自学成才的组合数学家陆家羲的学术成就简介 --纪念中国国家自然科学一等奖获得者陆家羲诞辰 90 周年

摘要 .陆家羲（ 1935-1983 ）， 内蒙古包头市九中物理教师， 自学成才的组合 数学家， 1983 年证明了国际数学界 130 多年未能证明的 “ 不相交斯坦纳三元系 大集定理 ” ，获得中国政府第三次颁布的 1987 年国家自然科学一等奖， 1984 年他的 “ 可分解平衡不完全区组设计的存在性理论 ”（RBIBD） 发表 , 标志着柯克 曼女生相关问题的解决达到一个新的水平。

关键词 ：陆家羲；组合数学；区组设计；不相交斯坦纳三元系大集；柯克曼 女生问题。

陆 家羲 （1935–1983） ， 上海人， 包 头 九中原物理教 师 ，以 “ 论 不相交斯坦 纳 三元系大集 ” 系列 论 文 荣 获 我国 国家自然科学一等 奖 （1987 年 ） 。

1950 年代初期， 陆 家羲得到一本 孙泽 瀛先生的《数 学方法趣引》， 这 是介 绍 近代数学 （ 组 合 论 和 图论 ） 的一 本通俗 读 物。此 书 105 页 ， 讲 了哥尼斯堡七 桥 、哈密 尔 顿 周游世界、四色定理、十五棋子、幻方、欧拉三十六 军 官、火柴游 戏 和科克曼女生共 8 个 问题 。 陆 家羲 对 最 后一个 问题产 生了很大 兴 趣。 书 上写道： “ 这 是非常困 难

的 问题 ” ， “ 还 在未解决之列 ” ， “ 至今 还 没法 证 明 ”…… 组合学家陆家羲 1935– 1983

一共 6 页 的介 绍 ，把 这 个年青人完全吸引住了。他自己也没有料到， 这 本小 册子把他引入数学大厦之 门 ，确定了他 终 生的道路。

陆 家羲在 组 合 设计 方面 获 得了 3 项 重大成果， 简 要介 绍 如下。

一、 证 明“科克曼女生 问题 ”存在性定理

“ 十五女生问题 ” 是英国神甫、数学家科克曼 (T. P. Kirkman, 1806-1895) 于 1850 年在《女士与先生之日记》 “ 疑问六 ” 一文里提出来的，并于翌年在同刊上 作 出解 答。该问题和他的解决方案已见本书。与此不同的方案还可以写出一些来 ** ₀ ®

但这仅为 v =15 的情况。当 v =18 时就不可能作出类似的分组和散步安排。进 一步的研究表明， v =6 k +3( k =1, 2,…) 是分组存在的必要条件，但它是否充分的？ 数学家把这个问题推广，成为一般 “ 科克曼女生问题 ” ：就是需要证明科克曼三元 系 (Kirkman triple systems) 存在的必要条件 v ≡3(mod 6)( 即 v 减 3 须能被 6 整除 ) 也是充分的。解决它的难度很大，在孙泽瀛先生写书时，已经过去 100 多年了， 还未被攻克。

陆家羲向孙先生写信请教，千方百计翻查各种资料，大学期间潜心研究，在 刚毕业的 1961 年，就完成一篇题为 “ 冠克满系列和斯坦纳系列的制作方法 ” 的论 文。他后来写道，他解决了这一著名难题。 1961 、 1963 、 1965 年，陆曾 3 次将 论文寄给一些研究所和学报。但是，由于种种原因，该成果当时未受重视，遂被 埋没。 1983 年他去世后人们整理他的遗稿，仅发现 1965 年文。 1985 年经组合学 专家审定，该文已解决了这一著名难题。

