Функциональный анализ и дифференциальные уравнения. Рубрика в журнале - Вестник Бурятского государственного университета. Математика, информатика
Exact finite difference schemes for solving wave equation
Статья научная
The best finite-difference scheme for the Wave equation is suggested. A method of solving obtained finite-difference scheme is developed. The Wave equation is applied to physical and economic problems. The efficiency and accuracy of method were tested on several examples.
Бесплатно
On a property of Riemann zeta function
Статья научная
The Riemann zeta function and his famous conjecture regarding the property of this function were presented in his 1859 paper, which was concerned about the distribution of prime numbers. In this article, we will prove some properties of Riemann zeta function and based on those results we will formulate Theorem. An exposition is given, partly historical and partly mathematical, of the Riemann zeta function and the associated Riemann hypothesis. Relevance of these investigations to the theory of the distribution of prime numbers is discussed.
Бесплатно
Аналог формулы Коши для однолинейного интегро-дифференциального уравнения типа Фредгольма
Статья научная
Рассматривается задача Коши для одного класса линейных неоднородных интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма, являющегося обобщением интегро-дифференциального уравнения Е. А. Барбашина. Подобные уравнения описывают динамику некоторых сложных процессов. В частности, рассматриваемая в работе задача Коши для системы интегро-дифференциальных уравнений типа Фредгольма описывает динамику ряда популяций. Поэтому разработка качественной теории подобных интегро-дифференциальных уравнений, обобщающих интегро-дифференциальные уравнения Е. А. Барбашина, является актуальной. В работе получено интегральное представление решения рассматриваемой задачи Коши. Полученное представление решения в дальнейшем может быть использовано для исследования качественной теории оптимального управления динамики некоторых популяций. С помощью этого представления можно получить как необходимые и достаточные условия оптимальности, так и исследовать задачи, связанные с управляемостью и наблюдаемостью в задачах оптимального управления, описываемых рассматриваемой системой интегро-дифференциальных уравнений. Полученный результат является нетривиальным обобщением аналогичного результата, установленного в работе Е. А. Барбашина и Л. П. Бисяриной. Изучена связь полученного результата с близким результатом Е. А. Барбашина и Л. П. Бисяриной, установленного другим способом только для скалярного уравнения с постоянным коэффициентом. Полученное представление для рассматриваемой общей задачи носит конструктивный характер.
Бесплатно
Априорные оценки градиента решения уравнения некоторого класса Монжа - Ампера
Статья научная
Решение вопроса о существовании и единственности поверхностей с заданными геометрическими характеристиками в различных пространствах связано с отысканием априорных оценок решения в соответствующей метрике нелинейного дифференциального уравнения Монжа - Ампера. К таким геометрическим характеристикам относят гауссову кривизну, среднюю кривизну, сумму главных радиусов кривизны и др. В работе рассматриваются гомеоморфные сфере единичного радиуса поверхности из класса регулярных выпуклых в трехмерном пространстве постоянной отрицательной кривизны с заданной функцией внутренней (гауссовой) кривизны. Внутренняя кривизна рассматривается как функция точки трехмерного пространства Лобачевского. Решение дифференциального уравнения Монжа - Ампера предполагается функцией, заданной явно в сферических координатах. В работе изложена процедура построения априорных оценок первых производных решения уравнения. Предполагается наличие оценок самого решения.
