Анализ линейных стохастических систем с постоянными запаздываниями и дискретно-непрерывными возмущениями

Несмотря на то что первые исследования, связанные с учетом влияния последействия на динамику систем различных классов, начались еще в середине двадцатого столетия, только в последние годы такие исследования стали интенсивно развиваться, в первую очередь вследствие потребностей практики: сначала это были задачи управления, а затем и биологии, механики, физики, химии, медицины, экономики, атомной энергии, теории информации и т.д.

Математическими моделями соответствующих процессов служат функционально-

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской федерации (проект № 1.25.11).

дифференциальные уравнения (ФДУ) и, в частности, дифференциальные уравнения с отклоняющимися аргументами [1-6], в т.ч. уравнения с запаздыванием и нейтрального типа. Такие уравнения применяются для описания гибридных моделей, процессов автоматического регулирования и управления техническими системами, химикотехнологических и других производственных процессов (холодная прокатка стали); генерации сигналов в радиосхемах и лазерах, горения в жидкостно-реактивных двигателях, замедления нейтронов; работы сетевых систем, электростанций, систем навигации, цепей туннельных диодов, в робототехнике, в экологии (контроль качества воды) и т.д.

В процессе развития методов анализа детерминированных систем с последействием возник интерес (начало 1960 гг., одна из первых работ [7]) к стохастическим ФДУ разных типов [1, 5, 8-10], с помощью которых могут исследоваться новые эффекты (например, разрушение или формирование колебательных движений). Но анализ таких систем затруднен. Это привело к тому, что до последнего времени попытки анализа стохастических ФДУ ограничиваются качественными исследованиями поиска условий существования решения и устойчивости (стабилизации), стохастической управляемости и наблюдаемости.

Среди приближенных методов следует отметить технику перехода от немарковских систем с малыми запаздыванием т (в том числе переменным и случайным) или памятью с помощью метода усреднения к марковским системам без запаздывания. Конечно, нельзя забывать и о прямом численном интегрировании стохастических ФДУ [10]. При этом даже алгоритм основного метода -простейшей схемы Эйлера - Маруямы с постоянным шагом, приводящий к значительным объемам расчетов, существенно сложнее своего аналога, предназначенного для анализа стохастических дифференциальных уравнений (СДУ) без запаздывания [И].

Среди стохастических ФДУ можно выделить класс линейных СДУ с постоянными запаздываниями и смешанными случайными возмущениями - непрерывными винеровскими и скачкообразными составными пуассоновскими стохастическими процессами. СДУ со скачками описывают изменения цен опционов, процессы хеджирования и управления в финансах [12-14], внезапное изменение структуры и параметров динамических систем во многих технических системах из-за отказов, резких возмущений, внезапных вибраций рабочего режима [14], процессы фильтрации [15], изменения надежности [16, 17] и др. Процедурами исследования таких систем являются различные схемы методов конечных элементов [18], Эйлера - Маруямы [19], включая неявные [20], Мильштейна [21], Рунге - Кутты [22], обобщенного спектрального метода [23] и др.

В ряде наших предыдущих работ была предложена схема, сочетающая классический метод шагов и расширение фазового пространства (МШРФП), в приложении к исследованию стохастических систем с по стоянным запаздыванием [24-27]. Ниже рассматривается методика исследования линейных СДУ с постоянными запаздываниями и смешанными случайными возмущениями, основанная на модификации указанной схемы.

1.    Постановка задачи

Рассмотрим систему линейных стохастических дифференциальных уравнений (СДУ) Ито с запаздываниями т = const >  0 следующего вида:

d X ( t ) = [Q( t ) • X ( t ) + R( t ) • X ( t - т )+

+ c(t)] dt + G(t) • dW(t) + H(t) • dP(t), t > 11 = tо + т,                           (1.1)

где X ( t ) = {Xi ( t ) , i = 1 ,n }^T - вектор состояния: W ( t ) = {Wi ( t ) , i = 1 ,m }^T ~ вектор независимых стандартных случайных винеровских процессов:

E[ W ( t )] = 0 ,

E[ W ( 1 1) W ^T ( 1 2)] = I • min( 1 1 ,t 2);

P ( t ) = {Pi ( t ) , i = 1 ,r }^T ~ вектор независимых составных случайных пуассоновских процессов [28], представляющих собой последовательности случайных импульсов прямоугольного вида постоянной ширины [18]:

N i ( t )

Pi ( t ) = ^ Vij • ^ ( t — tij ) , j =1

причем случайные амплитуды импульсов Vij имеют плотности вероятности pvi ( v ), сами импульсы появляются с постоянными интенсивностями Xi >  0, а их число на полуотрезке ( t о ,t ] равпо Ni ( t ). Здесь ii далее T - символ транспонирования матрицы, Е[ • ] - оператор математического ожидания, I - единичная матрица.