1971 年查德哈利 (D. K. Ray Chaudhuri) 和威尔逊 (R. M. Wilson) 发表 “ 科克曼 女生问题的解 ” ，攻克了百余年的疑难，列入教科书《组合学导引》 (1977) ，戴 上了胜利的桂冠。 “ 文革 ” 几年后陆家羲才得知这一情况。虽然他早已解决，而且 有历史材料可供佐证，但学术界不会承认未发表的成果，这对陆来说，无疑是一 打击，但他并没有气馁。

二、证明 “ 不相交斯坦纳三元系大集 ” 定理

我们先介绍有关基本概念和它的历史发展，其中有的内容需要读区组设计的 书。

今有一类基本的组合设计问题：将集合 X 中的 v 个不同元安排到 b 个区组 ( 子集 ) 中，使得 (i) 每一区组恰含 k 个不同元， (ii) 每元恰出现于 r 个不同区组， (iii) 每对不同元恰出现于 λ 个不同区组。这类设计叫平衡不完全区组设计 (balanced incomplete block design) ， 简写为 BIBD ， 在统计学的实验设计理论中

很有用处。 一个BIBD有5个变量，所以记作(b, v, r， k,λ)设计。 易于证明，5 个变量间有两个基本关系； b k = v r                                            (1)

r ( k– 1) = λ ( v –1)                                       (2)

当 k =3 ， λ =l 时的 BIBD 叫斯坦纳三元系 (Steiner triple systems ) ， 简记为 S ( v ) ， 说明它有 v 个元，或阶为 v 。 S ( v ) 由科克曼最早提出： 1847 年他在《剑桥与都柏 林数学杂志》上著文 “ 关于一个组合问题 ” ，提出并证明了这种三元系存在的必要 充分条件是 v ≡1 ， 3 (mod 6) 。 1853 年，出生于瑞士的德国几何学家斯坦纳 (J. Steiner, 1796-1863) 在一篇两页的论文中再次提出 v ≡1 ， 3 (mod 6) 这一必要条件 对该三元系的存在是否也是充分的。以后有人解决了它，冠以 “ 斯坦纳三元系 ” 的 名字，流传开来，科克曼的名字反而不为许多人所知了。

一个 S ( v ) 的区组数为     b = v ( v– 1) / 6

例如，一个 S (7) 若用 1 ， 2 ， … ， 7 来表示它的元，则为

1 2 3 1 4 5 1 6 7 2 4 6 2 5 7 3 4 7 3 5 6

这是 (7 ， 7 ， 3 ， 3 ， 1) 设计。又如，一个 S (9) 是一个 (12 ， 9 ， 4 ， 3 ， 1) 设计：

1 2 3   1 4 7   1 5 9   1 68

4 5 6  2 5 8  2 6 7  2 49

7 8 9  3 6 9  3 4 8  3 57

b =12 个区组可由第一个方阵按行列式展式中 6 个乘积的顺序排出，另加 3 横 行、 3 纵列。

如果一个 S ( v ) 能够通过调换元素的命名或区组排列而得到另一个，那么就 认为它们是等价的，否则，就是不同的。如果两个 S ( v ) 没有一个区组是共同的， 那么它们是不相交的，或称互斥的。用 D ( v ) 来表示区组两两互不相交的 S ( v ) 的最 大个数，易知对 v ≥3

l≤ D ( v ) ≤ v– 2                                         (4)

由于 v 元集 X 所能构成的全部不同的三元组的总数是 ( ^v 3 ) = v ( v– 1)( v– 2) ／ 6 ， 由

(3) 知一个 S ( v ) 共有 b = v ( v– 1) ／ 6 个不同的三元组，于是有猜测 D ( v ) = ( 3 ^v ) ／ b = v –2 (5)

满足 (5) 的所有 v– 2 个 S ( v ) 叫做不相交斯坦纳三元系大集。例如 D (9)=7 ，此只 列 7 个方阵：

1 2 4   1 2 8   1 2 5   1 2 9   1 2 3  l 2 6   1 27

3 7 8  9 4 3  9 8 3  7 4 3  4 6 9  3 5 7  3 46

9 5 6  7 6 5  4 7 6  5 8 6  7 8 5  4 8 9  5 98

每个方阵可用例 S (9) 所示方法展开成具有 12 个三元组的 S (9) ， 7 个不相交 S (9) 共有 84 个不同三元组，即为一大集。英国数学家凯利 (A ． Cayley) 在 1850 年证明了 D (7)=2 ，即不相交 S (7) 只有两个而非 5 个。对上边例 S (7) 而言，另一个 是

