Анализ структуры подкодов малого веса одного класса рациональных кодов гоппы

DOI:

Понятия обобщенный вес Хемминга и весовая иерархия линейного кода введены Вэем для характеристики поведения кода в каналах II типа. С другой стороны, если рассматривать линейный код как проективную систему, а минимальное расстояние кода описывать через максимальное число точек, лежащих в гиперплоскости, то проблема построения весовой иерархии равносильна вопросу о максимальном числе точек системы, лежащих в подпространстве коразмерности большей, чем единица. Весовые иерархии некоторых семейств кодов, например, кодов Рида - -Маллера, кодов Болея, БЧХ-кодов, кодов Гоппы, уже изучены.

В данной работе исследуется структура подкодов малого веса одного класса рациональных кодов Гоппы. Вопрос нахождения таких подкодов возникает при конструировании кривых c большим числом рациональных точек [1;2]. Кроме того, задача нахождения кодовых слов наименьшего веса тесно связана с проблемами декодирования.

Мы рассматриваем геометрические коды Гоппы C _l ( D,G) ассоциированные с дивизорами D и G поля рациональных функций F _q (ж). Такие коды называются рациональными кодами Гоппы. Как обычно, предполагаем, что дивизор D является суммой различных точек степени один D = P i + ... + Р _п и носители дивизоров D и G не пересекаются.

Напомним, что в рациональном поле F _q (ж)/F _q нет других точек, кроме Р ^ и Р _р ( _ж ) , где р ( ж ) — неприводимый многочлен из кольца многочленов F _q [ж]. Единственными рациональными точками поля F _q (ж)/F _q являются точки Р ^ и Р (_ж_ _а), где а — элемент конечного поля F _q . Таким образом, в поле рациональных функций F _q (ж)/F _q имеется всего q +1 рациональная точка.

Код Гоппы Cl(D,G) является образом пространства L(G) при линейном отображении evD : L(G) Н F;, / Н (/(Pi),..., /(Рп)).

Если степень дивизора G меньше п, то отображение ev _D : L ( G ) Н C _l ( D,G) является инъекцией. Кроме того, для рационального кода Гоппы C _l ( D,G) длины п, размерности к и с минимальным расстоянием d выполняется:

• 1.    п < q + 1.

• 2.    к = О О deg G < 0 и к = п о deg G > п — 2.

• 3.    Если 0 < deg G < п, то к = 1 + deg G и d = п — deg G .

• 4.    Если { ж ₁ , ...,ж _п } базис пространства L(G), тогда матрица

Ж 1 (Р 1 ) Ж 1 (Р ₂ ) . .. Ж 1 (Р _П )

М =       .         .              .

I                                                                                                                                         1

\ Жк (Р 1 ) Ж к (Р 2 ) . .. Ж к (Р „ ) )

является порождающей матрицей кода C _l (D,G) [3].

Опишем конструкцию одного вида рациональных кодов Гоппы. Этот класс кодов имеет тесную связь с классическими кодами Гоппы

Пусть L некоторое подмножество мощности п конечного поля F _q m

L = { а₁,..., a_n} С F _qm, | L | = п.

Многочлен д(ж) Е F _q m [ж] степени t, такой, что 1 <  t < п — 1 и д ( cq) = 0 для всех а г Е L . Обозначим Р _г - нуль элемента (ж — оД для всех ои Е L . Дивизор D l есть сумма точек степени один

^D L = ^Р 1 ^{+ Р} 2 ⁺ ... ^{+ Р} п .

Положим Р _го — полюс элемента ж поля рациональных функций F _q m (ж). Дивизор нулей элемента д(ж) будем обозначать G _o Е Div ( F _q m (ж) /F _q m ).

Рассмотрим рациональный код Гоппы Cl(Dl,Go — Р^). Длина этого кода равна п, размерность к = 1 + deg G = 1 + (t — 1) = t и минимальное расстояние d = п — deg G = n — t + 1.

Элементы поля рациональных функций д ( х ) ^-1 , хд ( х)^{- 1} , ..., г^{- 1} д(х)^-1 принадлежат пространству L ( G ₀ — Р ^ ). Размерность этого векторного пространства равна t. Таким образом, элементы ^x^jд(х')"" ¹ } _0< -_{_ 1} образуют базис пространства L(G₀ — Р _х ), а порождающая матрица рационально кода Гоппы C _l ( D _l ,G₀ — Р ^ ) имеет вид:

/    д(0С1) 1         д(а2) 1      ...      д(Оп) 1\ ос 1д((Х1)_1     «2д(0С2)-1 ... Опд(ос-п)-1

. .                                                         ..

