетом малости запаздывания; различные численные интеграторы и другие методики для получения частных решений задач [4-6] и ДР-

Наряду с обыкновенными ФДУ и исходя из необходимости более полного и качественного изучения явлений природы и общества, после 1970 г. множество исследователей обратилось к математическим моделям в форме функционально-дифференциальных уравнений в частных производных (ФДУв-ЧП). Их классификация в основном сходна с приведенной выше для О ФДУ, но имеет свою специфику, связанную с наличием нескольких аргументов у искомого решения, по каждому из которых в принципе может быть отклонение. К настоящему времени основными процедурами анализа ФДУв-ЧП являются качественные методы [7,8], количественные же (аналитические, приближенные, приближенно-аналитические или численно-аналитические) развиты недостаточно.

К классу дифференциальных уравнений в частных производных с постоянным запаздыванием т (ДУвЧПсЗ) относятся уравнения реакции-диффузии, распространения волн, динамики популяций, теории управления [7], обратной связи, горения в печи, передачи тепла в материалах с памятью, окисления оксида углерода, химических и биохимических реакций; изменения климата, динамической метеорологии, экономики; экологии; адвекции-диффузии (роение насекомых, образование косяков рыб), поступления воды с запаздыванием (конвективный член в уравнении Бюргерса), фронта распространяющейся волны (диффузионное уравнение Николсона для описания размножения мясных мух с учетом изменений в пространстве и возрасте), пространственных диффузионных моделей Лотки - Вольтерры взаимодействия видов, взросления и деления клеток, диффузионной модели с ограниченностью объема пищи в биологии и др. К рассматриваемому классу относятся обобщенные формы известных уравнений Фишера (логистического или Колмогорова - Петровского - Пискунова) и Хатчисона динамики популяций с диффузией, транспортного уравнения первого порядка с запаздыванием, которое описывает динамику размера сообщества, и др. Запаздывание в подобных уравнениях появляется естественным образом, например, в биологии это время регенерации ресурсов, взросления, вскармливания, реакции на раздражение и др.

Задачами анализа ДУвЧПсЗ являются проблемы расчета динамики, оценки устой-чивости/неустойчивости, анализа бифуркаций устойчивых состояний, существования, ограниченности и единственности решений и ДР-

Для исследования процессов, математическими моделями которых являются ДУвЧПсЗ, используются различные методы. Так, для качественного исследования ДУвЧПсЗ применяют групповой анализ [9]. Но, как и в ДРУГИХ областях науки, аналитические решения прикладных уравнений такого типа редки. Поэтому основной интерес в этой области обращен на приближенные методы поиска решений.

Такие методы, применяемые и для расчета числовых характеристик стохастических систем, можно разделить на два основных класса: 1) схемы прямого интегрирования ДУвЧПсЗ (явные и неявные варианты конечно-разностных методов [10], включая многосеточные [11]; метод перекрытия Шварца [12]; асимптотические методы [13]; метод ренормализации [14]; методы волновой релаксации [11], подобные итерационным процедурам Пикара и Гаусса - Зейде-ля; неявная сеточная схема с кусочно-постоянной интерполяцией [15]; схема на основе идеи разделения текущего состояния и функции-предыстории [16]; аналог метода переменных направлений [17], разностные схемы с нелинейной предысторией [18]; аналоги алгоритмов с весами схем; схема с сеткой, в которой шаг по времени непропорционален запаздыванию); 2) приближенные алгоритмы, сводящие задачу решения ДУвЧПсЗ к интегрированию конечной системы ОДУсЗ (спектральные [19] и псевдоспектральные [20] схемы, в том числе на основе метода Галеркина [21]; различные процедуры метода прямых [11, 15]; методы предиктор-корректор [22] и коллокаций [23]).

К сожалению, как правило, указанные выше алгоритмы наряду с погрешностью дискретизации вносят дополнительную ошибку интерполяции при вычислении значений решения в точке t — т.

Наряду с детерминированными ДУвЧП-сЗ и обыкновенными стохастическими ДУсЗ (СДУсЗ) [24-27], в настоящее время актуален анализ стохастических ДУвЧПсЗ (СДУвЧПсЗ). При изучении таких уравнений (основные понятия и строгую постановку см. в [28]) получено значительное количество качественных результатов для решений СДУвЧПсЗ [29,30]. Например, была доказана теорема об экспоненциальной устойчивости в среднеквадратичном для сильных решений линейных уравнений с конечными постоянными запаздываниями; для эволюционных уравнений рассматривалась устойчивость сильных решений квазилинейных уравнений; изучались существование и устойчивость слабых решений на основе теорем сравнения, неравенства Гронуолла, принципа неподвижной точки и др. Существенно меньше результатов получено для уравнений нейтрального типа.