3 5 7 1 2 7 1 3 4 1 5 6 2 3 6 2 4 5 4 6 7

这两个 S (7) 不构成大集。陆家羲就是在这个大集问题上，作出了具有国际第 一流水平的成果。

1977 年，中国迎来了科学的春天，陆家羲象一个衔枚疾走的战士，又发起了新 的进攻 —— 这次他选定的目标， 就是 130 多年未解决的 “ 不相交斯坦纳三元系大 集 ” 问题。

大集问题在历史上是逐步形成的。继凯利证明 D (7)=2(1850) 、科克曼证明 D (9)=7(1850) 之后，西尔沃斯特 (J. J. Sylvester, 1814-1897) 在 1861 年、瓦列斯基 在 1883 年、贝思 (S. Bays) 在 1917 年、艾木克 (A. Emch) 在 1929 年都重复证明 了 D (9)=7 ，百余年间踏步不前，这种状况持续到 1974 年，德尼斯顿 (R. H. F. Denniston) 等人算出满足 D ( v )= v –2 的阶数较低的 v , 有的是借助计算机才找到的。 到 1976 年前，对 v ≡1 ， 3(mod 6) ， 9≤ v ≤205 ，除了 v =37 ， 85 ， 97 ， 109 ， 133 ， 141 ， 145 ， 157 ， 181 ， 195 之外，其余的 v ，方能满足 D ( v )= v– 2 。 由于 v 是无穷 多的，这些结果虽是必要的，但还差得远，问题显示出特殊的困难性。

数学家们开辟了另一条道路。 1917 年，贝思提出一个猜想，即对任 v =1 ，

3(mod 6)，v>7，是否存在           D(v) ≥(v–1)/2(6)

贝思猜想把下界提高到刚超过 v– 2 的一半，这是继科克曼 1850 年提出下界 问题： D (13)≥3 ， D (15)≥2 之后较勇敢的设想，直到 1972 年才有多茵 (J. Doyen) 证明了它，并向前跨了一步，他得到

D (6 m+3) > /4m + 1, ^m = 0,2(mod 3)

[ 4 m — 1, ^ m = 1(mod3)

D(6m +1) > /m /2,^m = 0(mod2)

[ m , ^ m = 1(mod2)

以后有人改进为

D(6m+1) ≥3m+1，对m≡ 1(mod 2)(9)

沿着提高下界的道路能否达到最终目的，现在我们还不知道。百余年间虽有 进展，但目标还很遥远。但多茵用递归法得到

D(2v+1) ≥D(v)+2， 对v≥7(10)

它用较阶的 v 来证明较高阶的 v ’=2 v +1 ，暗示了新的途径。很快， 1973 年特灵 克 (L. Teirlinck) 得出

D (3 v ) ≥2 v + D ( v ) ， 对 v ≥3 (11) 并推出 D (3 ^m )=3 ^m –2 ， 对 m ≥1 (12)

接着罗莎 (A. Rosa) 于 1975 年获得：如果

D ( v )= v– 2 ，则 D (2 v +1) = 2 v –1                           (13)

这些简洁优美的递归构造显示出：对无穷多个 v 值， (5) 式成立。

1976 年之后有 5~6 年，这一问题的讨论又沉寂下来。以上所述各路大军，延 师攻关，但徘徊异路，逡巡而不得进。从 1847 年到 1982 年有数学家 410 人次发 表了关于斯坦纳系的论文 957 篇；其中关于大集问题的论文，所得结果零碎，离 完全解决尚有很大差距。

