Аналог формулы Коши для однолинейного интегро-дифференциального уравнения типа Фредгольма

В работе [1] рассмотрена задача Коши для одного двумерного линейного интегро-дифференциального уравнения первого порядка типа Фредгольма.

Для рассматриваемой задачи найдено интегральное представление решения.

В предлагаемой работе рассматривается достаточно общая задача для системы двумерных интегро-дифференциальных линейных уравнений типа Фредгольма.

Введя в рассмотрение аналог матрицы Коши, а затем резольвенту вспомогательного интегрального уравнения, получим представление решения рассматриваемой задачи Коши.

1 Постановка задачи

Рассмотрим систему интегро-дифференциальных уравнений zt (t, x) = A (t, x) z (t, x) + B (t, x) y (t, x) + f (t, x)(1)

( t , x ) e { 1 ₀ <  t <  T ; x ₀ <  x <  X } ,

z(10,x) = a(x),x e[x0,X],(2)

^x 1

y (t, x) = j [ C (t, x, s) z (t, s) + g (t, x, s >.(3)

^x 0

Здесь A ( t , x ), B ( t , x ), C ( t , x , s ) — заданные ( n x n ) матричные функции, непрерывные по совокупности переменных, f ( t , x ) и g ( t , x , s ) — заданные непрерывные по совокупности переменных n -мерные вектор-функции, а ( x ) — заданная n -мерная непрерывная вектор-функция.

Найдем представление решения задачи (1)-(3).

Отметим, что различные аспекты качественной теории интегро-дифференциальных уравнений вида (1) в частном случае изучены в работе [1].

Нашей целью является нахождения представления решения задачи (1)-(3).

2 Представление решения задачи Коши (1)-(3)

Интерпретируя уравнение (1) как линейное неоднородное обыкновенное дифференциальное уравнение по аргументу t на основе формулы об интегральном представлении решений таких уравнений (см. напр. [2; 3]), получим

t z (t, x) = F (t, 10, x) а (x) + jF (t, t, x) B (t, x) y (t, x) d т +

t

+ j F ( t , t , x ) f ( t , x )dT,                        (4)

где F ( t , t ) — ( n x n ) матричная функция (матрица Коши), являющаяся решением матричного дифференциального уравнения

F т ( t, т ,x ) = - F ( t, т ,x ) A( т ,x ),                    (5)

F ( t, t o , x ) = E

( E — единичная матрица).

Ясно, что xi

У ( т , x ) = j [ с ( т , x , s ) z ( т , s ) + g ( т , x , s ) ] ds .

^x о

Поэтому из (4) следует, что t x z (t, x) = jj F (t ,т, x) B (т, x) C (т, x, s) z (т, s) dsdт + t x о t xi

+ jj F ( t , т , x ) B ( т , x ) g ( т , x , s ) dsd т + t x о t

+ j F ( t , т , x ) f ( т , x ) d т + F ( t , t _о, x ) a ( x ).              (6)

t 0

Введем обозначения

Q ( t , x ; т , s ) = F ( t , т , x ) B ( т , x ) C ( т , x , s ),

t l (t, x) = F (t, 10, x) a (x) + jF (t ,т, x) f (т, x) dт + t0

t x i

+ jj F ( t , т , x ) B ( т , x ) g ( т , x , s ) dsd т .               (7)

t о x

Тогда с учетом обозначений (7) представление (6) принимает вид: t xi z (t, x) = l (t, x) + jj Q (t, x, т, s) z (т, s) dsdт.             (8)

t о ^x о

Таким образом, доказали, что z ( t , x ) является решением уравнения (8). В свою очередь, можно доказать (например, проверкой), что решение z ( t , x ) уравнения (8) допускает представление:

t xi z (t, x) = l (t, x) + jjR (t, x ,т, s) z (т, s) dsdт.             (9)

t о ^x о

Здесь R ( t , x, т ,s ) — ( n x n ) матричная функция, являющаяся решением уравнения:

t x i

R ( t , x , т , s ) = Q ( t , x , т , s ) + jj R ( t , x , a , в ) Q ( a , в , т , s ) d a d в .

