Априорные оценки градиента решения уравнения некоторого класса Монжа - Ампера

Рассмотрим вопрос восстановления выпуклой гомеоморфной сфере поверхности трехмерного пространства постоянной отрицательной кривизны (пространства Лобачевского, гиперболического пространства H ³ ) по ее внешней кривизне, заданной как функция точки пространства H ³ .

Аналитически данная задача сводится к решению нелинейного уравнения с частными производными второго порядка (типа Монжа — Ампера) на сфере как двумерном многообразии.

1 Постановка задачи

Поверхность считаем регулярной и звездной относительно некоторой фиксированной точки O пространства H ³.

В H ³ фиксируется некоторая точка O и сфера S 1 ² с центром в этой точке радиуса 1.

Регулярную выпуклую гомеоморфную S 1 ² и звездную относительно точки O поверхность в сферических координатах u , v , p можно задать уравнением F : р = p ( u , v ).

Сформулированная выше геометрическая задача существования и единственности поверхности F в пространстве H ³, гауссова кривизна которой в каждой точке равна значению заданной в H ³\ { O } функции K _int( u , v , р ) = K в той же точке, сводится к исследованию следующего уравнения Монжа — Ампера [1; 2]:

Р 11 Р 22 - ph - Р 11 (2 cth p • p V + sh p • ch p ) + 2 A, P u P v Cth P -

- p ₂₂(2 cth p- p U + sh p- ch p cos² v ) -

Р

- ( p ²cos² v + —— )² + 2 p ^ + 2 p ²cos² v + sh ² p cos² v = cos v

/2.2   2.j2   2/2

Ki ^{( u} , ^v , p )

( p _u + p _v cos v + sh p- cos v ) cos² v

Здесь p _i j — вторые ковариантные производные функции p = p ( u , v )

относительно метрики единичной сферы S ₁² .

Условием отрицательной эллиптичности указанного выше уравнения является положительность внешней кривизны K ex_t = K _int + 1.

При некоторых ограничениях на функцию Ki (u, v, p) имеет место утверждение о расположении поверхности F, а именно: пусть в H3 фикси рованы две концентрические сферы Sp и Sp,^ (p1 < p2) с центром в точке O и радиусами p, и p2 соответственно. Пусть функция Kint (u, v, p), определенная в S12 х R +, удовлетворяет с условию: Kint (u,v, p)>-1

( K ext + 1 > 0);   K i ( u , v , p ) =

1 sh ² p

+ h ( u , v , p ) ,

h >  0 внутри сферы S p и

h <  0 вне сферы S p 2₂. Тогда любое решение p = p ( u , v ) указанного выше уравнения Монжа — Ампера задает поверхность F , расположенную между сферами S p ²₁ и S p ²₂ [2].

Заметим, что атлас на многообразии S ₁² выбран так, что в локальных координатах u , v каждой карты cos v >  a >  0 .

2 Построение априорных оценок

Рассмотрим процесс получения равномерных по u, v априорных оценок первых производных решения pu (u, v) и pv (u, v) исследуемого урав нения.

H3 геодезически отобразим в открытый единичный шар в евклидовом пространстве E3 с центром в точке O с декартовой системой координат O, x, y, z, то есть воспользуемся моделью Кэли — Клейна гиперболи ческого пространства H3. Координаты x, y, z для точек H3 называют ся бельтрамиевыми, линейный элемент пространства H3:

dss

( xdx + ydy + zdz )² + (1 - x ² - y ² - z ²) • ( dx ² + dy ² + dz ²) (1 - x ² - y ² - z ²)²

Поверхность F в этой модели изображается выпуклой евклидовой гомеоморфной сфере, точка O лежит внутри F .

Пусть M0(u0, v0,р(u0, v0)) — фиксированная точка поверхности F, заданной функцией p = p(u,v), где p(u,v) — решение исследуемого уравнения Монжа — Ампера.

Рассуждения будем вести в карте у сферы S12, где x = th1sin v,

Y ^{- 1}:

y = th lcos v sin u , cos v >  a >  0. z = th lcos u cos v ,

В этом случае формулы перехода от сферических координат к бельт-рамиевым принимают следующий вид:

x = th p sin v ,

< y = th p cos v sin u , z = th p cos u cos v .

Рассмотрим движение D пространства H3, которое оставляет непод- вижной точку O(0,0,0) и переводит точку M0 в точку M0, лежащую на отрицательной полуоси Oz. Это движение можно задать матрицей:

cos v ₀

- sin v ₀sin u ₀

- sin v ₀ cos u ₀

D =

cos u ₀

- sin u ₀

.

- sin v ₀

- cos v ₀sin u ₀

- cos v ₀cos u ₀ J

В силу того, что поверхность F расположена между сферами S p и S p,^ , то движение D переводит поверхность F в поверхность F = D ( F ), расположенную между сферами D ( S p ) = S p и D ( S p^ ) = S p_v

Возьмем на плоскости xOy круг K: x2 + y2 = th2p1 и вырежем прямым цилиндром с направляющей K и образующей, параллельной оси Oz из F область, содержащую точку Mо и однозначно проектирующуюся на плоскость xOy. Эту область можно задать явным уравнением в бельтра-миевых координатах: z = z(x,y).