Бесплатно
Статья научная
В данной работе рассматриваются архитектуры сегментации изображений и их практическое применение для беспилотной посадки, примеры реализованных систем доставки товаров дронами. Выбрана и реализована оптимальная посадка дрона с использованием сегментации изображения нейронной сетью. Выбран и модифицирован набор данных для обучения, путем отзеркаливания изображения и разворота изображения. Создана дополнительная выборка данных с использованием приложения, симулирующего полёт дрона в настраиваемом окружении. Найден способ быстрой разметки видеозаписи приземления дрона. Представлены результаты тестирования нейронных сетей различных архитектур для выявления оптимальной для решаемой задачи. Были применены две разные метрики точности нейронной сети для получения достоверных данных о распознавании. Были выбраны наиболее точно узнаваемые классы окружения. Для этого было создано три варианта нейронных сетей с разным набором классов. Результаты были проанализированы и выбраны наиболее узнаваемые классы. Создана финальная нейронная сеть на основе архитектуры LinkNet. Исходя из высоты дрона выбрана зона приземления и зона для последующей сегментации. Найдена оптимальная высота полета над поверхностью для начала процедуры приземления.
Бесплатно
Бифуркации сшитого фокуса кусочно-гладкой динамической системы с центральной симметрией
Статья научная
В работе исследуются динамические системы на плоскости, задаваемые кусочно-гладкими векторными полями, зависящими от параметров. Рождение периодических траекторий из особой точки на линии разрыва поля при изменении параметров при разных условиях рассматривалось во многих работах. В частности, изучались бифуркации сшитого фокуса, аналогичные бифуркации Андронова - Хопфа негрубого фокуса гладкого векторного поля. Поскольку динамические системы, используемые в приложениях, часто обладают разного рода симметрией, несомненный интерес представляет изучение бифуркаций в таких системах. Мы рассматриваем кусочно-гладкое векторное поле, «сшитое» из гладких векторных полей, определенных в верхней и нижней полуплоскостях, не меняющееся при преобразовании симметрии относительно начала координат О и имеющее в начале координат сшитый фокус кратности один или два. Описаны бифуркации фазовых портретов в окрестности точки О, соответственно при типичных однопараметрических и двухпараметрических возмущениях векторного поля. В частности, указаны области параметров, для которых в окрестности О существуют предельные циклы.
Бесплатно
Статья научная
Проведено изучение необходимых и достаточных условий существования нелинейных дифференциальных реализаций пучков бихевиористических систем (динамических систем Я. Виллемса) в классе квазилинейных нестационарных обыкновенных дифференциальных уравнений в равномерно выпуклом банаховом пространстве.
Бесплатно
Статья научная
В работе рассматриваются дифференциальные уравнения на окружности, правые части которых являются однородными тригонометрическими полиномами степени n. Множество E таких уравнений отождествляется с числовым пространством упорядоченных наборов коэффициентов соответ -ствующих тригонометрических полиномов. Уравнение из E называется грубым, если топологическая структура его фазового портрета не меняется при переходе к близкому уравнению. Множество грубых уравнений открыто и всюду плотно в пространстве E. В статье доказано, что у связной компоненты множества грубых уравнений из E, содержащей уравнения с особыми точками, фундаментальная группа изоморфна группе целых чисел, а остальные гомотопические группы нулевые. Связные компоненты, содержащие уравнения без особых точек, стягиваемы.
Бесплатно
Дифференциальное уравнение типа Клеро в частных производных со степенной функцией
Статья научная
Целью исследования данной работы является изучение дифференциальных уравнений типа Клеро в частных производных первого порядка со специальной правой частью. Для обыкновенного дифференциального уравнения Клеро нахождение общего решения не представляет особого труда и подробно описано в курсах теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Помимо общего решения, представляющего собой семейство интегральных прямых, для обыкновенного дифференциального уравнения Клеро существует особое решение, которое есть огибающая данного семейства. В теории дифференциальных уравнений в частных производных существуют дифференциальные уравнения типа Клеро, которые представляют собой многомерные обобщения обыкновенного дифференциального уравнения Клеро. Отметим, что для уравнения в частных производных типа Клеро не всегда существует особое решение. Настоящая статья посвящена проблеме описания особого решения уравнений типа Клеро, правая часть которой имеет вид степенной функции от произведения n-сомножителей.