^{т x} о

Используя формулу для l ( t , x ), преобразуем выражение:

1x, jj R(t,x,t,s)l(t,s)dsdT.

t 0 x 0

Имеем

t x, jj R (t, x ,t , s) l (t, s) dsdT = t 0 x 0

t x ,                                                                  t

= jj R (t, x ,T, s) [ F (t, 10, s) a (s) + j FT, a, s) f (a, s) da + t0 x0                                                         t 0

t x 1

+ jj F (t, a, s) B (a, s) g (a, s, в) dad в t0 x0

t x, jj R (t, x ,t, s)F (t

t 0 x 0

t 0 x 0

dsdT =

, t ₀, s ) a ( s ) dsd T +

T jR(t,x,t,s)F(T,a,s)f(a,s)da dsdT + .                                                   J

(,0)

jj jj R ( t , x , t , s ) F ( t , a , s ) B ( a , s ) g ( a , s , в ) d a d в dsd T .

t 0 ^x 0

. t 0 ^x 0

Далее, применяя теорему Фубини, получаем

jj j R ( t , x , t , s ) F ( t , a , s ) f ( a , s ) d a dsd T =

t x ,

t 0 ^x 0

T

. t 0

(,,)

t ^x 1

jj

t 0 ^x 0

T x, jj R (t, x ,t, s) F (t, a, s) B (a, s) g (a, s, в) dad в , t 0 x0

dsdT =

t x ,

=jj

t 0 ^x 0

t x, jj R (t, x, a, s) F (a,T, s) B (t, s) g (t, s, в) dad в

^{T x} 0

d T ds .

Учитывая тождество (10)-(12) в представлении (9), получим

t z (t, x) = F (t, 10, x) a (x) + jF (t ,t, x) f (t, x) dT + t0

t x ,

+jj F (t ,t, x)B (t, x) g (t, x, s) dsdT + t0 x0

(,2)

t ^X 1

t ^X 1

+jj R (t, x ,t , s)F (t, t0, s) a (s) dsdT + t0 X0

t

+ j j j R ( t , x , a ,s ) F( a , T ,s ) f ( t , s ) d a dsd T +

t X j

t0 X0 _ t X1

t

+ jj jj R ( t, x , a ,s ) F( a , T ,s ) B ( t , s ) g ( t , s , p ) d p d T ds .

t 0 ^X 0

^{T x} 0

Из (13) ясно, что z (t, s) = F (t, t0, s) a (s) + j F (t, t, s) f (t, s) dT + t 0

t X j

+

x

jj

t 0 ^X 0

t ^X 1

+jj F (t ,t, s) B (t, s) g (t, s, p) dTdp + t0 X0

t ^X 1

+jj R (t, s ,t, p)F (t, 10, p) a (p) dpdT + t0 X0

t

+ j j j R ( t , s , a , p ) F( a , T , p ) f ( t , p ) d a d p d T +

t 0 ^X 0 _

T

t ^X 1

jj R ( t , s , a , p ) F ( a , T , p ) B ( t , p ) g ( t , p , у ) d a d y

^{T X} 0

d T d p .

Поэтому из (12) получаем, что

^x 1

^х 1

У ( t , x ) = j g ( t , x , s ) ds + j C ( t , x , s ) F ( t , 1 0 , s ) + a ( s ) ds +

^X 0

^X 0

t X 1

+jj C (t, x , s) F (t ,t, s) f (t, s) dT + t0 X0

^X 1 t ^X 1

+ jjj C ( t , x , s ) F ( t , t , s ) B ( t , s ) g ( t , s , p ) d T d p ds +

^X 0 t 0 ^X 0

^X 1 t ^X 1

+ jjj C ( t , x , s ) R ( t , s , t , p ) a ( p ) d p d T ds +

^X 0 t 0 ^X 0

^X 1 t ^X 1 t

+ jjj j C ( t , x , s ) R ( t , s , t , p ) F( a , t , p ,f ( t , p )

d p d a ds +

^X 0 t 0 ^X 0 L ^T

X ] t X ] t

X

+JJJ JC(t’x’s)R(t’s’a,в)F(a,T,в)5T,в)g(t,в,Y)da x0 t0 x0 Lt x dYdтdв.

Таким образом, доказали, что решение ( z ( t , x ), y ( t , x )) задачи (1)-(3) допускает представление в виде (13), (14).

3 Об одном частном случае

В этом пункте изучается один важный частный случай задачи (1)-(3). В частности, установим связь полученного результата с результатом ра-боты [1].