СДУвЧПсЗ являются моделями поведения различных физических, биологических, инженерных и социальных систем [31], например, описывают явления самоорганизации, распространение тепловых фронтов в бистабильных системах типа реакции-диффузии [32], влияние случайных возмущений на электрический ток в наноструктурных полупроводниках [33], распределение лекарственных средств, функционирование сердца совместно с кровяной системой и ДР-

Если остановиться на специфичных для СДУвЧПсЗ методах, то спектр их невелик и включает, в первую очередь, процедуры, основанные на методе Монте-Карло (например, явный одношаговый метод [34]), итерационные методы, основанные на применении полугрупп операторов [35] и др.

Ранее в ряде наших предыдущих работ была предложена схема, сочетающая классический метод шагов и расширение пространства состояния (МШРПС), в приложении к исследованию систем обыкновенных детерминированных и стохастических ДУсЗ [36,37]. Эта схема затем была доработана для анализа явлений, описываемых детерминированными ДУсЧП с постоянными запаздываниями [38]. Ниже рассматривается методика исследования линейных СДУв-ЧПсЗ. Эта методика является адаптацией МШРПС на новый класс моделей. В работе описывается методика построения уравнений для первых моментов случайного поля, представляющего собой решение линейного параболического уравнения с одним постоянным запаздыванием.

1. Постановка задачи

Рассмотрим линейное стохастическое дифференциальное уравнение Стратоновича [39] в частных производных (параболического типа) с запаздываниями т = const >  0 следующего вида:

dU ( x,t )                  д ² U ( x,t )

• ---+ a U ( x, t ) = v \, ⁷ +

∂t                     ∂x ²

• + ви ( x,t — т ) + yV ( x,t ) , x € (0 , 1) ,

t > 1 1 = 1 0 + т,                       (1.1)

где t о = 0; U ( x,t ) - случайное поле, представляющее состояние системы с распределенными параметрами; V ( x, t ) - пространственно-временной белый шум:

E[ V ( x,t )] = 0 ,

E[ V ( x,t ) V ( x,t' )] = 5 ( x — x' ) 8 ( t — t ' ) , a E[ • ] - оператор математического ожидания .

Предположим, что на интервале ( t о ,t 1] поле U ( x,t ) удовлетворяет уравнению того же типа, что и (1.1), но без запаздывания:

dU ( x,t )                    д ² U ( x,t )

• - + а о U (x,t )= vо

∂t∂x

+ Y о V ( x,t ) , x € (0 , 1) ,

U (x,t о) = U о( x),(1.2)

ii пусть для любого t ^ t о заданы однородные краевые условия:

U (0 ,t ) = U (1 ,t) = 0,(1.3)

а в уравнениях (1.1) ii (1.2) a > 0. а о > 0. в- Y- Yо- v > 0. vо > 0 - постоянные. Кроме того, будем считать, что заданы все необходимые числовые характеристики (функции) случайного поля Uо(x). В частности, пусть в начальный момент времени tо для поля U(x,t) известны математическое ожидание mо (x) = E[ U о( x)]

и коррелятор

D 0( x,y) = E[ {U 0( x) — m0 (x) }x x {U0(У) - m0(У)}].

Задачей исследования является построение систем дифференциальных уравнений в частных производных без запаздывания (ДУвЧП) для математического ожидания

m ( x, t ) = E[ U ( x, t )]

и коррелятора

D (x,y,t) = E[ {U (x, t) — m(x, t)}x x {U(y,t) - m(y,t)}]

поля U ( x,t ), имеющего функционал плотности вероятности P( u,t ). ДЛЯ ЛТОООГО t > 1 0. причем P( u, t о) = Po( u, t о) = Po( u ). При атом вследствие заданных краевых условий

m (0 , t ) = m (1 , t ) = 0

и

D (0 ,y,t ) = D (1 ,y,t ) =

= D ( x, 0 , t ) = D ( x, 1 ,t ) = 0 .

2.    Метод исследования

Как и в предыдущих наших работах, для того чтобы получить СДУ без запаздывания, применим сочетание метода расширения (в данном случае) пространства состояния и метода шагов, что позволит преобразовать немарковское случайное поле U ( x,t ) в марковское посредством расширения пространства состояния системы (МШРПС).