Предположим, что векторные случайные процессы W(t) и P(t) независимы, а на интервале (tо,t 1 ] вектор сОСТОЯ1ШЯ X (t) удовлетворяет системе СДУ без запаздывания dX(t)= [Qo(t) • X(t) + co(t)] dt+

+ Go( t ) • d W ( t ) + Ho( t ) • d P ( t ) , (1.2)

X (10) = X 0, причем в уравнениях (1.1) и (1.2)

Q( t ) = {qij ( t ) }, Qo( t ) = {q о ij ( t ) },

G( t ) = {gij ( t ) }, Go( t ) = {g 0 ij ( t ) },

H( t) = {hij (t ) } = { H j (t ) }, Ho( t ) = {h о ij ( t) = { H о j ( t ) }, R( t ) = {rij ( t ) }

и

c ( t ) = {ci ( t ) }, c o( t ) = {c о i ( t ) }

- известные непрерывные матрицы-функции и векторы-функции. Кроме того, будем считать, что заданы все необходимые числовые характеристики случайного вектора X0. В частности, пусть в начальный момент времени tо для вектора X известны вектор математических ожиданий mо = E[ X о]

и ковариационная матрица

С^о = E ^[( X ^о - m ^о)( X ^о - m ^о) T ^] .

Задачей исследования является построение систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) без запаздывания для компонентов вектора средних m (t) = E[ X (t)]

и ковариационной матрицы

C( t ) = E[ { X ( t ) - m ( t ) }{ X ( t ) - m ( t ) }T ]

вектора состояния X, имеющего плотность распределения p ( x ,t ) при лтобом t > t о. причем p ( x ,t о) = p о( x ,t о) = Р о( x )■

2.    Метод исследования

Если рассматривать систему уравнений (1.1) с точки зрения общей теории случайных процессов, то можно сделать вывод о том, что вследствие наличия запаздывания случайная вектор-функция X ( t ) - решение этой системы - не является векторным марковским случайным процессом, а следовательно, для получения статистических характеристик вектора X ( t ) не может быть применен хорошо известный аналитический аппарат теории марковских процессов [29].

Как и в предыдущих наших работах, для того чтобы получить СДУ без запаздывания, применим сочетание метода расширения (в данном случае) пространства состояния и метода шагов, что позволит преобразовать немарковский векторный процесс в марковский посредством расширения пространства состояния системы (МШРПС).

Рассмотрим равномерную временную сетку tq = tо + q • т. q = 0. 1. 2..... N. ... ii введем новую временную переменную s, изменяющуюся на промежутке [0, т], а также следующие обозначения:

sq — ^s + tq, ^А q — ⁽ tq ,tq +1^] ,

X q ( s )= X ( Sq ) , W q ( S )= W ( Sq ) ,

P q ( S )= P ( Sq ) , Y ( S ) = X ^о ,

Q q ( S )= Q( S + tq ) , R q ( S )= R( S + tq ) ,

G q ( S )= G( S + tq ) , H q ( S )= H( S + tq ) ,

Cq (S ) = C ( S + tq ) , col(d 1, d2, ..., dL-1, dL) =

= ^{d 11 ^,d 12, ..., ^d 1 n, ..., dL- 1 , 1 dL—- 1 , 2, — >

• ^dL —1 ,n, ^dL 1 , dL 2 , "', dLn^} .

причем для всех q ^ 1

X q (0) = X q— 1 ( T ) , W q (0) = W q— 1( T ) ,

P q (0) = P q— 1( T ) .

Здесь и далее равенство сечений соответствующих компонент векторных случайных процессов понимается в смысле "почти наверное".

Рассмотрим последовательность полуинтервалов (сегментов) A q.

На сегменте Ао систему СДУ для вектора Zо(s) = col(Y(s), Xо(s)) представим в виде dY ( s ) = 0, Y (0) = Xо, dXо(S) = [Q0(S) • Xо(S) +

+ c о( s )] ds + Go( s ) • d W о( s )+   (2-1)

+ Но( s ) • d P о( s ) ,

X о(0) = X ^о .