Бесплатно
Статья научная
Поставлена и решена задача Дирихле для уравнений Гельмгольца электромагнитных волн, распространяющихся в эллиптическом цилиндре, заполненном продольно намагниченным ферритом, который описывается тензором второго ранга. Предполагается, что цилиндр имеет бесконечно проводящую стенку. Для решения краевой задачи уравнений Гельмгольца для продольных компонент электромагнитных волн применяется метод укорочения исходного дифференциального уравнения и метод разделения переменных. Решение указанной краевой задачи в эллиптических координатах связано с использованием четных и нечетных обыкновенных и модифицированных функций Матье 1-го рода. Используя полученные результаты, определены все компоненты электромагнитных волн для четных и нечетных решений. Применив условие Дирихле к компонентам электромагнитных волн и решив систему линейных однородных алгебраических уравнений, получены дисперсионные уравнения электромагнитных волн, которые имеют важное практическое значение и позволяют проводить исследования распространения гибридных волн в данной области.
Бесплатно
Задача Коши в целом для бицилиндрической области голоморфности начальных данных
Статья научная
В данной работе доказаны две теоремы о решении задачи Коши в целом для одного специального класса уравнений за счет того, что уравнение рассматривается в комплексной области.
Бесплатно
Задача Коши для нагруженного вырождающегося гиперболического уравнения
Статья научная
В работе исследуется однозначная разрешимость задачи Коши для нагруженного уравнения с оператором Лаврентьева - Бицадзе в главной части. Нагрузка определена в фиксированных точках области искомых решений. Область решения ограничена линиями характеристик и отрезком AB оси абсцисс, где А(0; 0), В(1; 0). Рассматривается регулярное решение задачи. Это решение из класса непрерывных в замыкании области, дважды непрерывно-дифференцируемых внутри этой области. Доказана теорема существования и единственности такого решения. Задача эквивалентно (применяя формулу Даламбера) сведена к системе алгебраических уравнений. Для нее методом математической индукции доказана лемма однозначной разрешимости. Приведен явный критерий разрешимости задачи. Рассмотрен отдельно случай постоянных коэффициентов. Построен пример с нарушением условий разрешимости задачи. Предложена также процедура решения.
Бесплатно
Задача Коши для одного класса эллиптических уравнений
Статья научная
Доказаны две теоремы о решении задачи Коши в целом и для одного специального класса уравнений за счет того, что уравнение рассматривается в комплексной области.
Бесплатно
Задача Коши для системы параболических уравнений в анизотропных пространствах Зигмунда
Статья научная
В работе рассматривается задача Коши для системы параболических уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами в весовых анизотропных пространствах Зигмунда. Для таких параболических систем установлены оценки потенциала Пуассона. Полученный результат используется в построении шкалы гладкости решения задачи Коши для параболических систем с нулевой правой частью в пространствах Зигмунда с весом.
Бесплатно
Задача Коши для уравнения Лапласа с тремя независимыми переменными
Статья научная
Применение комплексно-аналитических методов делает естественным рассмотрение уравнений с частными производными в комплексном пространстве. Класс эллиптических уравнений в частных производных с аналитическими коэффициентами является наиболее подходящим для исследования этим методом.
Бесплатно
Статья научная
В статье приводится доказательство единственности и существования решения Коши для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения. Исследована задача с нелокальными краевыми условиями на характеристиках уравнения для нахождения регулярного решения уравнения смешанного типа. Нелокальные условия содержат операторы дробного в смысле Римана - Лиувилля интегро-дифференцирования. Доказано, что при выполнении определенных условий не может существовать более одного решения. Вопрос разрешимости задачи эквивалентно редуцируется к вопросу разрешимости системы интегральных уравнений, представляющей собой систему сингулярных интегральных уравнений. Найдено условие, которое гарантирует существование регулятора, приводящего систему сингулярных интегральных уравнений к уравнениям Фредгольма второго рода. Из возможности приведения задачи к эквивалентным интегральным уравнениям Фредгольма второго рода и единственности искомого решения следует существование решения задачи.