Рассмотрим частный случай задачи Коши (1)-(3).

В области D = [t0,t ]x[x0,x1 ] рассмотрим двумерное линейное интег- ро-дифференциальное уравнение типа Фредгольма вида дУ (t, x) д t

b

= A ( t , x ) y ( t , x ) + J K ( t , x , s ) y ( t , s ) ds + f ( t , x ),( t , x ) e D

a с начальным условием Коши

y ( 1 ₀, x ) = a ( x ), x e [ x ₀, x ₁ ] .                      (16)

Здесь A(t, x) — заданная непрерывная в D (n x n) матричная функ ция, f (t, x), a(x) — заданные непрерывные соответственно в D и на [a,b]

n -мерные вектор-функции,   y ( t , x )  — искомая вектор-функция,

K ( t , x , s ) — заданная непрерывная в [ 1 ₀, t ₁ ] x [ x ₀, x ₁ ] x [ x ₀, x ₁ ] ( n x n ) матричная функция.

Нашей целью является нахождение представления решения задачи Коши (15)-(16).

Как видно, уравнение (15) является частным случаем уравнения (1). Это позволяет c более простыми рассуждениями получить представление решения задачи (15)-(16).

Задача (15)-(16) может быть интерпретирована как аналог задачи Коши для рассматриваемого уравнения (15).

Отметим, что в [1] для задачи (15)-(16) в скалярном случае и при предположении, что A ( t , x ) = Л = const , найдено, в частности, интегральное представление решения. Таким образом, задача (15)-(16) является более общей, чем соответствующая задача из [1].

В настоящем пункте при помощи вышеприведенной схемы получено интегральное представление решения задачи (15)-(16).

Введя обозначение x1

g (t, x) = f (t, x) + J K (t, x, s) y (t, s) ds, x0

система уравнений (15) записывается в виде:

⁵ y⁽t , x ) = A ( t , x ) y ( t , x ) + g ( t , x ).               (17)

d x

Поэтому, интерпретируя уравнение (17) как неоднородное линейное обыкновенное дифференциальное уравнение, решение задачи Коши (17)(16) на основе формулы Коши об интегральном представлении решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений можно представить в виде

t y (t, x) = F (t, 10, x) a (x) + JF (t ,t, x) g (t, x) dT.       (18)

t 0

Здесь F ( t , t , x ) — ( n x n ) матричная функция, являющаяся решением матричного дифференциального уравнения (аналог сопряженного уравнения).

⁵ F ⁽ t ^{, T} x ) =- F ( t , t , x ) A ( t , x ),                   (19)

OT

F ( t , t , x ) = E ( E — ( n x n ) единичная матрица).

Можно показать (см. напр. [3]), что F ( t , t , x ) по первому аргументу по ( t ) является решением следующего матричного дифференциального уравнения

⁵ F ⁽ t ^{, T} x ) = A ( t , x ) F ( t , t , x )                (20)

OT с начальным условием F(t,t, x) = E.

Используя вид вектор-функции g ( t , x ) из (18), будем иметь

t y (t, x) = F (t, 10, x) a (x) + JF (t, t, x) f (t, x) dT + t0

t x j

+ JJ F ( t , t , x ) K ( t , x , s ) y ( t , s ) dsd T .               (21)

t 0 ^x 0

Введем следующие вспомогательные обозначения t l (t, x) = F (t, 10, x) a (x) + J f (t, x) F (t, t, x) dt, t 0

Q ( t , x , t , s ) = F ( t , t , x ) K ( t , x , s ).                  (22)

Тогда представление (22) может быть записано в виде:

t x ]

y ( t , x ) = l ( t , x ) + JJ Q ( t , x , t , s ) y ( t , s ) dsd T .           (23)

t 0 ^x 0

Таким образом доказали, что решение задачи Коши (15)-(16) является решением линейного неоднородного интегрального уравнения (23) типа Вольтерра — Фредгольма.

