Булевы оценки и пучки некоторых классов решеточно упорядоченных групп

Гейтинговозначный анализ и, в частности, булевозначный анализ алгебраических структур представляет собой один из путей приложения методов теории моделей в алгебре, в том числе, в теории колец и групп.

Конструкция булевозначного универсума первоначально разрабатывалась для решения сложных теоретико-множественных проблем, в частности, для доказательства независимости от аксиом теории множеств некоторых гипотез теории множеств, например, континуум-гипотезы.

Примеры таких результатов можно найти в работах П. Вопенка, Д. Скотта, Р. Соловея, Г. Такеути, В. А. Любецкого и Е. И. Гордона. Однако в дальнейшем выяснилось, что гейтинговозначный и булевозначный анализы могут применяться и для решения чисто алгебраических проблем, например, в фундаментальных работах С. С. Кутателадзе и А. Г. Кусраева [4, 5]. Для алгебраических структур метод гейтинговозначного анализа эффективен, если удаётся построить такой содержательный пучок F(•) на полной гейтинговой (или булевой) алгебре Ω , что K= F(1) (пучок F (•) называется представляющим систему K). В этой связи важен вопрос о наличии такого пучка F (•). Примеры таких пучков можно най- ти в работах Р. Пирса, К. Каймела, Ж. Даунса, К. Гофмана, Ф. Борсо, Х. Сименса, Ван Де Боша; однако все эти пучки заданы на полных гей-тинговых алгебрах-топологиях т некоторых топологических пространств, связанных с исходной системой K. Такому пучку F(•) соответствует следующая оценка [^, определённая на множестве всех формул ф(k1,...,кп) с параметрами k1,...,kn е K . А именно,

[ k = t ]^ sup {u eQ | pu (к) = р1 (t)} и аналогично для других атомарных формул; и [ф ли]^ inf {ИИ, [3хф] ^ sup {[^(к)] I к е K} и аналогично для других связок, где смысл знака ^ «равно по определению» или «эквивалентно». Эта оценка замкнута относительно только интуиционистской выводимости (это означает: если [ф]г = 1 и и интуиционистски выводима из ф, то [и]г = 1. Поэтому особый интерес представляют пучки F(•), определённые на полных булевых алгебрах B. В этом случае мы имеем: если [фJB = 1 и и выводима из ф, то [и]b = 1, т.е. соответствующая пучку оценка замкнута относительно классической выводимости. Оценка [•], определённая в связи с алгебраической системой K называется ещё семантическим оцениванием в алгебраической системе K . В работе изучаются семантические оценивания, соответствующие каноническим пучкам, связанных с исходными алгебраическими системами. На этой основе изучаются хорновы теории разных классов l -групп.

Булевы оценки решеточно упорядоченных групп

Пусть G - ортополная B - группа и B ( G ) - полная булева алгебра ее дополняемых l -идеалов, F ( • ) - соответствующий канонический пучок, представляющий G [7]. В этом пучке атомарная оценка равенства двух глобальных элементов l -группы G имеет вид:

[ q = q 2 J =^v { N ^{e B ( G} )l N ⁽ q D = N ⁽ q 2 ) } ,где q^ q 2 ^{e G} .

Вычислим оценку

[ q <  q 2 J = [ q ^v q 2 = q 2 J =^v { N ^{e B ( G} )l N ⁽ q ) ^v N ⁽ q 2 ) = N ⁽ q 2 ) } =

• = v { N e B ( G ) I N ( q ) v N ( q 2 ) = N ( q 2 ) } .

Значит, [ q <  q 2 J = ^v { N e B ⁽ G )| N ⁽ q j <  N ⁽ q ₂) } .

Для вычисления оценок [ t <  1 ₂ J и [ t 1 = 1 ₂ J , где t 1 , 1 ₂ - термы в языке l -групп, нужно заменить t 1 , 1 ₂ на их значения, вычисленные в l -группе G .

Оценка произвольной формулы ф определяется индукцией по длине построения этой формулы, а именно,    [ ф 1 л ф ₂ J = [ ф 1 J п [ ф ₂ J ,

[ ф ₁ v ф ₂ ] = [ ф ₁ ] и [ ф ₂ ] , [ — ф ] = — [ ф ] , где в правой части — - дополнение в булевой алгебре B ( G ), [ ф ₁ ^ ф ₂ ] = [ ф ₁ ] ^ [ ф ₂ ] , где u ^ v по определению равно ⁽ - u ^{и v} ), [ 3 ф ⁽x ) ] = ^v q ^ g [ ф ⁽ q ) ] и [ V ^х ф ⁽ x ) ] = л q _е g [ ф ⁽ q ) ] .