Рассмотрим равномерную временную сетку tq = tо + q • т. q = 0. 1. 2..... N. ... ii введем новую временную переменную s, изменяющуюся на промежутке [0,т], а также следующие обозначения:

sq — s + tq, ^A q — ⁽ tq, tq +1^] ,

Uq ( x,S )= U ( x,Sq ) , Vq ( x,S )= V ( x,Sq ) , U * ( x,s ) = U ⁰( x ) , причем для всех q ^ 1

Uq ( x, 0) = Uq - 1( x, T ) , Vq ( x, 0) = Vq - 1( x, T ) .

Здесь и далее равенство сечений соответствующих компонент случайных полей понимается в смысле "почти наверное".

Рассмотрим последовательность полуинтервалов (сегментов) A q.

0°. На сегменте A0 систему СДУвЧП для компонент векторного случайного поля U0(x,s) = { U * (x,s) ,U0( x,s)} представим в виде dU* (x,s) _ ds ,

U* (x, 0) = U0 (x), dU0(x,s)

------+ a 0 U 0( x,s ) =

∂s d2 U0(x,s)

= v 0--- dx2 --+ Y 0 V 0( x,s ) ,

U 0( x, 0) = U ⁰ ( x ) .

(2.1)

1°. Рассмотрим теперь полуинтервалы A0 и Ai. Систему СДУвЧП для вычисления компонент для компонент поля U 1( x, s ) = {U * ( x, s ) , U 0( x, s ) , U i( x, s ) }T можно записать так:

dU* (x,s) _ ds ,

U* (x, 0) = U0 (x), dU0(x,s)

------+ a 0 U 0( x,s ) =

∂s d2 U0 (x,s)

= v 0--- dx --+ Y 0 V 0( x,s ) ,

U 0( x, 0) = U ⁰ ( x ) .

dU 1^{( x,}s )

------+ aU 1 ( x,s ) =

∂s

= v^U¹^^ + eU 0( x,s ) + ∂x ²

(2.2)

+ Y V L^{( x,s} ) ,

U 1 ( x, 0) = U 0( x, т ) .

2°. Определенное на полуинтервалах A0, Ai 11 A2 векторное поле

U 2( x, s ) = {U * ( x, s ) , U0 ( x, s ) ,

U1 (x,s) ,U2(x,s) }T будет удовлетворять системе СДУвЧП (2.2), к которой добавлено уравнение следующего вида:

^dU 2 ( x,s )

------+ aU 2( x,s ) = ∂s

= ^{v d} Ufax, s ) ^{+ в U} 1⁽ x, ^{s )+}    (2.3)

+ YV 2^{( x,s} ) ,

U 2( x, 0) = U i( x,t ) . ... ... ... ...

k°. Обозначая через U k ( x,s ). k = 3. 4.....

N векторное поле

U k ( x,s ) = {U * ( x,s ) ,U o( x,s ) ,U 1 ( x,s ) ,

U2(x, s),..., Uk-1 (x, s), Uk(x, s)}T и применяя к нему излагаемую схему, находим, что вектор Uk(x,s), представляющий поведение поля U(x,t) на сегментах Aq, Ai, А2, ..., Ak, будет решением системы СДУв-ЧП, полученной добавлением к уравнениям для векторного поля Uk-1(x,s) уравнения dUdxy + aUk (x.s ) =

= ^V dx'x ) ^{+ eU}k - ¹⁽ x,s ⁾⁺ ГН1

+ y Vk ( x,s ) ,

Uk ( x, 0) = Uk - 1( x,t ) .

Результом выкладок стала цепочка систем линейных СДУвЧП (2.1)-(2.4) для расширенных векторных полей состояния

U 0 , U 1 , U 2 , ..., U N , ...

увеличивающейся размерности и одинаковой структуры без запаздывания, для дальнейшего исследования которой можно применить различные пригодные для данного класса уравнений методы.

• 3.    ДУвЧП для моментных функций

Построенную последовательность систем линейных СДУвЧП без запаздывания можно использовать для получения новой цепочки уравнений - ДУвЧП для первых моментов (математических ожиданий и корреляторов) векторных полой Uq. U ₁. U ₂ U n.