就在 这 个 时 候， 1981 年 9 月 18 日， 设 在美国加利福尼 亚 大学洛杉 矶 分校数学 系的国 际 性刊物《 组 合 论杂 志》 编辑 部，接 连 收到 陆 家羲 “ 论 不相交斯坦 纳 三元 系大集 ” 的 6 篇英文 论 文 ^[1][2] ，宣告了大集 问题 的整体解决。 该 刊 A 辑 在 1983 年

3月、1984年9月以100页篇幅全文刊登了这位中学教师的重大成果。但他没有 来得及看到后3篇。

陆 家羲的 论 文 证 明了以下的大集定理：

如果 v =l ， 3(mod6) ， v >7 和 v ≠{141 ， 283 ， 501 ， 789 ， 1501 ， 2365} ， 则 D ( v )= v– 2

这 个定理由 7 个引理推出。至此，除 v >7 的 6 个 值 外，猜想 D ( v )= v– 2 已全 部成立。

陆 家羲 创 造性地利用了前人的成果， 应 用 递归 法，独 创 了 5 个各具特色的 结 构，依据 6 篇 论 文的 55 个定理或引理，以高屋建瓴的气概，一 举 整体地解决了 大集 问题 。它是斯坦 纳 系 发 展的里程碑，将以 现 代区 组设计 理 论 的一 项 重大成就 而名垂 史册。 陆 家羲 荣 获 中国第三次 1987 年国家自然科学一等 奖 。

三、推 进 “RBIB 设计 的存在性理 论 ”

陆 家羲去世后， 1984 年末《数学学 报 》 发 表了他 1979 年写成的 论 文 “ 可分解 (resolvable) 平衡不完全区 组 ( RBIB ) 设计 的存在性理 论 ”[3] ， 全文 11 页 。当我 国学者将此文的 结 果向国 际 知名学者介 绍时 ，他 们 都表示惊 讶 ， 认为 其价 值 不 亚 于 “ 大集定理 ” ，并希望将此文 译 成英文，再度 发 表。 这 是 陆 的第 3 项 重大成就。

陆 家羲的成就 ^[4]~[6] 鼓舞了 许 多立志献身科学的青年。不分国籍、性 别 、地位、 信仰，科学将接受来自任何方面的 贡 献，而 历 史也 终 将 给 予他 们 以公正的 评 价。

参考文献

• 1.    Lu jiaxi. On Large Sets of Disjoint Steiner Triple Systems Ⅰ-Ⅲ, Journal of Combinatorial Theory , Series A, Vol. 34, No. 2, March 1983: 140-182.

• 2.    Lu jiaxi. On Large Sets of Disjoint Steiner Triple Systems Ⅳ-Ⅵ, Journal of Combinatorial Theory , Series A, Vol. 37, No. 2, September 1984: 136-192.

• 3.    陆 家羲 . 可分解平衡不完全区 组设计 的存在性理 论 . 数学学 报 , 1984(4): 458-468.

• 4.    吴利生 . 关 于 S (2, 3, v ) 的大集和 RBIB 的存在性 问题 —— 我国 组 合数学工作者 陆 家 羲同志的 贡 献 , 数学研究与 评论 ,4, 1984(1):151-154.

• 5.    康 庆德 . 斯坦 纳和科克曼三元系及大集问题，上海 : 自然 杂 志 , 8, 1985(6):459.

• 6.    罗见今 .Steiner 系若干 课题研究的历史回顾 —— 陆家羲学术工作背景概述 , 数学 进展 15,1986(2):175-184.

文章提交于 2025.07.12；审核通过于 2025.09.03；接受出版于 2025.10.08。

Introduction to the Academic Achievements of Self-Taught Combinatorial Mathematician Lu Jiaxi

Commemorating the 90th anniversary of the birth of Lu Jiaxi, the first prize winner of the National Natural Science Award in China

Zhu Libo

Hohhot 010022, Inner Mongolia Autonomous Region