Справедлива следующая

Теорема 1. [2] а) Если B - полная булева алгебра и ZFC | -ф , то [ ф ] = 1 _B , где 1 _B - наибольший элемент B .

• б)    Если B - полная булева алгебра и ф - любая формула, выводимая в обычном, классическом исчислении предикатов с равенством PI , то [ ф ] = 1 _B , где 1 _B - наибольший элемент B .

Предложение 1. Пусть G - ортополная B -группа и ф - любая форму ла в языке l -групп. Тогда выполняется соотношение [3хф(x)] = [ф(q)] для некоторого q е G.

Доказательство. По определению имеем [ 3 x ф ( x ) ] = v _{q е G} [ ф ( q ) ] .

Обозначим N = [ 3 x ф (x ) ] и N ( q ) = [ ф ( q ) ] . Как указано в [2], существуют N 'е B ( G ) такие, что N = v„ N ' , N 'л N ‘ = 0, где q * h . Имеем, q              qqq

[ N q ⁽ q ) = q J >  N q т.к. N q ⁽ N q ⁽ q ) ^- q ) = 0. Значит, из теоремы 1б) имеем [ ф ⁽ N q ⁽ q ^{)) -} >  [ N q ⁽ q ) = q J ^л [ ф ⁽ q ) ] >  N q .

Множество { N q ( q )| q е G } согласовано, т.к. N q - дизъюнктны. Значит, из пучковости G следует, что существует ( q ) е N . N q () = N q ( q ) для любого q е G . Это означает, что © <% = N q ( q ) - >  N q . Следовательно, по теореме 1б) имеем

[ ф ⁽ 5) ] >  [ < ? = ^N q ⁽ q ^{) - л} [ ф ^{( N} q ⁽ q ⁾⁾ ] >  N q для всех q е G . Итак, имеем [ ф ⁽9) ] > ^v q е G ^N q = ^N . ^С другой стороны [ ф ⁽ С! ) ] <  N , т.к. ^N = ^v q е G [ ф ^{( q} ) ]

Значит, [ ф ((%) ] = N . Итак, [ 3 х ф (x ) ] = [ ф ( q ) ] для некоторого q е G .□ Напомним, что формула А на языке l -групп первой ступени называется хорновой, если она равносильна формуле вида

( Q 1 x j( Q 2 x 2 )...( Q m x m 1 )( A , л A 2 Л ... л A n )                 (1)

где Q i - один из кванторов V , 3 , а каждый член A - это формула одного из следующих видов: а) P ₀ ; б) ( л ” = ₁ P i ) ^ P ₀ ; в) л * =/ — P i ) , где P₀ , P ,..., P k - атомарные формулы языка l -групп.

Предложение 2. Пусть G - ортополная B -группа и ф - любая хор-нова формула в языке l -групп. Тогда выполняется

[фG ] = 1g ^ (G\= ф),                       (2)

где 1 G - наибольший элемент булевой алгебры B ( G ).

Доказательство. В силу теоремы 1, достаточно рассмотреть формулу вида (1). Доказательство проведём индукцией по длине построения формулы (1). Импликация (2) в случае а) очевидна. Даже в случае а) вместо импликации (2) выполняется эквивалентность. Рассмотрим случай б). Пусть © л ^k _{= 1} P i ^ P ₀ - = 1_G, G = л ^k _{= 1} P i . Тогда G = P i для всех i = 1,..., к . Значит, по а) имеем § P i ] = 1_G для всех i = 1,..., к . Следовательно, © л ^k _{= 1} P i - = 1_G . ^Из [ ^л k = 1 P ^ P o ^- = 1 G следует [ ^л P ^- <  § P o ] . Отсюда имеем § P o ] = 1 G . ^Значит, по а) получим G k | = P ₀.

в)Пусть [ л к = 1 ( - P ) ] = 1 g и G ^v к = 1 ( - P ).

Тогда G | =v ^к _{= 1}( — P i ). Следовательно, § P i ] = 1 _G для всех i = 1,..., к .