.                                                         ..

V осV д(СС1 )-¹ .\2 д( «2)"¹ ... <¹ д(^ )"¹ у

Весовая иерархия кода C _l ( D _l ,G ₀ — Р ^ ) , то есть набор обобщенных весов Хем-минга, определяется по формуле [4]:

d_T ( C l ( D l , G o - Р ^ )) = п- к + г, где 1 <  г < к.

В работе исследуется структура подкодов кода C _l ( D _l ,G ₀ — Р ^ ) , носители которых у удовлетворяют условию

|Х| = d _r ( C l ( D l ,G o- Р _го )).

Пусть D _t — г-мерный подкод кода C _l (D _l ,G₀ — Р ^ ), обладающий наименьшим весом. Код D _t порождается г кодовыми словами ev _D (Л),..., cu d (Д), где f ₁ , . . . , f _r - линейно независимые над полем F _q m элементы пространства ассоциированного с дивизором G ₀ — — Р ^ . Условие |х ( D _t ) | = d_T ( C _l ( D _l ,G ₀ — / \ и определяет структуру главных дивизоров (f . )

(f . ) = D + В.— ( Go- Р _го ), 1< г<г.

При этом дивизоры D и В . такие, что

О <  D <  D _l , deg D = t — г

и

В . > О, deg В . = г — 1 для 1 < г < г.

Заметим, что в конструкции дивизоров В . возможно использование рациональных точек.

Рассмотрим, в качестве примера, рациональный код Гоппы C _l ( D _l ,G ₀ — Р ^ ) над конечным полем Р ₂ з . Дивизор D _l = Р _Х1 + Р _Х2 + ... + Р_Хп состоит из рациональных точек Р_Xi = Р (_ж__а.) , oc i Е L для всех 1 < г < п. Множество L совпадает с полем Р ₂ з . В качестве многочлена д(х) выберем многочлен х ⁵ + х ² + 1. Таким образом, получим рациональный код Гоппы C _l ( D _l ,G_o — Р^ ) длины 8, размерности 5 и с минимальным расстоянием 4. Порождающая матрица этого кода имеет вид

( 11 ос ⁶ (X⁵ X   а³ а⁵ а⁶ \

О  1   1    1    а⁶    1    а³  а⁵

О   1    ос   ос²   ос²   ос⁴   ос   ос⁴ .

О   1    ос ²    ОС⁴   ОС⁵   ОС   6С⁶   3С³

у О  1   а³  а⁶    ос   ос⁵  ос⁴  ос² )

Одномерный подкод наименьшего веса порождается элементом cu _{D l} ( f ) таким, что

(/) = Рxq + Р^2 + Рxi3 + Ръ4 - (Go - Рто), где РXi. Е supp(DL), 1 < j < deg D или

(/) = (

(x - a^)(x - oq₂ )(x - 0^3)(x - od₄ )

g ^{( x )}

Если D = Ро + Ру + Ра + Рх2, то одномерный подкод Dy порождается кодовым словом минимального веса с = (0,0,0,0, а5, а, а2, а5).

Заметим, что число кодовых слов минимального веса для разделимого кода с максимальным расстоянием, определенного над полем F _q , равно ( q — 1)С ^ . В нашем случае таких кодовых слов 490.

Второй обобщенный вес кода C _l ( D _l ,G _o — Р ^ ) равен пяти. Двумерный подкод, носитель которого удовлетворяет условию |х(D ₂ ) | = d ₂ ( C _l ( D _l ,G ₀ — Р ^ )) порождается элементами

(Л)= D + В _г- (G o- Р . , 1< г< 2.

При этом дивизоры D и В _г такие, что

0 <  D <  D l , deg D = 3

и

В_г > 0, deg B^ = 1 для 1 <г< 2.

Если дивизоры D,B _y , В ₂ такие, что

D = Ро + Ру + Ра, By = Рх2, В2 = Ра3, то двумерный подкод наименьшего веса порождается векторами су = (0,0,0,0, а5, а, а2, а5) с2 = (0,0,0, а, 0, а6, ос, сх2).