Рассмотрим теперь полуинтервалы Ад и △ 1. Систему СДУ для вычисления ком-попепт вектора Z i( s ) = col( Y ( s ) , X o( s ) , X i ( s )) можно представить так:

dY (s) = 0, Y (0) = X0, dX0(s) = [Q0(s) • X0(s) +

+ c 0 ( s )] ds + G 0 ( s ) • dW 0 ( s ) +

+ H 0 ( s ) • d P 0 ( s ) , d X i ( t ) = [Q i ( s ) • X i ( s )+

+ R i ( s ) • X 0 ( s ) + c i ( s )] ds +

+ G i ( s ) • d W i ( s )+                (2.2)

+ H i ( s ) • d P i ( s ) ,

X 0 (0) = X ⁰ , X i (0)= X 0 ( t ) .

Определенный на полуинтервалах А0, Ai 11 A2 вектор

Z 2(s ) =col( Z i ( s ) , X 2 ( s ))

будет удовлетворять системе СДУ (2.2), к которой добавлены уравнения следующего вида:

d X 2 ( t ) = [Q 2 ( s ) • X 2 ( s ) +

+ R 2 ( s ) • X i ( s ) + c 2 ( s )] ds +

+ G 2 ( s ) • d W 2 ( s )+               (2.3)

+ H 2 ( s ) • d P 2 ( s ) ,

X 2 (0) = X i ( T ) .

Обозначая через Zk(s). k = 3. 4.....N..... вектор col(Zk-i(s), Xk(s))

и применяя к нему излагаемую схему, находим, что вектор Z k ( s ), представляющий поведение вектора состояния X ( t ) на сегментах А 0. Ai. А 2   A k- будет решением системы СДУ, полученной добавлением к уравнениям для вектора Z k- 1 ( s ) уравнений следующего вида:

d X k ( t ) = [Q k ( s ) • X k ( s )+

+ ^R k ^{( s} ) • ^Xk- i ^{( s} ) + ^ck ^{( s} )] ^ds +

+ ^G k ^{( s} ) • ^dW k ^{( s} )+                (2.4)

+ H k ( s ) • d P k ( s ) ,

X k (0) = X k- 1 ( T ) .

Итак, получена цепочка систем линейных СДУ для расширенных векторов состояния Z 0, Z i, Z 2, • ••, ZN, ■■■ увеличивающейся размерности Lk = n ( k + 2). k = 0. 1. 2   N.

и одинаковой структуры без запаздывания, для дальнейшего исследования которой можно применить различные пригодные для данного класса уравнений методы [30].

3.    Уравнения для моментных функций

В частности, построенную последовательность систем линейных СДУ без запаздывания можно использовать для получения новой цепочки уравнений - ОДУ для первых моментов (математических ожиданий и ковариационных матриц) векторов Z 0, Z i, Z 2,

Z ^N

Выясним структуру этих систем. Для этого воспользуемся интегро-дифференциальным уравнением Колмогорова - Феллера для одноточечной плотности вероятности Pk ( z k,s ) вектopa Z k ( s ) в форме [12]. которое в нашем случае примет следующий вид:

dpk(zk ,s) = - у d [akiPk(zk,s)] + ds ^    dzki i=i

+ 1 уЗ d [ bkijPk ( Z k,s )] -

• ²      ,     ^dzki^dzkj

^{ij =i}                                   (3.1)

• r ( k +2)    + ^

• ⁺ ^2 ^ ⁺ / |_ pk ⁽ z k ^{— d}k£^,s ) ^{— i} —^

• ^- Pk ⁽ z k^,s )] p V ⁽ v ⁺) ^dv ⁺ , где

^ak — ^{col( a}ki, i   ¹ , Lk ) —

= ^{Q +( s} ) • z k ^{+ c +( s} ) ,

B k ^{— {b}kij^,i,j — ¹ , Lk } —

= G + ( s ) • G + ^t ( s ) , ^k ____k 3-2)

^dk£ ^{— col( d}ki£, i — ¹ , Lk ) —

= H +e ( s ) • v+,

Pye(v+ ) = PVi(vi), 3+ = ^i, i = mod(£,r),  £ > r, а матрицы Q + (s). G +(s) 11 H + (s) = {H + (s)}. а такжe вектор c p(s) будут иметь

