Анализ механизма коллективного поведения на основе нечеткой логики

Для целого класса, экономических и социальных задач информация о присутствующих в них параметрах и переменных носит нечеткий характер. Поэтому для их описания используются нечеткие множества. Получаемое нечеткое решение для таких задач дает возможность изначально учитывать неполноту и неточность исходных данных. Нужно отметить, что с момента, публикации Л.А.Заде своей работы по нечетким множествам [1] вышло большое количество работ, в которых рассматривались математические модели исследуемых явлений из разных областей знаний в рамках теории нечетких множеств (см., например, [2-9]). Целью работы является исследование поведения коллектива, индивидуумов, каждый из которых может перейти или нет в заданное состояние, при этом он руководствуется как личным отношением, так и проведенной им оценкой отношений других членов коллектива.

Статья состоит из двух частей. В первой части производится описание математической модели. Во второй части проводится анализ поведения коллектива, в случае наличия или отсутствия в нем лидера.

1. Описание модели

Считаем, что перед каждым j-м индивидуумом, j = 1, N стоит вопрос — перейти ему в некоторое состояние или нет [10]. Из газет, радио, из результатов опросов общественного мнения и из других источников информации у него складывается убеждение о доле 5j Е [0,1] членов коллектива , без него самого, которые готовы перейти в рассматриваемое состояние.

Допустим, что имеется K источников информации о переходе в заданное состояние, каждый из которых воздействует на каждого j-ro индивидуума. Назовем источник информации «хорошим» для j-ro индивидуума, если он убеждает его перейти в заданное состояние.

Обозначим через K j число «хороших» для j-ro индивидуума источников информации. Тогда в качестве числовой меры готовности j-ro индивидуума перейти в заданное состояние можно принять величину

P j = Kj.                                W

Замечание 1. Поскольку один и тот же источник информации может быть «хорошим» для нескольких индивидуумов, то, вообще говоря,

NN

Е p j = K Ек , = 1- j =1          j =1

Каждый j-й индивидуум оценивает число других индивидуумов, готовых перейти в заданное состояние. Число «хороших» для всех индивидуумов без j-ro источников информации равно

^^ Ki = K1 + • • • + Kj-1 + Kj+1 + ‘ ’ ’ + KN, i=j а общее число всех источников информации для них равно (N — 1)K. Поэтому в качестве меры qj Е [0,1] доли членов коллектива без j-ro, которые готовы перейти в рассматриваемое состояние, можно принять величину ал = тV K =     V p, j = VN(2)

4j   (N — 1)K i N — 1^, i=j

В качестве меры доли числа всех индивидуумов, готовых перейти в заданное состояние, можно принять число

• 1    N1 N

m = NKEK = NEpi.w i=1

В зависимости от субъективного отношения j-ro индивидуума к вопросу о переходе его в заданное состояние тот или иной источник информации может или нет убеждать его переходить в заданное состояние. Считаем, что субъективное отношение j-ro индивидуума характеризуется числом a j Е [0,1], j = 1,N.

Обозначим через x j — j-ro индивидуума и рассмотрим нечеткие множества [9]

A = (X1|a1),..., ( x n |aN),Q = (x1|q1),..., ( x n |qN),P = (x1|p1),..., ( x n |pn ).

Нечеткое множество A характеризует готовность индивидуумов принять пропаганду за счет их субъективного отношения к вопросу о переходе в заданное состояние; нечеткое множество Q определяется зависимостью индивидуумов от поведения оставшихся членов; нечеткое множество P характеризует готовность индивидуумов перейти в заданное состояние.

Нечеткое множество P зависит от нечетких множеств A и Q. Эту зависимость зададим в виде объединения

P = A V Q.

Эта зависимость означает, что [9]

P j = max(aj; q j ^)j = 1, N                               (4)

2.    Анализ модели

Из формул (3) и (4) получим, что

1 N m = n ^тах(ад qi).

V i=1

Далее из формул (2) и (3) следует, что qj = N-r E pi -i=1

N

N-i p j = N-Г m - N-Г p j

Подставим сюда формулу (4). Получим

N

q j = N-l m-N-I

max(aj; q j ), j = 1,N

Случай абсолютно зависимого коллектива. Это значит, что aj = 0, j = 1,N. Тогда из (5) и (6) получим, что

1 ^{N m} = NEqi, i=1

N 1      ■ qj = N-Im - N-I qjj = ^N

Отсюда следует, что q j = m, j = 1,N, а число m может принимать любое значение на отрезке [0,1].

Рассмотренный случай характеризует полную зависимость индивидуумов от внешнего воздействия. Такой коллектив абсолютно неориентирован и его состояние не определено до тех пор, пока не появится лидер.

Случай одного лидера в абсолютно зависимом коллективе.

Это значит, что, например, ai = 1, а все остальные aj = 0, j = 2,N. Тогда из формул (5) и (6) получим, что m=

Я"E 4

N qi = N-1m -

N - 1^,

N 1      • qj = N-Im - N-i qjj = 2,N.

Отсюда следует, что m = 1 и q i = 1, i = 1, N.

Таким образом, абсолютно зависимый коллектив является абсолютно управляемым. Лидер может привести его в нужное состояние.

Рассмотрим случай, когда в абсолютно зависимом коллективе (a j = 0, j = 3, N ), наряду с лидером (ai = 1) имеется отце индивидуум, у которого 0 < a2 < 1. Тогда из (5) и (6) получим, что

1 /                  N \ m = N I 1 + max(a2; q2) + ^ qj I ,

N q2 = N-T m -

N qj = N-гm -

1           (

——-max(a2; q2),

N — 1

NTT q j ^,j =^3,N.

Отсюда следует, что q j = m,j = 3, N и

т =2(1 + max(a2; q2)).

Случай 1. Пусть q2 < a2- Тогда из (7) и (8)

получим, что

q2 =

m=

N

2(N - 1)(1 + a2) —

1 + a2

2 ’

1      _N + (N - 2)a2

N - 1 a²

2(N - 1)

Поэтому рассматриваемый случай q2 < a2 возможен, если

N + (N - 2)a2 < 2(N - 1)a2 о a2 = 1.

Следовательно, m = 1.

Случай 2. Пусть a2 < q2. Тогда из (7) и (8) имеем, что q2 = тит = 1.

Заключение

В работе построена и рассмотрена простейшая модель коллективного поведения на основании нечеткой логики. Выделен случай абсолютно зависимого коллектива, который характеризуется полной зависимостью от внешнего воздействия. Также рассмотрен случай одного лидера в абсолютно зависимом коллективе. Показано, что в абсолютно зависимом коллективе доля числа всех индивидуумов, готовых перейти в заданное состояние, равняется единице.

С использованием результатов, полученных в данной работе, планируется рассмотреть случаи, когда коллектив содержит более двух лидеров.