Решение уравнения (23) допускает представление t х, y (t, х ) = l (t, х ) + Jj R (t, x ,t, s) l (t, s) dsdT.            (24)

t 0 ^X 0

Здесь (n x n) матричная функция R(t,х,t,s) (резольвента) является решением интегрального уравнения

R ( t , x , t , s ) = Q ( t , x , t , s ) + J J R ( t , x ; a , в ) Q ( a , в , т , s ) d a d в . (25)

t 0 ^X 0

Принимая во внимание (25), можно доказать, что резольвента R(t,x,t,s) удовлетворяет также уравнению tb

R ( t , x ; t , s ) = Q ( t , x , t , s ) + JJ Q ( t , х ; a , в ) R ( a , в , т , s ) d a d в . (26)

t 0 a

Учитывая (22) для l ( t , х ) в (24) и используя теорему Фубини (Дирихле [3]), после некоторых преобразований будем иметь

t y (t, x ) = F (t, 10, x ) a ( x ) + JF (t, t; x ) f (t, x ) dT + t0

t ^X 1

+ J J R ( t , x ; t , s )

t 0 ^X 0

T

F ( t , 1 0 ; s ) a ( s ) + J F ( t , a ; s ) f ( a , s ) t 0

dsd T =

t

= F (t, 10; x ) a ( x ) + J F (t, t; x ) f (t, x ) dT + t0

+ JJ R ( t , x ; t , s ) F ( t , 1 ₀; s ) a ( s ) dsd T + JJJ R ( t , x ; t , s ) F ( a , T , s ) f ( t , s ) d a dsd T .

t 0 ^X 0

t 0 ^X 0 ^T

Таким образом, доказали, что решение y ( t , х ) задачи Коши (15)-(16)

допускает следующее представление

t y (t, х) = F (t, 10; х) a (х) + JF (t, t; x ) f (t, x ) dT + t0

t ^X 1

+JJ R (t, x ;t, s) F (t, 10; s) a (s) dsdT + t0 X0

t X ] t

+ JJJ R ( t , x ; a , s ) F ( a , T , s ) f ( t , s ) d a dsd T .      (27)

t 0 ^х 0 ^t

Здесь матричные функции F ( t , t ; x ) и R ( t , х ; a , s ) определяются из соотношений (20) и (25) соответственно.

С учетом (22) из (25) получим, что

R (t, х ;t, s) = F (t ,t; x ) K (t, x , s) + tb

+ JJ F ( t , a ; x ) K ( a , x , в ) R ( a , в ; т , s ) d a d в . т a

Отсюда сразу следует соотношение

R ( t , x ; т , s ) = K ( т , x , s ).

Далее из последнего соотношения получаем, что дR (t, x ;т, s) дF (t ,т; x}

-------------=----------- K ( t , x , s ) + д t            д t

b

+ J F ( t , t ; x ) K ( т , x , в ) R ( t , в ; т , s ) d в +

a tb

+ JJ

dF ⁽ t , a; x ) к ( a , x , в ) r ( a , в ; т , s ) d a d в a t

= A ( t , x ) F ( t , т ; x ) K ( т , x , s ) +

b

+ J K ( т , x , в ) R ( t , в ; т , s ) d в +

a tb

+A (t, x) JJ A (t, x) F (t , a; x) K (a, x, в) R (a; в, т, s) dad в = A( t, x) x т a tb

X

F ( t , т ; x ) K ( т , x , s ) + JJ A ( t, x ) F ( t, a ; x ) K ( a , x, в ) R ( a , в ; т , s ) d a d в

+

т a

b

+ J K ( t, x, в ) R ( t, в ; т , s ) d в .

a

Таким образом, доказали, что матричная функция R(t,x;т,s), опреде ляемая как решение интегрального матричного уравнения (25), является решением следующей задачи Коши дR (t, x ;т, s) д t

b

= A ( t, x ) R ( t, x ; т , s ) + J K ( т , x, в ) R ( t, в ; т , s ) d в ,

a

R ( t, x ; т , s ) = K ( t, x, s ).

Изучим связь полученного результата в скалярном случае с результа-том из [1].

Пусть в задаче (15)-(16) A(t, x) = Л = const, а система уравнений ска лярная, т. е. n = 1. Тогда аналог задачи (15)-(16) в рассматриваемом ска- лярном случае принимает вид дУ (t, x) д t

^x 1

= Л у ( t , x ) + J K ( t , x , s ) у ( t , s ) ds + f ( t , x ),

x 0

У ( 1 0 , x ) = ф (x ). x e [ x 0 , x 1 ] .