блочную структуру, следующим образом:

которая

формируется

где mk (s) = E[ Zk ] =

Q + ( s ) =

0    0

0 Q o ( s )

,

Q + ( s ) =

Q o ( s )

R 1 ( s )

о о Q1( s )

,

„_{+w =} [ ^Q -- 1 ⁽ s )    0   1

^{Q k ( s 1}       0 I R k ( s ) Q k ( s )    ’

= col(mY, mXо, mX 1 . .... ml X ^ ) Ck(s) = E [(Zk — mk)(Zk — mk) T ] = CYY   CYX 0   CYX 1 ... CYXk CX о Y  CX о X о  CX о X i  ... CX о Xk CX 1 Y  CX 1 X о  CX 1 X 1  ... CX i Xk ...            ...             ...        ... _ CXkY  CXkXо  CXkXi  ... ... CXk Xk m+k = col(A+ • mpe , £ = 1, r (k + 2)),

G^{o (} s )     [ 0 G o ( s ) ] ’

+ж mpe

/ v+ Pve ^{( v}+ ) ^dvt.

-∞

Gt ( s ) =

^G + ( s ) = [

H o ⁺

G o ( s ) 0

^G + - 1 ( s ) о

G 1 ( s )

,

G k ( s ) ’

⁽ s ) = [ 0 H o ( s ) ] ^,

W( s ) =

' 0 0 0

H o ( s ) 0

о о H1( s )

,

^ i       , Л +      .     ---------—--------Г" ,

H + = { H _k . , £ = 1 , r ( k + 2) },

Hei

m

+ p 2 e

= X ■ h + e ■ mp-.

+ ж

I ( v + )² pVe ( v+ ) dv+ -

-∞

Теперь определим вид начальных условий для построенных ОДУ:

m k (0) =

и + s ) = [

^H +- 1 ( s )

H k ( s ) ^,

m ⁰ m ^o m o ( т )

...

m k- 1 ( т )

(3.5)

c ^{o+ (} s ) = [ c o ( s ) ] ^,

c + ( ^s ) =

0 c o ( s ) c 1 ( s )

,

C o (0) = [ C ^o C ^o ] ,

	C 0	C 0	CYX о ( T )
C 1 (0) =	C 0	C 0	CYX о ( T )
	. CX о Y ( T )	CX о Y ( T )	CX о X о ( T ) .

Отсюда Z k. k = 0. ствующих

c + ( s )= c ⁺ -⁽s )    .

^k              c k ⁽ s )

можно увидеть, что для любого 1, 2, ..., N, ... структуры соответ-систем ОДУ будут иметь вид rmk (s) = Q + (s) • mk (s) + c + (s) + + H +(s) • rm+k.

Ck ( s )= B k + Q + ( s ) •Ck ( s ) +

+ [Q + ( s ) -Ck ( s )] ^T + и + ( s ) • H + ^T ( s ) ,

(3.3)

(3.4)

Ck (0) =

_ Ck- 1 ⁽⁰⁾          <712        1 /о

[    C 21      Cx k — i X k — i ( T ) J ’

C 21 = [ CX k — i Y ^{( T} ) CX k — i Y ^{( T} )

^CX k — i X о ^{( T} ) ... ^CX k — i X k - 2 ^{( T} )] .

C 12 = [ CYX k — i ^{( T} ) CYX k — i ^{( T} )

^CX о X k — i ^{( T} ) ... ^CX k — 2 X k — i ^{( T} )] .

Итак, полученные в данном разделе уравнения (3.3), (3.4) с начальными условиями (3.5), (3.6) полностью определяют математические ожидания и ковариации компонент вектора состояния на любом заданном временном промежутке.

Заключение

В работе представлена схема исследования линейных стохастических систем с запаздываниями, на вход которой подаются смешанные случайные дискретно-непрерывные возмущения. В отличие от известных методов изложенная схема не предполагает предварительного изменения уравнений исследуемого объекта с целью исключения запаздывания или разработки специальных интеграторов. Точность расчетов полностью определяется погрешностью применяемых стандартных процедур численного решения систем ОДУ, причем ошибка метода отсутствует. При необходимости более глубокого изучения подобных систем, например, для того чтобы проанализировать негауссову структуру вектора состояния, изложенная схема может быть применена для построения систем ОДУ для высших моментов компонент этого вектора.