Из ^© л и( — P ) - = 1 _G следует, что существует хотя бы одна формула P такая, что © — P i - ^ { 0 } . Значит, © — P - л © P i_o - ^ { 0 } . Далее, для конъюк-тивности и квантора всеобщности импликация (2) очевидна. Импликация (2) для квантора существования следует из предложения 1. □

Напомним, что l -группа G называется проективной, если G = q ¹ + q ¹¹ для всех q е G .

Определение 1. l -группа G называется квазирегулярной, если ^G = ^{q + q 1} и ( q ) ^ q ¹ = { 0 } для любого q е G , где ( q ) главный l -идеал, порожденный элементом q е G . Другими словами, любой главный l -идеал qq^ является дополняемым l -идеалом и его дополнением будет q ¹ .□

Из определения квазирегулярной l -группы следует, что q 1 является l -идеалом для любого q е G . Значит, ^ q ^¹ = q ¹ для любого q е G . Отсюда по свойству поляр получаем ^ q ^ = q ¹¹ . Следовательно, любая квазирегу-лярная l -группа является проективной l -группой.

Напомним, что l -группа G называется l -простой, если она не имеет собственных l -идеалов. □

Главный l -идеал ^ q ^, порожденный элементом q l -группы G , имеет вид

• (q ) = | х е G | 3 n е N Я q 1 , q 2 ,..., q „ е G ( х| < ^ - q i + q + qj)

I                                                                          i = 1

Теорема 2. Пусть G - ортополная B -группа. Тогда выполняется следующие:

• а)    G - проективная l -группа тогда и только тогда, когда

§ G - линейно упорядоченная группа ] = 1 _G .

• б)    G – квазирегулярная l -группа тогда и только тогда, когда

• § G - линейно упорядоченная l - простая группа ] = 1 G

Доказательство. а) Пусть G – проективная l -группа. Тогда имеем © q = 0 = q ¹ - для любого q g G . Действительно, эквивалентны следующие соотношения N ( q ) = 0 , q ∈ N ⊥ и N = N ⊥⊥ ⊆ q ⊥ для любых N ∈ B ( G ) и q ∈ G .

Вычислим оценку

§ G - линейно упорядоченная группа ] = л x y _{g G} ( § x <  y ] u § x >  y ] )

= л x, ygg (§x - y < °]u §x - y > °]) = л qg (§ q < °]u § q > °]).

Пусть q ∈ G .

Тогда

§q < °] u §q > °] = §q v ° = °] u §q л ° = °] =(q v 0)1 u (q л 0)1.

Легко показать, что ( q ∨ 0) ⊥ ( q ∧ 0) . Значит, q ∧ 0 ∈ ( q ∨ 0) ⊥ . Отсюда получаем ( q ∨ 0) ⊥⊥ ⊆ ( q ∧ 0) ⊥ . Следовательно, для любого q ∈ G имеем

§q < °] u §q > °] Э (q v °)1 u (q v °)11 = (q v °)1 + (q v °)11 = G .

Обратно, пусть G – ортополная B -группа и

§ G - линейно упорядоченная группа ] = 1_G .

Проверим, что G – проективная l -группа. Условие «быть проективной l -группой» записывается хорновой формулой, а именно

∀ q ₁, q ₂ ∈ G , ∃ h ₁, h ₂ ∈ G ∀ h ∈ G (( h ₁ ∧ q ₂ = 0) ∧

∧ ( h ∧ q ₂ = 0 ⇒ h ₂ ∧ h = 0) ∧ ( q ₁ = h ₁ + h ₂)).

Обозначим эту формулу ϕ . Пусть ψ = ∀ q , h (( q ≤ h ) ∨ ( q ≥ h )) , которая выражает свойство, что l -группа есть линейно упорядоченная группа. Заметим, что любая линейно упорядоченная группа является проективной l -группой. Тогда по теореме 1 § ^ ^ ^ ] G = 1 и по условию § ^ ] G = 1. Значит, § ^ ] G = 1. Из предложения 2 получаем G | = ф .

• б)    Пусть G = q + q ⊥ и q ∩ q ⊥ = { 0 } для любого q ∈ G . Отсюда получим q ¹¹ = q{^ для любого (% g G , т.е. G - проективная l -группа. Следовательно, из предыдущего пункта следует

§ G - линейно упорядоченная группа ] = 1 G .