Бесплатно
Интегро-дифференциальные уравнения с вырождением в банаховых пространствах
Статья научная
В работе исследуются интегро-дифференциальные уравнения в банаховых пространствах специального вида с нетеровым оператором в главной части. Исследования проводятся в пространстве обобщенных функций со значениями в банаховых пространствах и с носителем на положительной полуоси. В работе применяется аппарат фундаментальных оператор- функций, который позволяет восстанавливать обобщенное решение в сверточном виде и уже на этой основе получать теоремы о разрешимости исследуемых задач в классах функций конечной гладкости. Такой метод исследования позволяет автоматически решать задачу согласования входных данных для существования классических (гладких) решений, а также получать формулы для представления решений как в пространстве распределений, так и в пространствах функций конечной гладкости. Рассмотренные в работе интегро-дифференциальные уравнения позволяют в наиболее общей постановке исследовать математические модели теории колебаний в вязкоупругих средах или теории электрических цепей.
Бесплатно
Статья научная
Многие задачи математической физики для дифференциальных уравнений с частными производными выражаются уравнением Лапласа эллиптического типа, которые рассматриваются в основном в виде задач с локальными краевыми условиями Дирихле, Неймана и третьего типа, носителями которых является вся граница, так как в каждом случае для такого уравнения второго порядка эти условия являются достаточными. Однако, поскольку уравнение Коши - Римана является эллиптическим уравнением первого порядка, краевая задача может не иметь решения при любом из указанных выше условий. Поэтому для преодоления этого противоречия граничное условие, являющееся носителем всего граничного условия, задается нелокально. В связи с этим данная работа посвящена исследованию решения одной граничной задачи с нелокальными граничными условиями для уравнения с главной частью эллиптического типа первого порядка. Целью исследования являлось сведение задачи к соответствующей задаче для интегрального уравнения Фредгольма второго рода.
Бесплатно
Статья научная
Приводятся функционально-геометрические условия (необходимые и достаточные) существования пяти нестационарных билинейных операторов в модели дифференциальной реализации континуального пучка управляемых траекторных кривых (динамических процессов типа «вход - выход» мощности ≤ expﬡ0) в классе билинейных неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка (в том числе квазилинейных гиперболических моделей) в вещественном сепарабельном гильбертовом пространстве. Рассматриваемая задача относится к типу нестационарных нелинейных коэффициентных обратных задач для эволюционных уравнений в гильбертовом пространстве и решается на основе качественного изучения свойства непрерывности функционального оператора Релея - Ритца. При этом показано, что структура фундаментальной группы образа данного оператора зависит от размерности проективного пространства, на котором он действует. Полученные результаты имеют приложение к качественной теории нелинейной структурной идентификации полилинейных нестационарных дифференциальных моделей высших порядков.
Бесплатно
К реализации полилинейного регулятора нестационарной гиперболической системы
Статья научная
Изучены некоторые качественные вопросы существования решения обратной задачи нелинейного бесконечномерного системного анализа в области разрешимости операторной реализации инвариантного полилинейного регулятора нестационарной гиперболической системы. Исследуемая постановка прецизионного математического моделирования рассматривает случай, когда для двух различных пучков (конечных, счетных или даже континуальных) нелинейных управляемых динамических процессов типа «траектория, программное управление», индуцированных в вещественном сепарабельном гильбертовом пространстве некоторой заданной нестационарной гиперболической системой, но с разными полилинейными регуляторами, получены достаточные условия разрешимости задачи реализации оператор-функций общего (инвариантного) полилинейного регулятора, при наличии которого в структуре уравнений данной гиперболической системы объединение этих динамических пучков представляет фиксированное семейство ее допустимых решений. Исследование проведено в свете современных представлений о геометрии бесконечномерных векторных полей на основе качественного изучения свойства полуаддитивности нелинейного функционального оператора Релея - Ритца.
Бесплатно