При этом в силу того, что при n = 1, F ( t, т ,x ) = e^{2 (} t ^т ) представление (27) в случае рассматриваемой задачи (30)-(31) принимает вид:

t xi y (t, x) = e2 (t-T) a (x) + Jj e2 (t-T) R (t, xT, s )p( s) dsdT + t0 x0 t                                                t xi t

+J F (t ,t; x) f (t, x) dT + JJJ e2(a-T) R (t, x ;t, s) f (t, s) dadsdT + t0                                          t0 x0 T t x1

+JJ e^(t - t0) e^(T - t) R (t, x ’T, s )^( s) dsdT + t0 X0

t x t

JjJ e^{X (} t - ^T ) e^X ( a - ^T ) R ( t , x ’ T , s ) f ( t , s ) d a dsd T .

t 0 ^x 0 ^T

Следовательно, tb y (t, x) = e2 (t" t0)

^( x) + JJ e2(t-T) R (t, x; t, s )^( s) dsdT t 0 a

+ e ^{2 (} t ^{- T} )

tbt e2 (t-t ) f (t, x) dT + JJJ e2 (a-T) R (t, x ;t, s) f (t, s) dads

1 0 a t

d T .

Введем обозначение в виде

L ( t , x ; t , s ) = e ^{2 ( T -} t ) R ( t , x ; t , s ).

Тогда получаем, что

L ( t , x ; a , в ) = e ^{2 ( T -} t ) R ( t , x ; t , s ) e ^{2 ( a -} t ) ,

L ( a , в , т , s ) = e ^{2 ( T -} t ) R ( a , в ; т , s ) e ^{2 ( T-a} ) .

Далее, принимая во внимания формулу (28), получим, что

L (t, x ;т, s) = e2 (т- t) R (t, x ;т, s) = tb

+ e ^{2 ( T -} t )

e ^{2 ( T -} t ) K ( t , x , s ) + JJ e ^{2 (} t ^-a ) K ( a , x , Д ) R ( a , в ; t , s )) d a d в

t 0 ^a

Из (22) следует, что при n = 1

Q ( t , x ; t , s ) = e ^{2 (} t ^{- T} ) K ( t , x , s ),

Q ( t , x ; a , в ) = e ^{2 (} t ^{- a} ) K ( a , x , в ).

Поэтому из (33) получим, что

L ( t , x ; t , s ) = e ^{2 ( T -} t ) e ^{2 (} t ^{- T} ) K ( t , x , s )

t x i

+JJ e2 (T- t) e2 (t-a) K (a, x, в) R (a, в;т, s)) dad в = t0 x0

t X ]

= K ( т , x , s ) + JJ K ( a , х , в ) L ( a , в ; т , s )) d a d в .         (35)

t 0 ^X 0

Таким образом, доказали, что функция L(t,х;т,s), определяемая вышеприведенной формулой (35), является решением интегрального уравнения типа Вольтерра — Фредгольма tх,

L ( t , х ; т , s ) = K ( т , х , s ) + JJ K ( a , х , в ) L ( a , в ; т , s )) d a d в .     (36)

t 0 ^х 0

При этом из (29) получим y (t, х) = e2 (t - t0)

+ j e ^ ⁽ t - t 0 )

t 0

a

t X ]

( х ) + JJ L ( t , x , т , s ) ^ ( s ) dsd т

t 0 ^X 0

+

t X] t f (т, x ) + JJJ e2 (a -т) R (t, x ,т, s) f (т, s) dads t0 X 0 т

d т .

Из формулы (36) следует, что функция L ( t , х, т ,s ) является решением следующей системы интегро-дифференциальных уравнений

5 L ( t , х ; т , s )

= X J K ( t , X , в ) L ( t , в ; т , s )) ds , x 0

с начальным условием

L ( 1 0 , x ; т , s ) = K ( т , x , s ).

Формула представления (37) решения совпадает с аналогичным представлением решения задачи (30)-(31) из [1], полученным несколько иным способом.

Заключение

Рассмотрен аналог задачи Коши для системы линейных интегро-дифференциальных уравнений типа Фредгольма. Получено интегральное представление решение задачи Коши, используя матрицу Коши и резольвенту вспомогательной задачи. Изучен частный случай. Показано, как из этого результата в частном случае можно получить результат работы Е. А. Барбашина и Л. П. Бисяриной.