Для построения такой цепочки можно воспользоваться обобщенным уравнением Фоккера - Планка - Колмогорова [39] для одноточечного функционала плотности вероятности. В нашем случае это уравнение для функционала P k ( u k,s ) векторного поля U k ( x, s ) примет следутопщй вид (D = (0 , 1)):

apt = А [ ЩА) ds ^J Sui (x)

i =0 _D

. 1 V [ S 2 (bijP k)is

2 S J J )Ui(x) Suj(y)

i,j=0 D D где коэффициенты сноса и диффузии вычисляются из соотношений ai(uk,x,s) = ~ai Ui(x) + d 2 ui (x)

^{+ Vi} ~ex2~

^^^^.

+ ei Ui - 1( x ) ,

bij ( u k,x,y,s ) = Yi Yj Sij,

^^™ a i,Vi ,ei ,Yi =

{

α, ν, β, γ, a 0 ,v0, 0 ,y0, i > 0, i = 0

(Sij - символ Кронекера).

При этом уравнения для первых моментов векторного поля будут иметь вид [40]:

dmi ( x, s ) ∂s

У ai(uk,x,s) P(uk,s) duk, dDij (x,y,s) =

∂s

= У {[ Ui ( x ) - mi ( x,s )] aj (u k,y,s )+

+ [ uj ( y ) - mj ( y,s )] ai ( u k,x,s ) +

+ bij(uk, x, y, s) j P(uk, s) duk, i,j = 0, 1, 2 ,...,k.

Для рассматриваемой задачи эти уравнения примут следующую форму:

dm * ( x,s ) = 0

∂s

(3.2)

dmi ( x, s ) ∂s

^{+ v}i

= -ai mi(x, s)+ d2mxsl + -в,m-1(x,s), ,X3, dD** (x,y,s) = ds =

(3.4)

^dD * j ( x,y^{,s )}

----Os-----= -aj D*j (x, У, s)+ d 2 D*j(x,y,s)

^{+ v}j-----dy2 -----+ ^ej D * ,j - 1 ⁽ x, У, s ⁾ ,

(3.5)

^dDi * ⁽ x,y^{,s )}

----------= -ai D^ ( x, y, s ) +

∂s

_ ^{d 2} Di * ⁽ x,y^{,s )}

+ Vi -----dx 2-- + ei Di - 1 , * ( X,y,S ) ,

(3.6)

^dDij ^{( x,}y^{,s )}

--- Qs-----= -aj Dij (x, y, s)+ d 2 Dij(x,y,s)

+ Vj-----dy2-----+ ej Di,j-1(x, У, s) + d 2 Dij(x,y,s)

• ^{+ V}i -----dx2 --^{+ e}i Di — 1 ,j ⁽ x, y, s ^{) —}

• - ai Dij ( x,y,s )+ Yi Yj hj. (3-7)

Теперь определим структуру начальных условий для неизвестного векторного поля математических ожиданий:

m k ( x, 0) =

m ⁰ ( x ) m ⁰( x ) m o ( x,t )

mk — 1 ( x,t )

D o ( x,y, 0) =

D ⁰ ( x,y )

D ⁰ ( x,y )

D ⁰( x, y )

D ⁰( x, y )

D 1 ( x, y, 0) =

D ⁰( x, y )

D ⁰( x, y ) D o * ( x,y,T )

D ⁰( x, y )

D ⁰( x, y ) D o * ( x,y,T )

(3.8)

D * o ( x,y,T ) D * o ( x,y,T ) D oo ( x,y,T )

Dk ( x, y, 0) =

_ Г Dk - 1 ( x,y, 0) D 21

^^^^.

D 12

Dk - 1 ,k - 1 ( x,y,T

) ^, (3.9)

D 21 = [Dk- 1 , * ( x,y,T ) Dk - 1 , * ( x,y,T )

Dk - 1 , o ( x,y,T ) ... Dk - 1 ,k - 2 ( x,y,T )] ,

D 12 = D * ,k - 1 ( x,y,T ) D * ,k - 1 ( x,y,T )

D o ,k - 1 ( x,y,T ) ... Dk - 2 ,k - 1 ( t )] T.

Заметим, что для всех моментных функций краевые условия будут однородными.

Итак, полученные в данном разделе уравнения (3.2)-(3.7) с начальными условиями (3.8), (3.9) полностью определяют математические ожидания и корреляторы компонент векторного поля состояния на любом заданном временном промежутке.

Заключение

В работе представлена схема исследования одной линейной стохастической системы с распределенными параметрами и запаздыванием. В отличие от известных методов изложенная схема не предполагает предварительного изменения уравнений исследуемого объекта с целью исключения запаздывания и может быть использована для анализа и других классов систем.