Вычислим оценку

Vq e G((q = 0) vVt e G 3n e N 3q1...qn e G ((|t| < £|-qi + q + qi\)) =

I = 1

= ^Л q e G ⁽ [ q = ^{0 ]} ^ ⁽ A q e G ^V n e N ^{( v} q q^^ ⁽

n t≤∑-qi+q-qi i=1

)).

Пусть q , t e G .

Проверим, что

^V n ^{e N (V}( q i ,..., q n W ⁽

n t≤∑-qi+q-qi i=1

)) >  § q Ф 0 ] = ^q .

Действительно, по условию G = ^ q ^ + q ¹ для любого q e G . Поэтому существуют t ₁, 1 ₂ e G такие, что | t | = t ₁ + 1 ₂ , где t ₁ e qq^ , 1 ₂ e q ¹ .

Заметим, t ₁ л 1 ₂ = 0. Имеем

n

|t| = t1 + t2 < |t1| + |t2| <£| —qi + q — q-| + |t2I i=1

для некоторых q ₁,..., q m e G .

Отсюда получим mm

0 < Itl- Itlл (£l-q- + q + q-1) = Itl+ (-It I)v (£l-q- + q + q-1) =0 л l=1                                                                  I=1

m

^{л (}| t ^{- (} £|^- q i + q + q i I)) < ^{0 v} I t 2 1 = I t 2 1 = t 2 ^e q ¹ .

i = 1

Следовательно, (| t | - | t|

m

л(£|-qi + q+q\ i=1

))1 2 q11 = (q).

Получим

^v n ^{e N v} ( q 1 ,..., q n e^c n"

t ≤ ∑ - q i + q + q i

m

> (l tl - Itlл (£ I-qi+q+qi I))1 > (q \

Обратно, свойство квазирегулярности записывается

V q V h 3 q ₁ 3 q ₂ 3 n 3 h ₁,..., 3 h_n ((| q ₂| л | h | = 0) л

n

^{л (}1 q J

-

h i ^{+ h +} h - l)^{v (} q = q 1 ⁺ q 2 )), i = 1

где n - переменная по всем натуральным числам, и строго говоря, вместо h ₁,..., h_n нужно написать переменную h нового сорта, пробегающую не G , а множество всех конечных последовательностей из элементов G .

По условию

n

^V q ^V t ³ " ³ q 1 ^,...._>q n ⁽⁽ q = ^{0) v (}| t <  £| ^- q, + q + q-|»

- = 1

и G - ортополная B -группа.

= 1

G

Пусть q , t g G . Обозначим q = q q ,..,, qn^ и дл. ( q ) длину кортежа q . Тогда

n

= 1

G .

^Я n ^g N Я q ⁽⁽ дл. ⁽ q ) = n ) л ⁽⁽ q = 0) v ⁽| t <  ^| - q , + q + q , . j)))

i = 1

Согласно предложения 1, существует кортеж q длины nо из элемен тов G такой, что § q = 0] v

Пусть § q = 0 ] = N и

ⁿ о

1A

ⁿ 0

I tl

= 1

G .

= N1. Тогда

N + N1 = G

от-

ⁿ 0

сюда имеем N(q) = 0 и (|1|) <^ N1(|-qi + q + qi |). Из N + N1 = G имеем

I=1

N¹ С N,.

ⁿ 0

Следовательно, N¹(|1|) <^ (-N¹(qi) + N¹(|q|) + N¹(qi)). По свойству i=1

главного l-идеала получим N¹(|1|) g ^N¹(q)^ . Значит, N¹(|1|) g q.

Из N(q) = 0 получим q g N¹. Поэтому N c q¹. Отсюда имеем

N(|11) g q¹. В силу разложения |t| = N(|11) + N¹(|11) имеем |t| g q¹+ qq^. Значит, G = q¹ + qj^. Из предыдущего пункта а) имеем G = q¹ + q¹¹.

Отсюда следует, q¹¹является l-идеалом и по свойству поляр имеем

• (q) С q¹¹.

Значит, qq^ n q¹ = {0}, так как q¹ n q¹¹ = {0}.

Следствие. Хорновы теории в языке l-групп следующих пар классов l-групп совпадают:

• а)    ортополных проективных l-групп и линейно упорядоченных групп;

• б)    ортополных квазирегулярных l-групп и линейно упорядоченных l-простых групп.

Доказательство. Непосредственно следует из теорем 1, 2 и предложения 2.

Заключение

Все сказанное без изменений переносится на случай, если язык l-групп расширить новыми предикатными и функциональными символами.