Далее, рассмотрим круговой конус K 0 с вершиной в точке Mо и направляющей K . Этот конус обращен выпуклостью в сторону z < 0, его вершина Mо имеет координаты (0,0, z(0,0)). Касательная плоскость к поверхности z = z(x, y) в точке M0 является одной из опорных плоскостей конуса K 0. Нормальное изображение конуса K 0 представляет собой круг на плоскости (p, q) с центром в точке (0,0) [4]. Так как высота конуса не превосходит thp2, нормальное изображение конуса K 0 содер- жится в круге

2      2

p + q

th ² p ₂

" th ² p 1 ’

следовательно, zx2(0,0) + zy2 (0,0) < th^-, th2 p1

отсюда имеем неравенства zx(0,0)|

Теперь покажем, что из ограниченности первых производных функции z = z(x, y) в точке (0,0) следует ограниченность первых производных функции p (p задает поверхность F) в точке (п, 0).

Точке M 0 на .S '2 соответствует точка ( и 0 , v 0 ) = ( п ,0), принадлежащая карте у .

^{Так как z} u = ^z x • x u ^{+ z} y • У u , ^z v = ^z x • x v ^{+ z} y • y v , ^t0, используя формулы перехода от сферических координат к бельтрамиевым, будем иметь :

р _и (cos v cos и - z x • sin v - z y cos v sin и ) = sh p ch p cos v ( z x sin и + z y cos и ),

P v (cos v cos и - z x • sin v - z y cos v sin и ) =

	= sh p ch p (sin v cos и + z x cos v - z y sin v sin и ).
Тогда:	Р и ( п ,0) = sh p ( n ,0) ch p ( n ,0) z y (0,0), P v ( п ,0) = - sh p ( п ,0) ch p ( n ,0) z x (0,0).

Отсюда, используя имеющиеся выше результаты, будем иметь:

P u ⁽ ^ ’⁰⁾| ^- sh r²"’ ^p v ( ^ ,°)| ^- sh —² -

• ^{1             1}     th p 1 ^{1             1}     th p 1

Далее, при движении D образом произвольной точки ( x , y , z ), где x = th p sin v ,

< y = thpcosvsinu, z = thpcos u cos v, является точка (x, y, z), где x = thp(cos v° sin v - sin v° cos v cos(u - u°)),

• < y = th p cos v sin( u - u ° ),

z = -thp(sinv° sinv + cos v° cos vcos(u - u°)), следовательно, sinv = cos v° sinv - sinv° cosvcos(u - u°), cos vsinu = cosvsin(u - u°).

Продифференцируем последние равенства по u и v :

• -    9 v      .                . ,.

cos v --= sin v ₀ cos v sin( u - u₀ );

9u       °°

• -    9 v                         .       .          ,.

cos v --= cos v ₀ cos v + sin v ₀ sin v cos( u - u₀ );

9v        °             °°

• -    - 9 u . - . - 9 v            ,,

cos v cos u ---sin v sin u --= cos v cos( u - u ° );

9u

• -    - 9 u    . - . - 9 v      . . _z ,

cos v cos u ---sin v sin u --= - sin v sin( u - u ° ) .

• dv

Отсюда следует, что

• 9    v д v д u

— ⁽ u ° ’ v ° ) = °’ —⁽ u ° ’ v ° ) = 1’ —⁽ u ° ’ v ° ) = ^- cos v ° ’ —⁽ u ° ’ v ° ) = °.

• 9    u 9 v 9 u

Тогда pu(u °’v°) = pM (^,°) |u(u °’ v°)+ pv (^,°) |v(u °’v°) = - pM (^,°)cos v °;

• 9    u

p v ^{( u} ° ’ ^v ° ) = p u ^{( n ,}°) l u ^{( u} ° ’ ^v ° ) ⁺ p v ^{( n ,}°⁾ l v ^{( u} ° ’ ^v ° ) =^- p v ^{( n ,}°) .

• 9    v

Отсюда и из предыдущих выкладок имеем:

I          , sh p I pu (u °’ v°) - —---’ pv (u °’ v°) - — thp1                  thp1

Если точка сферы принадлежит области определения другой ее карты Y 1 , то, записывая для у 1 формулы перехода от сферических координат к бельтрамиевым, выбираем движение D так, чтобы оно оставляло O (°, °, °) неподвижной, а нашу точку переводило на определяемую по / 1

координатную полуось. Направляющую K цилиндра проектирования берем на ортогональной этой полуоси координатной плоскости.

Все остальные рассуждения полностью аналогичны приведенным выше для карты у .

Заключение

Для любой точки сферы S ²₁ имеем априорные оценки первых производных функции р = р (u , v ), которая является решением исследуемого уравнения Монжа — Ампера.

А именно, имеет место следующий результат: в условиях ограничений на функцию K int = K ( u , v , р ), сформулированных ранее, есть априорная оценка первых производных функции р = р ( u , v ) (то есть градиента решения уравнения Монжа — Ампера):

I _х I sh О-» I _х I sh р P u ^{( u} 0, ^v 0) ^ —---, P v ⁽ u 0, ^V 0) ^ —---

.

th p 1                   th p 1