Анализ эффектов ориентации сетки при решении задач многофазной фильтрации с использованием метода конечных элементов

Создание высокоадекватных моделей нефтяных месторождений является основополагающим фактором эффективной разработки и оптимизации технологий нефтедобычи [1, 2]. Широко применяемые для решения задач многофазной фильтрации методы конечных объемов и конечных разностей обладают существенными недостатками, связанными с ограниченной геометрической гибкостью и низкой точностью моделирования разноконтрастных сред [3, 4]. Существенной проблемой при их применении является эффект ориентации сетки - решения, полученные при раз личных поворотах сетки вокруг оси Oz, имеют крайне большие различия, которые могут быть компенсированы лишь повышением порядка элементов. В последнее время для решения задач фильтрации получило распространение применение метода конечных элементов [5, 6], и было необходимо проанализировать, насколько его использование позволяет снижать значимость ориентации сетки.

Математическая модель. Моделирование процесса фильтрации осуществляется с помощью решения уравнений [7, 8].

-div(ри") = "|(ФР"5-), " = 1,M, U" =-K Km grad (P + P"), m = 1M,

где и" - фазовая скорость фильтрации с насыщенностью Sm , фазовой проницаемостью к", вязкостью р и плотностью mm р ; P и P - давление в коллекторе и капиллярное давление фазы; К и Ф - аб- солютная проницаемость и пористость порового пространства.

В случае моделирования несжимаю-щейся смеси, система (1)-(2) становится эквивалентной краевой задаче с условиями на границе

M. K m^m d P

m = 1

n m d n

Г2

= 0,

где Г j - проницаемые границы расчетной области Q , через которых в месторождение может поступать нефть/вода, а Г₂ - верхняя и нижняя границы расчетной области и элементы перфораций в скважинах.

Для решения краевой задачи (3)-(4) используется метод конечных элементов. В этом случае область моделирования Q представляется в виде объединения конечных элементов Q, а давление представляется в виде непрерывной функции P = 2 p^., коэффициенты разложения j которой могут быть найдены в результате решения СЛАУ

Ap = b .

Здесь вектор p составлен из искомых коэффициентов, а элементы матрицы A и вектора правой части b задаются с помощью соотношений

M К

m

A = JI К2—gradv, • gradVidn,

1=1n             )

Q V m--

Mm b, = J OvidQ-J К2—gradP

Г₂            Q ^    ^m = 1 n

• gradv dQ.

По распределению давления можно рассчитать скорость фильтрации смеси

u

¹ i

к

-K 2—grad 2 PjVj+ Pm m=1 П        V j              )

и значения мгновенных объемов, перетекающих через грани смеси

Qy =J uT • nd Г.                              (6)

i         Г i       i           ¹

В этом случае мгновенные объемы отдельных фаз можно найти с использованием соотношения

m

Г i ,Q e

m

"^Г i , ^Q e        M П /